高等数学：数列极限和函数极限

1、数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义11 数列极限定义设有数列与常数，如果对于任意给定的正数（不论它有多么小），总存在正整数，使得当时，不等式 都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记作.读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于”.数列极限存在，称数列为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的定义，着重注意以下几点： （1）的任意性: 定义中

2、正数的作用在于衡量数列通项与定数的接近程度越小，表示接近的越好.而正数可以任意的小,说明与可以接近到任何程度，然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出.（2）的相应性: 一般说，随的变小而变大，由此常把写作，来强调是依赖与的，但这并不意味着是由所唯一决定的，重要的是的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中的也可以改写成.（3）几何意义:对于任何一个以为中心，为半径的开区间，总可以在数列中找到某一项，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有的有限项（项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其

3、解析表达式为;我们把数列中的用来替换后就得到了一个函数,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义.12函数极限定义1.2.1 时函数的极限：设函数为上的函数，为定数，若对任给的，总存在着正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作.即有有.对应的,我们也有的相应的语言成立.对于函数极限的定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数的作用与数列极限定义中的类似,表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数,而不仅仅是正整数.（2）当时,函数以为极限意味着: 的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给的,在坐标平面上,

4、平行于轴的两条直线与,围成以直线为中心线,宽为的带形区域；定义中的“当时,有”表示:在直线的右方,曲线全部落在这个带形区域之内.1.2.2 时函数的极限：设函数 在点的某一去心邻域内有定义，为定数，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当时，有，则常数为函数在时的极限，记作.即有.对应的,我们也有的相应的语言成立.对于函数极限的定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数,相当于数列极限定义中的,它依赖于,但也不是由所唯一确定的,一般来说, 愈小, 也相应地要小一些,而且把取得更小些也无妨.（2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是

5、因为,对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式等价于，而不等式等价于.于是，定义又可写成：任给,存在,使得一切有.或更简单的表为:任给,存在,使得.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给的,在坐标平面上画一条以直线为中心线,宽为的横带,则必存在以直线为中心线、宽为的数带，使函数的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点可能例外（或无意义）.2.极限性质21 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列收敛,则它只有一个极限.（2）若数列收敛，则为有界数列.（3）若数列有极限，则其任一子列也有极限.（4）保号性，即若，则对任

6、何,存在正整数，时,.（5）保不等式性:即若与均为收敛数列, 若存在正整数，使得当时有，则.（6）数列极限的基本公式（四则运算）设存在,则22函数极限性质（1）极限唯一性；若极限存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若存在，则在的某空心邻域内是有界的，当趋于无穷大时，亦成立.（3）局部保号性若，则对任何正数,存在使得对一切有，当趋于无穷大时，亦成立. （4）保不等式性若，且在某邻域内有，则.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设存在,则通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设为有上界的递增数列.由确界原理,数列有上确界,记.下面证明就是的极限.事实上,任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性，当时有 。另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有所以当时有这样就证得, .同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限即为它的下确界.(2) 数列收敛的柯西准则:数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数，使得当时，有.(3) 数列极限的夹逼准则如果收敛数列，都以