07年考研数学一真题及答案

1、位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10， 20， 3,2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题 目要求的请将所选项前的字母填在答题纸.指定位置上.1 - cos仮0(1) 若函数f(x)_：、ax ,x在x=o处连续，则b,x011(A)ab.(B)ab.(C)ab=0.(D)ab = 2.22【答案】A1 -cos x 11【详解】由limb得ab.x 0ax 2a2(2) 设函数f x可导，且f(x)f(x) . 0则(A

2、)f 1 f -1 (B)f 1 : f -1?(C)f (1卜|f (1 j.(D)f (1罔f (1 j.【答案】Cf (x)222【详解】f (x)f (x) =0,从而f (x)单调递增，f (1) f (-1).22 2(3) 函数f (x.y.zx y z在点(1,2,0)处沿着向量n =(1,2,2)的方向导数为(A)12.(B)6(C)4.(D)2【答案】D12【详解】方向余弦cos ,cos：= cos,偏导数fx=2xyf =2x,2,代入33C 0 s fxC o fyc of即 可.位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值

3、一次为10， 20， 3,(4) 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线v=w(t)(单(A)to=10.(B)15 :：to:：20.(C)t0二25.(D)to25.【答案】C【详解】在to=25时，乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处.(5)设a为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(A) E -a a不可逆.(B)E a a不可逆.(C)E 2aa不可逆.(D)E - 2a：不可逆.【答案】A【详解】可设:一二|( 则：vT的特征值为1,0川,0,从而E - - -T的特征值为0,1川,1,因此 E maT不可逆.2 0 0

4、2 1 0 1、(6)设有矩阵A =0 2 1，B =0 2 0，C =210h0 0bP(A)P(B);由P(B| A) P(B | A)也可得P(AB)P(A)P(B).计时开始后乙追上甲的时刻记为(A)P(B|A) P(B|A).(B)P(B| A) ” P(B|A).(C)P(B|A) P(B| A).【答案】A(D)P(B| A)：P(B| A).(pi u)(单位：S),则1nN(，1)的简单随机样本，记XXj,则下列结论不n y【答案】y = ex(C1cos, 2x C2sin、2x)【详解】特征方程r22r 3 =0得r - -1 Li ，因此y = e(G cosV?x+C

5、2SinV2x).(11)若曲线积分_a2ydy在区域D = x,y) x2+ y2c内与路径无关，则 a =Lx + y -1【答案】-1亠cQcP【详解】有题意可得，解得a - -1.&exoO(12) 幕级数(-1)nnxn在(-1,1)内的和函数S(x)二.n 3(8)设Xi, X2,|)(,Xn( n2)为来自总体正确的是n(A)v(Xii 4_)2服从2分布.2 2(B)2(Xn- Xi)服从2分布.n(Cp- (Xii 4-X)2服从2分布.(D)n(X-亠)2服从2分布.【答案】【详解】Xj -1N(0,1)v (Xi-)(n)(xX)22(n -1)；i i =4X

6、N1,-), n(X-亠)22(1); XnXjN(0,2), n2(XJ2(1).二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分请将答案写在答题纸 指定位置上.(9)已知函数1f(x)二【答案】0【详解】f ( x)12 =1 -X2 x4JH( 1：x：1),没有三次项.(10)微分方程2/3y =0【答案】1(x 1)20 P(13)A= 1 1 2, a 1, a2, a3是 3 维线性无关的列向量，贝U (Ao(i, Aa2, Aa3)的秩为.19【答案】2【详解】r(A1, A2, A：3)=r( A) =2x 4(14)设随即变量X的分布函数F(x) =05:(x) 05

7、：()，其中叮Ux)为标准正态分布函数,则EX=【答案】2be-be0 5 X _ 4【详解】EX二xf(x)dx二x0,5 (x)( )dx=2.022三、解答题：1523 小题，共 94 分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上.(15)(本题满分 10 分).设函数f (u, v)具有 2 阶连续偏导数，y = f (ex,cosx),求dy,雪【答案】：y = f (ex,COSx)(16)(本题满分 10 分).kk求lim爲In(1).nT：nn【答案】(17)(本题满分 10 分).已知函数y(x)由方程x3 y3-3x 3y-2 =0确定，求y(x)

8、的极值.【答案】x3y3-3x 3y -2 = 0，方程两边对x求导得：3x23y2y3 3y-0，令y = 0，得3x = 3, x = 1.当x =1时y=1，当x -1时y=0.方程两边再对x求导：6x 6y(y )23y2y 3y =0，【详解】7 (_1)nn_nx -x Jdx2dxx=0IQH令y -0，6x (3y21)y -0，3当x=1,y=1时y，当x=1,y=0时y =6.2所以当x =1时函数有极大值，极大值为1,当x =-1时函数有极小值，极小值为0.(18)(本题满分 10 分).设函数f(x)在区间0,1上具有 2 阶导数，且0.证明:7+ x(I)方程f(x)

9、 =0在区间(0,1)内至少存在一个实根；(II)方程f(x)f ”(x) f(x)2=0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根.【答案】(1)；lim丄：0,由极限的局部保号性，(0,-J使得f(c)：0,又；f (1) 0,由零点存在定x十X理知，二三(c,1)，使得，f(J=0.构造F(刈f ( x) ,f F*0) = f(0) f(0) =0，F( H f( )f ( H0，：lim丄：0, f(0)：0,由拉格朗日中值定理知三(0 , 1)(1卜f (0)f ( )，0 x q x1-07 f (0) f ( ) : 0,所以由零点定理知 (0, )(0,1)，使得f(l)=0，

10、F(1f ( )f (1) =0,所以原方程至少有两个不同实根。(19)(本题满分 10 分).设薄片型物体S是圆锥面z=x2y2被Z2二2x割下的有限部分，其上任意一点处的密度为-(x, y, z)=9x2y2z2，记圆锥面与柱面的交线为c；(1 )求 C 在xOy平面上的投影曲线的方程;(II)求 S 的质量 M(20)(本题满分 11 分).设3矩阵A=(1,2,3)有 3 个不同的特征值，3 =5 *2-2(I)证明：r(A) =2;(II)若=M：3，求方程组Ax二-的解.【答案】xoy平面的方程为:(x-1)2y2=1z=0(1)C的方程为投影到【答案】又A有三个不同的特征值，故1

11、 =0为单根，且A一定能相似对角化1:1=6(2)由(1),Ax = O的通解为k(1,2,1T, 丁P =% +C(2+口3，故有010203 1= B，即A(1,1,1J = E .(21)(本题满分 11 分).2 2 2设二次型f (X|, X2, X3) 2X| x? +aXg+ 2 X|x? 8xX3 *2 x?X3在正父变换x = Qy下的标准形 为2丫；，求a的值及一个正交矩阵Q。1-4-1 1，1 a221丫1 2丫2，故A有特征值 0，- (：；3)C；-6) = 0得特征值为4-1九21- -3,2=6,3= 0.解齐次线性方程组打E - A x = 0，求特征向量J5-

12、14、10-p1、 ,-3E-A =-1-2-1T011，得 -14-1一50001因为1,2,3属于不同特征值，已经正交，只需规范化:二A=0，故a =2.4九-2-1由扎E A = -1丸+1-1令H3(1,-1,1“2 =(1,2,1T，12【答案】二次型的矩阵A二1-4*4-1对打=6，6E A= 174-1广-2-1对嘉=0，0E A= 114一14、*10-1T0 1 0，得 a 2 =0414、10-1、-1T01-2得G 3 =2一2000丿J丿因为二次型在正交变换下的标准形为(22) (本题满分 11 分).=0 = PX = 2 =1，Y的概率密度为22y， ： y1 f(

13、y：o,其他.(I)求PY EY(II )求Z =X Y的概率密度。【答案】(1)EY二yfY( y)dyy 2ydy02 24 PY EY - fY(y)dy =02 32ydy =.(2)Z的分布函数为 故Z的概率密度函数为设 n 次测量结果X1, X2，Xn相互独立且均服从正态分布的绝对误差 乙=区-片(i =1,2,n)利用乙厶,Zn估计.(I )求Zi 的概率密度;(II)利用一阶矩求二的矩估计量;(III )求二的最大似然估计量.所求正交矩阵为Q =1731屈1 J3162、61、62 2，对应标准形为f = -3%6y2.设随机变量X与Y相互独立，且X的概率分布为PX-0 f(z-2)=0,zc0乙0兰z c10兰zc10,1兰z2 =z-2,2 Ezc3z-2,2 Ez 30,其它i0,z启3(23)(本题满分 11 分)2N(匚).该工程师记录的是 n 次测量【答案】Z1的分布函数为FZ1(z) = P 匕= P- 某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量 是已知的所以Zi的概率密度均为fz（ z）,Zn,当Z