高等数学教学课件：Lecture 12-Rules for Taking Derivatives

1、复习复习1. 导数的实质导数的实质:3. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;4. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接直接用定义求导数用定义求导数;左右左右导数是否存在且相等导数是否存在且相等.2. 增量比的极限增量比的极限;0()fxa 00()()fxfxa()C ()x (log)ax (sin )x (cos )x ()xa 01x 1lnxacosxsinx lnxaa第二节第二节函数的求导法则函数的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问

2、题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 解决求导问题的思路解决求导问题的思路:(构造性定义构造性定义 )求导法则求导法则其他基本初等其他基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容0()( )( )limxf xxf xfxx (log)ax 1lnxa()x 1x ()xa lnxaa(sin)x cosx()C 0一一、函数四则运算的、函数四则运算的求导法则求导法则定理定理如果函数如果函数 在点在点 处可导，则它们处可导，则它们( ),( )u xv xx的和、差、积、商的和、差、积、商( (分母不为

3、零分母不为零) )在点在点 处也可导，处也可导，x并且并且 ( )( )( )( );u xv xu xv x(1) ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v x(2)2( )( ) ( )( ) ( )( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx (3)故结论成立故结论成立. ( )( )( )( );u xv xu xv x(1)0()( )( )limhf xhf xfxh 0 ()() ( )( )limhu xhv xhu xv xh 0()( )limhu xhu xh 0()( )limhv xhv xh (

4、 )( )u xv x证证: :则则( )( )( ) ,f xu xv x设设 ()( ) v xhv xh 则有则有故结论成立故结论成立. ( )( )( ) ( )( ) ( );u xv xu x v xu x v x(2)证证: 设设( )( ) ( ) ,f xu x v x 0()( )( )limhf xhf xfxh 0() ()( ) ( )limhu xh v xhu x v xh 0()( )limhu xhu xh ()v xh ( )u x( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x() v xhh 证证: 设设则则有有故结论成立故结论成立.2( )(

5、) ( )( ) ( )( ( )0).( )( )u xu x v xu x v xv xv xvx (3)() ( )( ) ()() ( )u xh v xu x v xhv xh v x h( ) ( )u x v x 0()( )( )limhf xhf xfxh 0 limhh ()()u xhv xh ( )( )u xv x 0 lim() ( )hv xh v x () u xhh ( )u x ( )v x( )v x ( )u x 2( ) ( )( )( )( )u x v xu x v xvx ( )( ),( )u xf xv x 推论推论11(1)( )( );n

6、niiiif xf x (2)( )( );Cf xCfx 1212112(3) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ninninf xfx fxfxfx fxfxfx fxfx 例例cosxxax 求求 的导数的导数.例例1322sinyxxx解解23yx 4x 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 cos . x .2sin1ln2cos2xxxx 求求 的导数的导数.例例2sin2lnyxx求求 的导数的导数.例例3tanyx 解解sin(tan )()cosxyxx2(sin ) cos

7、sin (cos )cosxxxxx 222cossincosxxx 221seccosxx同理可得同理可得即即2(tan )sec.xx 2(cot )csc.xx 求求 的导数的导数.例例4secyx 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin 同理可得同理可得xxx2cos)(cos1cos1 即即(sec )sectan .xxx (csc )csccot .xxx 二、反函数二、反函数的求导法则的求导法则定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.1,( ( )f x 如果函数如果函数 在某

8、区间在某区间 内单调、内单调、可导且可导且 ，( )xy yI( )0y 1( ) ( )fxy 也即：也即：1ddddxyyx 在对应区间在对应区间 内也可导，且有内也可导，且有( )yf x xI那么它的反函数那么它的反函数证证由由 的单调性可知的单调性可知( )yf x , 0 y于是有于是有,1yxxy 0(0),yx ( )0y 又又知知0( )limxyfxx 01limyxy 1( )y 1( ).( )fxy 即即), 0(xIxxx ( )f x连续连续 ,xxI 任任取取 xx 以以增增量量给给解解)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 同理可得同理可

9、得即即求求 的导数的导数.例例5arcsinyx sin (,)2 2yxyI 在在内单调可导，内单调可导，(sin )cos0,yy 且且 ( 1,1)xI 在在内有内有21(arcsin ).1xx 21(arccos ).1xx 21.1x 21(arcsin ).1xx 21(arccos ).1xx 21(arctan );1xx 21(arccot ).1xx 解解特别地特别地即即求求 的导数的导数.例例6logayx (,)yyxaI 在在内单调可导，内单调可导，()ln0,yyaaa 且且 (0,)xI在在内有内有1(log)()ayxa 1lnyaa 1.lnxa 1(ln

10、).xx 1(log)lnaxxa 小结小结:(arcsin )x 211x (arccos )x 211x (arctan )x 211x (arccot )x 211x ()lnxxaaa (e )exx 1(log)lnaxxa 1(ln )xx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理如果函数如果函数 在点在点 可导，可导，( )ux 0 x则复合函数则复合函数 在在点点 可导，可导， ( )yfx 0 x( )yf u 在点在点 可导，可导，00()ux 而而且其导数为且其导数为000d()().dx xyfuxx ddddddyyuxux即即: 因变量对自变量求导因变量

11、对自变量求导, 等于等于因变量对中间变因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. (链式法则链式法则)证证由由 在点在点 可导，可导，0u( )yf u 00lim()uyfuu 00()(lim0)uyfuu 故故从而从而0()yfuuu 00lim()xuufuxx 0limxyx 0000() limlimlimxxxuufuxx 00()().fux 例如例如,关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.推广：推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.( ) ,( ) ,( )yf

12、uuvvxyuvxddyx ddyu dduv ddvx( )( )( )fuvx解解解解同理可得同理可得求求 的导数的导数.例例7lnsinyx ln ,sin .yu uxddddddyyuxux1cosxucossinxx cot x 求求 的导数的导数.例例8shyx 1(sh ) ()2xxyxee 1()2xxee ch . x (sh )ch .xx (ch )sh .xx 解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx求求 的导数的导数.例例10 xyx 求求 的导数的导数.例例9210(1)yxln()(e)xxxx ( ln )xx l

13、nexx xx (ln1)x 解解解解求求 的导数的导数.例例11222arcsin22xaxyaxa(0)a 222()(arcsin)22xaxyaxa2212ax22212xax 2222aax 22.ax22222222()()2 axaxaxxax 222()(arcsin)1()1 xxaaxaax 解解解解求求 的导数的导数.例例12231ln(2)2xyxx 211ln(1)ln(2),23yxx21112213(2)yxxx 2113(2)xxx求求 的导数的导数.例例131sinxye 1sin1(sin)xyex 1sin11cos()xexx 1sin211cos.xe

14、xx ln)(sin )(sin222 xxgxfy例例14 设设解解221cos ()ln () 2g xxg xxx （）222(sin)sin ()ln , ,yfxg xxy 求求22222 (sin)(sin) sin21 cos ()ln 2()fxfxxg xxg xxx （）其中，其中， 有连续的导数有连续的导数 .( ), ( )f xg x222 (sin)(sin) 2sincosfxfxxx 2222 ()( )()2()u xf xfuxxfx 思考：思考：22()( );u xfxfu 2()fx 2 ()f x 和和 的区别的区别四四、初等函数的求导问题、初等函数

15、的求导问题xxtansec1. 基本基本初等函数的导数公式初等函数的导数公式xxcotcsc axln1x10 xcosx2sec1 xxsin x2csc aaxlnxe )(C )(x )(xa )(xe )(log xa )(ln x )(sin x )(cos x )(cotx )(tan x )(sec x )(csc x3. 反反函数函数的求导法则的求导法则4. 复合函数复合函数的求导法则的求导法则(arcsin )x (arccos )x 211x 211x (arctan )x 211x (arccot )x 211x 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及

16、法则初等函数求导问题可完全解决.注注: 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数.2. 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则2( )arctan1x 例例15. 求求解解:2sin2earctan1 ,xyx.y 2sinex2cosx 2x y 2sine( )x 21x2121x 2x 2x 2cosx2sinex2arctan1x 211xx 2sinex关键关键: 搞清复合函数结构由外向内逐层求导搞清复合函数结构由外向内逐层求导解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxx

17、xxx .812422xxxxxxxxxx 例例16. 求求,yxxx.y 解解例例17. 求求(sin),nnnyfx .y 1(sin)(sin)nnnnnynfxfx 1(sin)(sin)nnnnxx 1cosnnxnx 1(sin)(sin)(sin).nnnnnxfxx 311cos(sin)nnnnnnxxfx 2121x 例例18. 求求解解:.y 11,11xxyxx 22212xxy 21xx1y (2 )x 211xx 先化简后求导先化简后求导aaaxln 解解:1 aaaxay1 axaaaxaln aaxln 例例19. 设设求求(0),aaxaxayxaaa.y 双

18、曲函数双曲函数与反双曲函数的导数与反双曲函数的导数(sh )ch .xx (ch )sh .xx 即即sh thchxxx 222chsh(th )chxxxx 21(th )chxx :arcsh ,yx 若若则则221sh 210 22yyyyyyeeexyexee 2 arshln(1)xxx (arsh )x 22(1)1xxxx 211xx 2(1)1xx 22244 12yxxexx211x 内容小结内容小结注意注意: ( )( )( ) ( ) ;u xv xu xv x.)()()()(xvxuxvxu 分段函数求导时分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数

19、求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链式求导法）合理分解正确使用链式求导法）;思考题思考题1431 4x 1. 对吗对吗?1xx 341x 1423114xx 其中其中在在时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,( )() ( ),f xxax ( )x xa ( )fa 2. 设设( )( )() ( )fxxxax 因因故故( )( )faa 由于由于 f (a) = 0，故，故正确解法正确解法:( )( )( )limxaf xf afa

20、xa () ( )limxaxaxxa lim ( )xax ( )a 3. 设设求求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.方法方法2 利用求导公式利用求导公式.( )(1)(2)(99),f xx xxx(0).f 0( )(0)(0)lim0 xf xffx 0lim(1)(2)(99)xxxx99! ( )fx (1)(2)(99)xxx( )x (1)(2)(99)xxx x (0)99!f 4. 若若 在在 不可导，不可导， 在在 可导，且可导，且( )f u 则则 在在 处处0u( )ug x 0 x00(),ug x ( )f g x0 x1. 必可导必可导2. 必不可导必不可导3. 不一定可导不一定可导思考题解答思考题解答正确地选择是（正确地选择是（3）例例在在 处不可导，处不可导，( ) |f uu 0u 取取在在 处可导，