高等数学教学课件：Lecture 13-Higher Derivatives

1、复习复习注意注意: ( ) ( )( ) ( );u x v xu x v x ( )( ).( )( )u xu xv xv x 分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.二、二、反函数反函数的求导法则（注意成立条件）的求导法则（注意成立条件）;三、复合函数的求导法则（注意函数的复合三、复合函数的求导法则（注意函数的复合过程过程,合理分解正确使用链式求导法）合理分解正确使用链式求导法）;一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则211x )(arcsin x211x )(arctan x )(arccos x211x )cotarc(x211

2、x 211x ) arsh(x112 x ) arch(x211x ) arth(xxxx 11ln21 arth2arch ln(1)xxx2arsh ln(1)xxxxxtansecxxcotcsc axln1x10 xcosx2sec1 xxsin x2csc aaxlnxe )(C )(x )(xa )(xe )(log xa )(ln x )(sin x )(cos x )(cotx )(tan x )(sec x )(csc x(sh )x (ch )x (th )x ch xsh x21ch x第三节第三节高阶导数高阶导数二二、高阶导数的计算、高阶导数的计算一一、高阶导数的定义、

3、高阶导数的定义 一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.定义定义( ),sf t 设设则瞬时速度为则瞬时速度为 ( )( )v tft 加速度加速度 a 是是速度速度 v 对时间对时间 t 的变化率的变化率 ( )( )( ) .a tv tft如果函数如果函数 的导数的导数 在点在点 x 处可导，处可导，( )f x( )fx 则称则称 为函数为函数 在点在点 x 处的处的二阶导数二阶导数.( )fx( )f x0()( )( )limxfxxfxfxx 存在，存在，即：即：记作记作2222( )( ),.d yd f xfxydxdx或或三阶

4、导数的导数称为三阶导数的导数称为四阶导数四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数,33( ),.d yfxydx4(4)(4)4( ),.d yfxydx一般地，函数一般地，函数 的的 阶导数的导数称为函数阶导数的导数称为函数( )f x1n 的的 n 阶导数，阶导数，记作：记作：( )( )( )( ),.nnnnnnd yd f xfxydxdx或或相应地，相应地， 称为零阶导数；称为零阶导数； 称为一称为一 阶导数阶导数.( )f x( )fx 二、二、 高阶导数的计算高阶导数的计算解解211x

5、y )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1. 由由高阶导数的定义逐步求高阶导数（直接法）高阶导数的定义逐步求高阶导数（直接法）.42222)1(2)1(22)1(2xxxxx 例例1 设设( )arctan , (0),(0).f xxff 求求例例2解解1,yx )(1 xy2(1),x )1()1()1()( nxnynn( )(),.nyxRy 求求若若 为自然数为自然数 n， 则则 ( )( )()nnnyx !,n (1)( !)nyn 0. ()!,

6、 ()0, (1)(2)(1),nmn mnmnxmnn nnnmxmn 1011 ,nnnnya xa xaxa 若若)0!nya n （则则 注意注意:合并合并, 应分析结果的规律性应分析结果的规律性,写出写出n 阶导数阶导数. 求求n 阶导数时阶导数时,求出求出1-3 或或4 阶后阶后,不要急于不要急于例例3 设设( )ln(1), .nyxy求求解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy ( )1(1)!( 1)(1, 0!1)(1)nnnnynx 11yx ( )( )11( 1)!1(1)nnnnnyxx axby 1nnnnnaaxbnaxby1)

7、()()(!)1(1 1( )( 1)(1)!nnnnnyaaxb 11yx ( )( )11( 1)!1(1)nnnnnyxx ( )1(1)!( 1)(1, 0!1)(1)nnnnynx ln(1),yxln(),ybax解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例例4 设设( )sin , .nyxy 求求 )2sin( )sin( )( nbaxabaxnn )2cos( )cos( )( nbaxabaxnn( )sin si

8、n()2nxxn ( )cos cos()2nxxn 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax ( )22sin()nnaxyabebxn (arctan)ba ( )sin .axnyebxy 求求例例5 设设 ( a , b为常数为常数)， 2. 高阶导数的运算高阶导数的运算法则法则莱布尼茨公式莱布尼茨公式设函数设函数 u 和和 v 具有具有 n 阶导数，则阶导数，则( )( )(1)(2)()( )( )

9、()( )0(1)(3) ()2!(1)(1)!nnnnn kknnkn kknkn nu vuvnuvuvn nnkuvuvkC uv ( )( )(2) ()nnCuCu ( )( )( )(1) ()nnnuvuv( )( )1(4) nnuuvv解解例例6 设设22(20), .xyx ey 求求设设22,xuevx则由莱布尼茨公式知则由莱布尼茨公式知202219218220 19220 22222!xxxexexe 20222(2095)xexx(20)2(20)22(19)22(18)2()20()()20(201)()()02!xxxyexexex 幂函数与指数函数（三角）相乘时

10、求高阶导数，幂函数与指数函数（三角）相乘时求高阶导数， 一般用一般用莱布尼茨莱布尼茨公式公式 3. 间接法间接法:常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()sin()2()( nbaxabaxnn)2cos()cos()3()( nbaxabaxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用利用已知的高阶导数公式已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.解解)1111(21112 x

11、xxy例例7 设设( )21, .1nyyx 求求( )( )( )21111112121nnnyxxx111( 1)!( 1)!2 (1)(1)nnnnnnxx解解 2)( )21, .2nyyxx 求求( )11111 ( 1) ( )!3(1)(2)nnnnynxx111 ()312yxx 如果是二次多项式的分数，要分解因式，如果是二次多项式的分数，要分解因式，化成一次多项式。化成一次多项式。解解例例8 1)2( )cos, .nyxy 求求( )1 2sin(2(1)2nnyxn 2cossinsin2yxxx 如果如果是高阶的三角函数，要降幂处理。是高阶的三角函数，要降幂处理。66

12、sincosyxx53cos488x( )3 4cos(4).82nnyxn 解解66( )2) sincos,.nyxxy求求2323(sin)(cos)xx224224(sincos)(sinsincoscos)xxxxxx22222(sincos)3sincosxxxx231sin 24x3 1cos4142x 53cos488x66 sincosyxx33ab ()ab 22()aabb内容小结内容小结 逐阶逐阶求导然后求导然后归纳归纳高阶导数的间接求法：高阶导数的间接求法：利用利用已知的高阶导数已知的高阶导数公式公式高阶导数高阶导数的直接求法：的直接求法： 高阶导数的运算法则和高阶导

13、数的运算法则和莱布尼茨公式莱布尼茨公式( )()ln(0)xnxnaaaa( )()(1)(1)nnxnx ( (注意注意 的情况的情况) )n ( )11nx 1!( 1)(1)nnnx )2n ( )(cos )cos(nxx)2n ( )(sin )sin(nxxaxby 1nnnnnaaxbnaxby1)()()(!)1(1 1( )( 1)(1)!nnnnnyaaxb ln(),ybax )2sin( )sin( )( nbaxabaxnn )2cos( )cos( )( nbaxabaxnn sin() abxayx eyxaxb或或者者用莱布尼茨公式用莱布尼茨公式21, yaxb

14、xc 进行因式分解，化成一次的形式进行因式分解，化成一次的形式sincos, abyxx高阶的三角函数，降幂处理高阶的三角函数，降幂处理 ( )22sinsin()nnxxaaebxabebxn (arctan)ba 思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，求求 .( )fa ( )g x 2( )()( )f xxag x2( )2() ( )()( )fxxa g xxag x2( )2 ( )2()( )2()( )2()( )fxg xxa g xxa g xxagx 思考题解答思考题解答( )fa ( )( )limxafxfaxa ()( )0fa 注注意意到到：( )limxafx

15、xa 2( )2() ( )()( )fxxa g xxag x2 ( )g a lim2 ( )()( )xag xxa g x 故用定义求故用定义求( )fa 不一定不一定存在，存在，( )gx 可导可导( )g x思考与练习思考与练习1. 如何求下列函数的如何求下列函数的 n 阶导数阶导数?xxy 11)1(xxy 1)2(3解解: 解解: 211yx ( )1!2( 1)(1)nnnnyx 2111yxxx ( )1!,3(1)nnnynx 2312 xxy1121 xxy 11)()1(1)2(1!)1(nnnnxxny(3)12)1)(2(1 xBxAxx提示提示: 令令 )2(xA2 x )1(xB1 x1 1 )1)(2(1 xx)1)(2(1 xx各项均含因各项均含因子子 ( x 2 )2. (填空题填空题) (1) 设设则则提示提示:( )f x (2)nx 2(1) cos16nxx ( )( )nfx!n 2(1) cos16nxx 22