第五章 离散时间信号与系统分析 复习

1、第五章 离散时间信号与系统分析复习学习要点：学习要点：n掌握离散时间信号与离散系统差分方程的特征；掌握离散时间信号与离散系统差分方程的特征；n差分方程的时域求解，离散卷和的计算；差分方程的时域求解，离散卷和的计算；n常见离散信号的常见离散信号的z z变换及用变换及用z z变换分析计算差分方程和离变换分析计算差分方程和离散系统，包括系统的稳定性分析和离散系统的模拟；散系统，包括系统的稳定性分析和离散系统的模拟；n了解离散信号和系统的频率特性和离散傅里叶变换了解离散信号和系统的频率特性和离散傅里叶变换(DFT)(DFT)概念；概念；1.1.了解几种常用的数字滤波器的原理。了解几种常用的数字滤波器的

2、原理。本章小结n离散信号仅在离散点上有定义，最重要的基本信号有单位采样序列和阶跃序列，前者是后者的差分，后者是前者的累计和；任何序列可表示为单位采样序列的线性组合，即序列与单位采样序列的卷和。nLTI离散系统的数学模型是线性常系数差分方程。它的零状态响应为输入序列与系统单位采样响应的卷和。卷和可使用解析法、图解法和变换法来计算。其中，系统单位采样响应是系统对单位采样序列的零状态响应。阶跃响应是系统对单位阶跃序列的零状态响应，它是系统单位采样响应的累计和，而系统单位采样响应是系统阶跃响应的差分。本章小结nz变换是离散信号的幂级数展开描述，它是分析离散信号与系统的重要工具，其性质和作用类似于连续信

3、号与系统中的拉氏变换。n利用z变换，可方便地计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应。n系统函数是统单位采样响应的z变换，它由系统的零极点分布决定，系统的极点分布决定了系统的稳定性。使用系统函数可方便地分析离散系统的各种模拟实现图。n使用部分分式分解技术可有效地计算z反变换。本章小结n离散信号的傅里叶变换是把离散信号分解为无穷多个复指数序列的线性组合，结果是周期频谱。实际上离散信号是其周期频谱的傅里叶系数。n系统频率特性是单位采样响应的傅里叶变换，其模值是系统幅频特性，其幅角是系统相频特性。n周期离散信号的离散傅里叶变换（DFT）是把周期离散信号分解为若干个周期正弦信号的线性组合，结果是周

4、期离散频谱。周期离散信号与其离散傅里叶变换（DFT），互为傅里叶系数。有限长序列可借用DFT技术进行分析和处理。n通过巧妙设置零极点分布，可实现低通、带通、高通、带阻滤波，也可实现最小相位滤波、线性相位滤波、高品质因数陷波滤波等。1. 典型离散时间信号典型离散时间信号（1）单位采样信号（Unit Sample）（2）单位阶跃序列（Unit Step） 1(0)0(0)nu nn )0(0)0(1nnn 01mnu nu nu nnm1. 典型离散时间信号典型离散时间信号（3）因果指数序列（4）因果矩形窗函数（5）正弦序列 1(01)0()1NnNGnu nu nNu n u Nn 其它 nf

5、na u n 0sinf nn2. 离散时间系统离散时间系统n一般，若一个离散系统的数学模型是常系数线性常系数线性差分方程差分方程，则它是一个线性时不变离散系统线性时不变离散系统。输入为 、输出为 的N阶线性时不变离散系统可一般地用下述N阶常系数线性差分方程描述：上面的差分方程描述的N阶离散系统是个因果的因果的LTILTI离散系统离散系统 nf nyknfbinyaMkkNii002. 离散时间系统离散时间系统离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和离散系统的全响应为零输入响应和零状态响应之和可以利用时域经典方法求解离散系统的零输入响应和零状态响应系统的零状态响应还可以通过卷和方法求解：卷

6、和计算有解析法、图解法和变换法解析法、图解法和变换法这些方法适用于不同的情况这些方法适用于不同的情况 zskynf k h nkf nh n3. z变换变换z变换和z反变换的定义 01,12nnnnnCF zf n zF zf n zf nF zf nF z zdzj3. z变换变换z变换的收敛域n双边无限长序列双边无限长序列的双边z变换的收敛域为圆圆环环 ； n右边序列右边序列的z变换的收敛域为一圆的外部一圆的外部（除了无穷远点 之外）： ，当它是因果序因果序列列时，收敛域还应包括无穷远点应包括无穷远点： ；n左边序列左边序列的z变换的收敛域为一圆的内部一圆的内部（除了原点 之外）： ，当它

7、是反因果序列反因果序列时，的收敛域还应包括原点还应包括原点： ； ffRzRz fRz fRz0z 0fzRfzR3. z变换变换z变换的收敛域n有限长序列有限长序列的z变换的收敛域至少为除原点和无穷远点之外的全平面全平面： ，当它是因果序列因果序列时，的收敛域还应包括无穷远点： ，而当它是反因果序列反因果序列时，的收敛域还应包括原点： 。 n同一个同一个z z变换在具有不同的收敛域时，会对变换在具有不同的收敛域时，会对应不同的序列应不同的序列，因此，在计算一个序列的z变换时，必须同时给出其收敛域必须同时给出其收敛域。 0z 0zz 4. 典型信号的典型信号的z变换变换（1）单位采样序列（2）

8、阶跃序列（3）指数序列 1n 1,1110zzznunn azazzanuannnn,11104. 典型信号的典型信号的z变换变换（3）指数序列 0011001201001201,11sinsin12cos1coscos12cosjnjeu nzezznu nzzznu nzz5. z变换的性质变换的性质（1）线性性质：（2）位移性质（延迟性质）单边单边z z变换变换：位移性质可用于求解系统的各个响应。位移性质可用于求解系统的各个响应。 zFazFanfanfa22112211 112111212mmkkf nm u nzF zfk zf nz F zff nz F zzff5. z变换的性质

9、变换的性质（3）z域尺度变换（序列指数加权）（4）卷和定理（5）时域翻转性质： zFzFnfnf2121 azFnfan 1nnaf nF azf nFz1fnF z5. z变换的性质变换的性质（6）序列求和性质：（7）z域微分：（8）初值定理：（9）终值定理： zFzkfnk1011 zFdzdznfnmm 0limzfF z zFzfz1lim16. z反变换反变换 z反变换的方法：长除法长除法、留数法留数法或部分分部分分式展开法式展开法1.长除法长除法只适合于分母多项式为低阶的情况，只适合于分母多项式为低阶的情况，并且不易得到闭式解并且不易得到闭式解。2.部分分式展开法部分分式展开法（1

10、）单阶极点情况： 11111111kkNNnkkkkkkkkkzpzpKF zf nu nK pp zF zKp zF zzpz6. z反变换反变换（1）单阶极点情况： 也可如拉氏反变换那样，对 进行如下部分分式展开（限制 ）：（2）重极点情况：同拉普拉斯反变换 zzFNM 110110111101kNNN MN MNMMkNNkNNkkkzpNnkkkF zb zbzbzb zbKzz za zazazzpF zKzpzf nbnu nK p7. 离散系统的离散系统的z域求解域求解1.用z变换计算离散系统的零输入响应、零状态响应和全响应利用利用z z变换的时移性质可以方便的求解各系统响应变换

11、的时移性质可以方便的求解各系统响应2.LTI离散系统的系统函数定义为离散系统单位采样离散系统单位采样响应的响应的z z变换变换。 zFzYzH y nf nh nY zF z H z8.极点分布和冲激响应的关极点分布和冲激响应的关9.离散系统稳定性n任何离散系统的稳定性可通过其系统任何离散系统的稳定性可通过其系统函数的收敛域是否包含单位圆来判断，函数的收敛域是否包含单位圆来判断，包含时系统稳定，否则不稳定。包含时系统稳定，否则不稳定。10. 离散系统离散系统z域模拟域模拟离散系统可由延迟器、加法器和乘法器延迟器、加法器和乘法器构成。主要有直接型实现、串联型实现和并联型实直接型实现、串联型实现和

12、并联型实现现三种方式。10. 离散系统离散系统z域模拟域模拟直接型系统实现直接型系统实现 10. 离散系统离散系统z域模拟域模拟离散系统的串联型实现离散系统的串联型实现 10. 离散系统离散系统z域模拟域模拟离散系统的并联型实现离散系统的并联型实现 11. 离散信号的频域分析离散信号的频域分析离散信号傅里叶变换的定义 deeFnfjnj21 jjjjnnz ez ennF ef n ef n zF z12.离散傅里叶变换（DFT） 22222110021010111IDFTDFTkjNkNkjNknkNNjjnkNNNnnjz eNjnkNNNnNnkNnf nF eeF k WNNF kF

13、eF eF zWeWnNF kf n W：，：13. LTI离散系统的频率特性系统频率特性定义为系统单位采样响应的傅里叶变换：离散正弦可形状不变地通过任何形状不变地通过任何LTILTI离散系统离散系统，输出正弦与输入正弦仅在幅度和相位发生变化仅在幅度和相位发生变化。 0jjjejjkjz ekjjH eh k eH zH eeH ee是系统的幅频特性是系统的相频特性14. 数字滤波器数字滤波器 理想低通数字滤波器 220ccjj mccccH eGeSa nGh nSanm数字低通滤波器的频率特性：，数字低通滤波器的单位采样响应：15. 全通数字滤波器全通数字滤波器 全通数字滤波器是零点个数与极点个数相等零点个数与极点个数相等、并且零点与极点配对地关于单位圆反演对称关于单位圆反演对称的滤波器，即所有零极点对都满足 全通网络是个纯相移网络纯相移网络 1111111iijjii