二次型与矩阵

1、第一节第一节 二次型及其矩阵二次型及其矩阵一一 二次型与对称矩阵表示二次型与对称矩阵表示(一一 ) 二次型的概念二次型的概念12, , ,nx xx定义定义1n个变量的二次齐次多项式称为n元二次型元二次型, 简称二次型二次型. 若变量记为则n元二次型一般形式为 2221211 112 1 21122 222( , , , )222nnnnnnn nf x xxa xa xxa xxa xa x xa x22212341 21 422 32 433 44( , , , ) 2352f x x x xxxxxxx xx xxxxx例例(二二 ) 二次型与对称矩阵二次型与对称矩阵2221211 11

2、2 1 21122 222( , , , )222nnnnnnn nf x xxa xa xxa xxa xa x xa x111 11221()nnx a xa xa x1122()nnnnnnx a xa xa x21212222()nnx a xa xa x令ijjiaaij则1 :二次型矩阵表示12( ,)nf x xx11 1122121 12222121 122,nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxx xxaaax111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa,

3、ijjiaa则2iijijxijaxxij 项 的 系 数 当 项 系 数 的 一 半 当 11 1122121 12222121 122,nnnnnnnnnna xa xa xa xa xa xx xxa xa xa x令12nxxxx12( , , , )Tnf x xxx Ax则Tx Ax2iijijxijaxxij 项 的 系 数 当 项 系 数 的 一 半 当 称矩阵A为二次型的矩阵二次型的矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa,ijjiaa12nxxxx2221211 112 1 21122 222( , , , )222nnnnnnn nf x xxa xa

4、 xxa xxa xa x xa x其中注注: 二次型的矩阵是对称对称矩阵,222123121323255448xxxx xx xx x例例1 有三元二次型写出其矩阵表示.123(,)Tf xxxx Ax解解:222254245A其中123xxxx123( ,)f x x x例例2有四元二次型2221234123( ,)5f x x x xxxx写出其矩阵表示.解解:1234(,)Tf xxxxx Ax其中1150A1234xxxxx思考思考: 例2中二次型的特征以及这种二次型矩阵的特征例例3123( ,)Tf x xxx Ax其中121054245A123xxxx123( ,)f x xx是

5、否是二次型?若是写出二次型的矩阵.解解:123( ,)Tf x xxx Ax22212312132355238xxxx xx xx x故123( ,)f x xx是二次型,二次型矩阵为31121543452设注注:12( ,)Tnf x xxx Ax(2)当不是不是A为n阶对称矩阵对称矩阵,它仍然是二次型. 不过二次型的矩阵不为不为A12TAA12TTTx Axx Ax12TTTx Axx A x12TTxAAx而为(1)当A为n阶对称矩阵对称矩阵矩阵,是n元二次型,且二次型的矩阵为A.12Tnxxxx多项式其中A为n阶矩阵,12( ,)Tnf x xxx Ax12( ,)Tnf x xxx

6、Ax理由理由Tfx Ax二二 二次型的标准形二次型的标准形(一一 ) 二次型与线性变换二次型与线性变换定义定义2111112212211222211223nnnnnnnnnxc yc yc yxc yc yc yxc yc yc y称12( ,)Tnxx xx为到12(,)Tnyy yy的线性变换线性变换111212122212nnnnnnccccccCccc若记则线性变换表示为xCy若C可逆,则称xCy为可逆可逆线性变换1 线性变换线性变换2 线性变换与二次型线性变换与二次型12( ,)Tnf x xxx AxxCy二次型经线性变换12( ,)Tnf x xxx Ax12(,)ng y yy

7、()()TCyA Cy()TTyC AC yTy By其中TBC AC得新二次型的矩阵为得新二次型的矩阵为TBC ACTTTBC ACTC ACB又由故故二次型经线性变换后仍为二次型二次型经线性变换后仍为二次型,得3 合同矩阵的概念合同矩阵的概念定义定义3 :A B设 A,B都是 n阶方阵,则称A 与B是合同的合同的, TC AC B若有可逆的矩阵C,使矩阵C称为把A变为B 的合同矩阵合同矩阵.或称 A与B合同, 记为注注: (1)二次型经线性变换后仍为二次型,且两个二次型的矩阵是合同的(2)回忆矩阵间的关系,且比较他们的异同.(二) 二次型的标准形二次型的标准形1定义定义4寻求可逆可逆矩阵C

8、主要问题为:12( ,)Tnf x xxx AxxCy后为二次型只含平方项, 2221122nnk yk yk y称该问题为二次型的标准化问题标准化问题,(*)为二次型的标准型二次型的标准型(1)二次型的标准形的矩阵为对角对角矩阵.注注(2)二次型的标准化问题即为寻求可逆矩阵C, 使得为对角矩阵,TC AC对于二次型使二次型经过线性变换即即寻求可逆矩阵A使合同合同于对角对角矩阵例例4 设有二次型222123123121323( ,)255448f x x xxxxx xx xx x221355142353 552033 5P11132013001C经计算二次型123( ,)Tf x x xx

9、Ax经线性变换xPy变为222123123( ,)()()()10TTTTf x x xx AxPyA PyyP AP yyyy经线性变换xCz2221231235( ,)()()()233TTTTf x x xx AxCzA CzzP AP zzzz变为2 二次型的惯性定理二次型的惯性定理定理定理1(惯性定理惯性定理)设Tfx Ax是n元实二次型,且对称矩阵A的秩为r, 若两个可逆的变换;xPyxCz把二次型化为标准形为2221122()TTnnfx AxPyA Pyyyy2221 122()TTnnfx AxCzA Czk zk zk z那么,这两个标准形的非零系数个数都等于r,且这r个非零数中正数的个数也相等(因而负数的个数也是相等的).(1)实二次型的标准形中,非零系数的个数r