定积分的物理应用实用教案

1、1设物体(wt)在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动(yndng)方向平行,求变力所做的功 。xabxxxd ，上任取子区间上任取子区间在在d,xxxba 在其上所作的功元素为xxFWd)(d 因此(ync)变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为 baxxFWd)(一、变力沿直线作功一、变力沿直线作功 第1页/共16页第一页，共17页。2例1. 弹簧在拉伸过程中，需要的力 F (单位：N)与弹簧的伸长(shn chn)量 s (单位:cm)成正比，即F=ks (k是比例常数)如果(rgu)把弹簧由原长拉伸6cm，计算所做的功。解：当弹簧(tnhung)

2、从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx于是外力做功元素 dW= kxdx而弹簧拉伸6cm，从而 60dxkxW)(18. 0Jk )(18. 0mNk )(18cmNk 第2页/共16页第二页，共17页。3例2.直径(zhjng)为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体 积缩小一半，问需要做多少功？ 解：建立坐标系如图所示，因为(yn wi)温度不变，PV当圆柱体的高减少(jinsho)xcm时的压强为280000800( )( )10(80)(80)kP xV xxx 2800d( ) d10 d(80)WP x S xxx 400

3、2d10)80(800 xxW 则则)(2ln800)(2ln80000JcmN dxxyo808010102 80000 是定值。 pRVnRT 理理想想气气体体状状态态方方程程为为摩摩尔尔气气体体常常数数xxdx 第3页/共16页第三页，共17页。4解: :则木板(m bn)对铁钉的阻力为,)(kxxF 第一次锤击(chu j)时所作的功为 101dxkxW,2k hnxkxW0d例3. 用铁锤把钉子(dng zi)钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？设n次击入的总深度为h厘米n

4、次锤击所作的总功为假如钉子钉入木板的深度为xcm,22kh 而每次锤击所作的功相等1nWWn 22kh,2kn ,nh . 1 nn所以n次击入的总深度为第n次击入的深度为第4页/共16页第四页，共17页。5例4.试问要把桶中的水全部(qunb)吸出需作多少功 ? 解: 建立(jinl)坐标系如图。oxm3xxxd m5任取一小(y xio)区间，d,xxx 这薄层水的体积元素xd32 这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为ddWVgx xxgd9 故所求功为 50Wxxgd9 g5 .112 ( kJ )设水的密度为 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, xyVdd2 Wmgh

5、 克克服服重重力力势势能能做做功功 质质点点的的情情形形：第5页/共16页第五页，共17页。6作多少(dusho)功 ? 内盛满了水,试问要将容器(rngq)内的水全部吸出需例5. 有一半径为 4 米开口(ki ku)向上的半球形容器, 容器解: 取坐标原点在球心, x轴垂直向下建立坐标系,xyVdd2 4022(4)dxWxxg )(64kJg Oxx x+dxxxd)4(22 第6页/共16页第六页，共17页。7例6. 半径(bnjng)为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的密度为1，现将球从水中取出,需作多少功？ 相应于区间x，x+dx的球体中的薄片(球台(qi ti)的体积约为

6、 xxRVd)(d22 当球体恰好露出水面时，这一薄片(bo pin)在水面以上移动的路程为R+x，22()d(d)RxWxgRx 解：建立坐标系如图所示。克服重力做功为O xR+x x水面x+dx由于球的比重与水相同，球的这一部分的由x提升到水面不做功。 RRxxRxRgWd)(22 于是于是 RRxxRRgd)(22 434Rg 奇函数第7页/共16页第七页，共17页。8二、液体二、液体(yt)(yt)对薄板的侧压力对薄板的侧压力 压力(yl)=压强受力面积= g h受力面积(min j)例7. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力。 解: 建立坐标系如图.所论半圆的22yRx)0(Rx

7、 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 小窄条上各点的压强xP g 利用对称性 , 侧压力元素 RF0oxyRxxxd 222xR Fdxg 端面所受侧压力为xd332Rg xxRxgd222 第8页/共16页第八页，共17页。9,d222xxR 说明(shumng):当桶内充满(chngmn)液体时, )(xRg 小窄条上的压强(yqing)为侧压力元素 Fd故端面所受侧压力为 RRxxRxRgFd)(222 奇函数3Rg )(xRg RxxRgR022d4 241RoxyRxxxd第9页/共16页第九页，共17页。10例8. 有等腰梯形水闸, 上底长10m, 下底6m, 高2

8、0m。 试求当水面(shu min)与上底相齐时, 闸门一侧所受的水压力。 解：建立(jinl)坐标系如图所示。510 xy直线(zhxin)AB的方程为xB(20,3)A(0,5)Oy闸门上对应于区间x，x+dx2(5d)d10 xxFgx xx+dx窄条形所受的压力约为 200d)510(2xxxgF )(33.14373kN )1( 取取第10页/共16页第十页，共17页。11例10. 有等腰梯形(txng)水闸, 上底长6m, 下底2m, 高10m。 试求当水面位于上底下2 m时, 闸门所受的水压力。 解：建立(jinl)坐标系如图所示。35 xy直线(zhxin)AB的方程为x2B(

9、10,1)A(0,3)Oy闸门上对应于区间x，x+dxd(2) 2(3)d5Fg xxx xx+dx窄条形所受的压力约为 102d)35)(2(2xxxgF )(7 .961kN 第11页/共16页第十一页，共17页。12例11. 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 于水面且离水面的距离(jl)为h，求闸门所受的压力。 解：建立(jinl)坐标系如图所示。12222 byax椭圆的方程为于是(ysh)窄条所受的水压力约为y由题设，h b在y轴任取区间 y，y+dy椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy22d()2dabyybFg hy 则所求水压力为 bbyybbayhgFd)(22

10、2 gabh xbO-ba-ah奇函数yy+dy第12页/共16页第十二页，共17页。13第13页/共16页第十三页，共17页。14例. 设一锥形贮水池，深15米，口径(kujng)20米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 解：任取一小(y xio)区间x, x+dx，则直线(zhxin)AB的方程为3032 yx建立坐标系如图所示。3032 yxxx+dxO A(0,10) yxB(15,0)这薄层水的体积元素为xyVdd2 xxd)3210(2 把这一部分水吸出所需做的功元素为 22d(10) d3dxWgg xVxx 1502d)3210(xxxgW )(1875kJg 第14

11、页/共16页第十四页，共17页。15例. 一底为10cm, 高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地 沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行(pngxng),而顶离 水面3cm时, 试求它的一个侧面所受的水压力。解：建立(jinl)坐标系如图所示。2565 xy直线(zhxin)AB的方程为xxgxFd)2565(2d 93d)2565(2xxxgF xx+dx)(210Ng xB(9,5)A(3,0)Oy第15页/共16页第十五页，共17页。16谢谢大家(dji)观赏！第16页/共16页第十六页，共17页。NoImage内容(nirng)总结1。当弹簧从x拉伸至x+dx，可认为外力近似于F=kx。例2.直径为20cm、高为80cm的