立体几何证明题专题(教师版)分析

1、7 / 21立体几何证明题考点1 :点线面的位置关系及平面的性质例1.下列命题： 空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 三角形是平面图形； 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； 垂直于同一直线的两直线平行； 一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是.【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题错，中有可能出现两平面只有一条公共线（当这三个公共点共线时），错空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若 为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一

2、个平面或三个平面中平行四边形及梯形 由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图（1）所示.B' C D中，直线 BB丄AB BB丄CB但AB与CB不平行，二错. AB/ CDBB AB= B,但BB与CD不相交，错如图（2）所示，AB= CD BC= AD四边形ABCDr是平行四边 形，故也错.【答案】2.若P是两条异面直线I、m外的任意一点，贝U （A.过点P有且仅有条直线与I、m都平行B.过点P有且仅有条直线与I、m都垂直C.过点P有且仅有条直线与I、m都相交D.过点P有且仅有条直线与I、m都异面答案 B解析 对于选项A,若过点P有直线n与I , m都平行，则I /

3、 m这与I , m异面矛盾.对于选项B,过点P与I、m都垂直的直线，即过 P且与I、m的公垂线段平行的那一条直线.对于选项C,过点P与I、m都相交的直线有一条或零条.对于选项D,过点P与I、m都异面的直线可能有无数条.3. 已知异面直线a, b分别在平面 , 内，且= C,那么直线C一定A. 与a, b都相交B. 只能与a， b中的一条相交C. 至少与a, b中的一条相交D. 与a, b都平行答案 C解析 若C与a, b都不相交，则C与a, b都平行，根据公理 4,则a/ b,与a, b异面矛盾.P Q R S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是考点2 :共点、共线、共面问题例1.下列各

4、图是正方体和正四面体,【解析】在A中易证PS/ QR P、Q R S四点共面. 在C中易证PQ/ SR P、Q R S四点共面. 在D中， QR平面ABCPS面 ABC = P且 P?QR直线PS与QF为异面直线. P、Q R S四点不共面.在B中R Q R S四点共面，证明如下：取BC中点N,可证PS NF交于直线 BC上一点， R N R S四点共 可证PS/ QN R Q N S四点共面，设为 .面，设为 .都经过R N S三点， 与重合， R Q R S四点共面.2.空间四点中，三点共线是这四点共面的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件【答案】DC.充分必要条件答案 AD.既不充

5、分也不必要条件3.下面三条直线一定共面的是A. a、b、C两两平行B. a、b、C两两相交C. a/ b, C与a、b均相交D. a、b、C两两垂直答案 C4. 已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点.【解析】设 = a, = b, Y = C,L由 a? , b? ,贝U a b= 0,如图,或a/ b,如图，若a b= Q0 a, a? ,贝V Q ,Qb, b? ,贝VQY ,又 Y = C,因此 Q C；若 a / b, a? , b? ,贝V a / ,又 a? , = c,贝V a / c.因此三条交线相交于一点或互相平行.5.如图所示，已知空间四边形

6、 ABCDL E H分别是边AB AD的中点，F, G分别是边BC CD上的点,=CG=2B= CD= 3. 求证：三条直线 EF, GH AC交于一点.(2)若在本题中,AE CFEB=FB= 2,AH CG3HD GD ,其他条件不变.求证:EH FG BD三线共点.【解析】(1) E, H分别是AB AD的中点,1由中位线定理可知，EH綊2BDCF CG 2又=-又' CB-CD- 3，2在厶 CBD, FG/ BD 且 FG -BD3由公理4知，EH/ FG且EKFG四边形EFGHl梯形，EH FG为上、下两底.两腰EF GH所在直线必相交于一点 P. P 直线 EF, EF?

7、平面 ABC P平面ABC同理可得 P平面 ADC P在平面ABC和平面ADC勺交线上.又面 ABCn 面 ADC= AC P直线AC故ER GH AC三直线交于一点.AE CFEB= FB= 2， EF/ AC又AH= FD= 3, HG/ AC EF/ HG 且 EF>HG HD GD四边形EFGl为梯形.设EH与 FG交于点P,贝U P平面 ABD P平面BCD P在两平面的交线 BD上. EH FG BD三线共点.考点3 :异面直线的夹角1.在正方体 ABCB AIBCD中，E为AB的中点.求 BD与CE所成角的余弦值.【解析】连接AD, AiD交点为M连接ME MC则 MEC或

8、其补角）即为异面直线 BD与CE所成的角，设 AB= 1, CE= ¥，ME= ?bd= 23, CM= CD + di |.在厶 MECK CoS MECcE+ ME- CM 152CE ME = 75,因此异面直线BD与CE所成角的余弦值为.1575.2. 如图，若正四棱柱 ABC- ABCD的底面边长为2,高为4,则异面直线BD与AD所成角的正切值是53.已知正四棱柱 ABCD-ABCD中，AA= 2AB E为AA中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为A.,10101B. C.5D-答案 C解析 连接BA,则CD/ BA,于是 ABE就是异面直线 BE与CD所成的角（或补角

9、），设AB= 1,则BE= /2, BA= 5, A E= 1 ,在 A1BE 中,cos A1BE=选C.4.已知正方体 ABC- A B C D中，E为CD的中点，则异面直线 AE与BC所成角的余弦值为 【解析】取AB的中点F,连接EF, FA则有EF/ BC / BC AEF即是直线 AE与BC所成的角或其补角.设正方体 ABCABCD的棱长为2a,则 有EF=2a,AF=2a2 + a =.,5a,AE=2a 2+2a2+ a =3a.在厶 AEF 中，cos AEF=aE+ EF AF 9a + 4a 5a 22=.因此，异面直线 AE与BC所成的角的余弦值是-.2AE EF 2 &

10、#215; 3a × 2a 332【答案】2考点4 :直线与平面平行的判定与性质1. 下列命题中正确的是. 若直线a不在内，则a / ； 若直线l上有无数个点不在平面 内，则I / ; 若直线I与平面平行，则I与内的任意一条直线都平行； 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； 若I与平面平行，则I与内任何一条直线都没有公共点； 平行于同一平面的两直线可以相交.答案解析 a = A时，a不在内，错；直线I与相交时，I上有无数个点不在内，故错；I / 时，内的直线与I平行或异面，故错；a/ b, b/ 时，a/ 或a? ,故错；I / ,则I与 无公共点， I

11、与内任何一条直线都无公共点，正确；如图，长方体中，AC与BD都与平面 ABCD平行，正确.2. 给出下列四个命题： 若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行； 若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行； 若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行.其中正确命题的个数是 个.答案 1解析 命题错，需说明这条直线在平面外.命题错，需说明这条直线在平面外.命题正确，由线面平行的判定定理可知.命题错，需说明另一条直线在平面外.3. 已知不重合的直线 a, b和平面

12、, 若 a/ , b? ,贝y a/ b； 若 a/ , b/ ,贝U a/ b； 若 a/ b, b? ,贝U a/ ； 若 a/ b, a? ,则 b/ 或 b? ,上面命题中正确的是 （填序号）.答案解析 若a / , b? ,贝y a, b平行或异面；若 a/ , b/ ,贝y a, b平行、相交、异面都 PE= BQ AP DQ PE= BQ有可能；若 a/ b, b? , a或a? .4.正方形ABCDf正方形 ABEF所在平面相交于 AB在AE BD上各有一点 P Q 且AP= DQ求证：PQ/平面BCE【证明】方法一 如图所示.作 PM/ AB交 BE于 M 作 QN/ AB交

13、 BC于 N, 连接MN正方形 ABC刖正方形 ABEF有公共边 AB AE= BD又 AP= DQ PE= QB又 PM/ AB/ QN PM PE QB QN BQ AB= AE= BD DCrBi)PM QNAE= DC PM綊QN即四边形PMN为平行四边形. PQ/ MN又 MN 平面 BCE PQ平面 BCE PQ/平面 BCE方法二 如图，连接AQ并延长交BC延长线于K,连接EK AE= BD AP= DQDQ AQ AP AQ又 AD/ BK BCr QK PP= QK PQZ EK又 PCP平面 BCE EK?平面 BCE PQ/平面 BCE方法三 如图，在平面 ABEF内 ,

14、过点P作PM/ BE交AB于点M连接QM PM/ 平面 BCE又平面 ABE平面BCE= BEAP AM PMy BE, 二?=.PE MB又 AE= BD AP= DQ PE= BQ APrDQ AM=DQ PE= BQ MB= QB MQ AD 又 AD/ BC MQ BC, MQ 平面 BCE又 PMr MQ= M平面PMQ平面BCE又PCP平面PMQ PQ/平面 BCE5. 一个多面体的直观图和三视图如图所示（其中M N分别是AF BC中点）.<1>求证：MN/平面CDEF<2>求多面体A CDEF的体积.解析 证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三

15、棱柱，且AB= BC= BF= 2,DE= CF= 2 ：2 , CBF= 90° .取BF中点G,连接MG NG由M N分别是AF, BC中点,可知：NG/ CF MG/ EF又M( NG= G, CF EF= F ,平面 MNG平面 CDEF MN/平面 CDEF 作AHL DE于 H,由于三棱柱 ADE-BCF为直三棱柱, AHL平面 CDEF且 AH= ,：2.cdef AH= 1 × 2×2 八=3.6.若P为异面直线a , b外一点，则过 P且与a , b均平行的平面A.不存在B.有且只有一个C.可以有两个D.有无数多个答案 B7.如图，在正方体 AB

16、C ABlCD中，点N在BD上,点M在 BC上,且CM= DN求证：MN/平面AABB.19 / 21【证明】 方法一 如右图，作 ME/ BC交BB于E;作NF/ AD交AB于F,连接EF,则EF?平面AAlBIBL BD= BiC , DN= CM BiM= BNME_ BM NF=BNBC= BC，ADr BDME BN= ND ME= NFBC BD AD又 ME BC/ AD/ NF MEFr为平行四边形. NME EF.又 I MN面 AABB, MN/平面 AABB.方法如图，连接CN并延长交BA的延长线于点 P,连接BP,则BP?平面AABB.DN CNNEr NR 又 CM=

17、 DNBCr BD CM= DN= CNMB NB NP MN/ BP. B P?平面 AABi B, MN/平面 AABi B.方法三 如右图，作ME BB,交BC于点P,连接NPZCM CPV MPz BB， MBr CB. BD= Bi C, DN= CMCM DN B M= BN MBr NBCP DNCBr NN NP" DCZ AB平面MNP平面AAB B. MN/平面 AABi B.48.如图所示，四棱锥 PABCC中,底面 ABCD正方形，PDL平面 ABCD PD= AB= 2, E,F, G分别为PC PD BC的中点(1 )求证：PA/平面EFG 求三棱锥EFG

18、的体积.解析 (1 )证明 如图，取AD的中点H连接GH FH E, F分别为PC PD的中点， EF/ CD G H分别是BC AD的中点， GH/ CD EF/ GH E F, H, G四点共面. F, H分别为DP DA的中点， PA/ FH PA?平面 EFG FH?平面 EFG PA/平面 EFG(2) PDL平面 ABCD CG> 平面 ABCD PDL CG 又 CGL CD CDn PD= D, GCL平面 PCD11 11 PF= 2PD= 1, EF= qCD= 1 , SAPEF=1 1 1 1又 GC=二BC= 1 , VP-EFG= VG-PEF= ×

19、 - × 1 =二.2'3269.如图所示，a , b是异面直线，A、C与B、D分别是a , b上的两点，直线 a/平面 ,直线b/平面【证明】 , AB = M CDna= N 求证：若 AM= BM 贝U CN= DN连接AD交平面a于E点，并连接 ME NE b/ a , MR 平面 ABD 平面 a 面 ABD= ME ME/ BD 又在 ABD中 AM= MB Aj ED即E是AD的中点.又a/a , EN?平面ACD平面a 面ADC= EN EN/ AC而E是AD的中点. N必是CD的中点， CN= DN10.如图，在三棱柱 ABC- ABlC中，E为AC上一点，

20、若 AB/平面CEB求：AE： EC【解析】连接BC交BC于点F ,则F为BC中点. AB/ 平面 GEBAB?平面ABC,且平面 GEB平面 ABC= EF AB/ EF, E 为 AC中点. AE： EC= 1 : 1.【答案】1 : 1考点5 :面面平行的判定及性质1. 设m n是平面内的两条不同直线；1, 2是平面内的两条相交直线，则 / 的一个充分而不必要条件是（）A.m/ 且 l 1 / B.m/11 且 n /12C.m/ 且 n / D.m/ 且 n /12答案 B解析 因m? , l 1? ,若 / ,则有m/ 且l 1/ ,故 / 的一个必要条件是 m/ 且l 1 / ,排

21、除A.因m n? , l 1, 12? 且11与12相交，若m/11且n / 12,因l 1与12相交，故m与n也相 交， / ;若/ ,则直线m与直线l 1可能为异面直线，故 / 的一个充分而不必要条件是 Vm 11且n / 12 ,应选B.2. 棱长为1的正方体 ABCABCD中，点P, Q, R分别是面 ABCD, BC（ZB1, ABEAI的中心，给出下 列结论：PR与 BQ是异面直线; RQL平面BCGB ; 平面PQm平面 DAC 过P, Q, R的平面截该正方体所得截面是边长为,'2的等边三角形.由于 RQ /PQ / AB /确.故填以上结论正确的是 .（写出所有正确结

22、论的序号 ）解析 由于PR是厶ABC的中位线，所以PR/ BQ故不正确；AG,而AG不垂直于面 BCGB ,所以不正确；由于 PR/ BC/ DA,DC所以正确；由于 ABC是边长为；2的正三角形，所以正3.已知PABC所在平面外一点， G、G、G分别是 PAB PCB PAG的重心.<1>求证：平面 GGG /平面 ABC<2>求 Sa G1G2G3 : SABC.【解析】如图，连接PG、PG、PG并延长分别与边 AB BC AC交于点D E、F.连接DE EF FD贝U有 PG： PD= 2 : 3,PG ： PE= 2 : 3. GG / DE又GG不在平面 AB

23、C内, GG/平面 AB(C同理GG/平面 ABC又因为GG GG= G,平面 GGG/平面ABCIA. PG PG 22由知PD= Pr 3GG= 3DE.11又 DE= -AC GG= 3AC231 1同理 GG= 3AB GG= 3BC GGGsA CAB 其相似比为 1 : 3. SA GGG : S ABC= 1 : 9.4.给出下列关于互不相同的直线I、m n和平面a、卩、Y的三个命题: 若I与m为异面直线，I ? ，m? ,则a / ; 若 a/ , I? a , m? ,贝UI/ m 若 a = I , = mYa = n,I /,贝 V Vm n.其中真命题为.答案解析中当a

24、与不平行时，也能存在符合题意的I、m中I与m也可能异面.I / Y中i ? Pl / m = m同理I / n,则 Vml n,正确.5.如图所示，正方体 ABCABCD中，M N E、F分别是棱AB, AD, BC, CD的中点.求证：平面 AMN平面EFDB【证明】 连接MF T M F是AB、CD的中点，四边形 A B G D为正方形， MF A Dl.又 ADl AD MF AD四边形AMF是平行四边形. AM/ DF DF?平面 EFDB AM平面 EFDB AM/平面EFDB同理 AN/平面EFDB又 AM ANP 平面 ANM AM AN= A,平面AMN平面EFDB6.在正方体

25、 ABCD AIBGD中，M N P分别是CC, BC, GD的中点，求证：平面 MNm平面ABD证明方法一如图所示，连接BD.T P, N分别是DC, BG的中点， PN/ BD1.又 BD / BD PN/ BD又 PN?平面 ABD PN/平面 ABD同理：MIN/平面AIBD又 PN MN= N,平面PMN平面ABD方法二 如图 所示，连接AG, AQ ABCB ABGD为正方体， ACLBD又CC丄平面ABCD AC为AG在平面ABCDk的射影， AC 丄 BD同理可证AC丄Ai B, AC丄平面AIBD同理可证AC丄平面PMN平面PMN平面AIBD7.如图所示，平面 /平面 ,点A

26、 , C ,点B , DGe ,点E、F分别在线段 AB CD上,且 AE： EB= CF： FD .当AB 平面 平面CD在同一平面内时,ABD= ACABD= BD AC/ BD AE： EB= CF： FD EF/ BD 又 EF? ,BD? , EF/ . , 平面 ACD=AC AC/ DH甘I在AH上取一点 G 使AG GH= CF： FD当AB与 CD异面时,设平面AC = DH且DH= AC四边形ACDb是平行四边形.又 AE： EB= CF： FD GF/ HD EG/ BH又EG GF= G, 平面 EFGZ平面 . EF?平面 EFG EF/ .综上，EF/ .8.已知：

27、如图，斜三棱柱 ABC-ABG中，点D D分别为AC AiC上的点.ADDC的值等于何值时,BG/ 平面 ABD;若平面BGD/平面 ABD,求AD的值.【解析】如图，取D为线段AG的中点，此时AiDDC=1 ,连接AB交AB于点0,连接0D.由棱柱的性质，知四边形 AABB为平行四边形，所以点 O为AiB的中点.在厶Ai BG中，点O D分别为Ai B AiG的中点, OD/ BG.又 OD?平面 ABD, BG?平面 ABD , BG / 平面 ABD.Ai D丄=i 时，BG/平面 ABD.Dl C 由已知，平面 BGD/平面ABD,且平面 A BG平面BDC= BG,平面 A BG 平

28、面 ABD= D O 因此 BG/ D O,同理 AD/ DG.Ai Dl Ai O A DI DG DC=OB DC=Ab又Ai O=iOB i ,DG Hn AD AD=I，即 DC= i .考点6 :线线、线面垂直i .设a、是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是A. 若 a / , b/ a ,贝U a/ bB. 若 a/ a , b/ , a/ b,U / C. 若 a , b , ab,U D. 若a、b在平面内的射影互相垂直，则 a b答案 C解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错

29、误；如图（i ）,设OA/ a,OB/ b,直线OAOB确定的平面分别交a、于AGB C则OAL AG OBL BC所以四边形 OACB为矩形， AGB为二面角a -1 - 的平面角，所以a , C正确； 如图（2）,直线a、b在平面a内的射影分别为 m n显然m n,但a、b不垂直，所以D错误，故选G.2“直线I垂直于平面内的无数条直线”是“ I丄a”的A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C充要条件 D .既不充分又不必要条件答案 B3.若m n表示直线，a表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为m/nnL a? n丄aI? m/ nml aml aml aVm a? ml n ?n丄a

30、n/ aml nA. 1B . 2 C . 3 D . 4答案C解析正确，错误.4.如图，四棱锥 P-ABCD中, PAI底面 ABCD ABL AD AGLCD ABG= 60°, PA= AB= BC E是 PC的中点.求证： CDL AEPDL平面ABE【证明】 (1) PAL底面ABCD/ CDL PA又 CDL AC PA AC= A,故CDL平面PAC AE?平面PAC故 CDL AE PA= AB= BG ABC= 60°,故 PA= AC E是PC的中点，故AEL PC由(1)知 CDL AE从而AEL平面PCD故AEL PD易知BAL PD故PDL平面AB

31、E5.设I是直线，a , 是两个不同的平面A.若I /a ,I / ,则 a/B.若I /a ,I丄 ,则a丄C若I丄a ,a丄 ,贝U II丄D.若a丄,I / a ,贝 U I丄答案 B解析 A项中由I / a , I / 不能确定a与的位置关系，C项中由aL , I La可推出I / 或I? , D项由, I / 不能确定I与的位置关系.6.设b, C表示两条直线， , 表示两个平面，下列命题中真命题是A.若 b? ，C/ ,贝U b / CB.若 b? , b / C,贝U C / C.若 C / , C 丄 ,V 丄 Lf '%:D.若 C / , 丄 ,贝V C 丄 X +

32、 ",I 答案 CDe.£U 1解析 如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B错；如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；对D来讲若C / , ,贝U C与的位置关系不定，故选 C.7.在三棱柱 ABC-ABCI 中，AA丄平面 ABC AC= BC= AA= 2, ACB= 90°, E为 BB 的中点， ADE=90° ,求证：CDL平面 AABB.证明连接AE, ECCl. AC

33、= BC= 2, AC= 90°, AB-2 2 设 AC= X,贝U BC= 2 '2 X. AiD2= 4 + X2, DE= 1 + (2 .l2 X)2, AiE2= (2 1''2) 2+ 1. AiDE= 90 °, AiD2 + DE= AE2. X =、2 D为AB的中点. CDL AB又 AACD 且 AA AB- ACD平面 AABB.8.如图，长方体 ABCABCD中，底面 AiB GD是正方形，O是BD的中点，E是棱AA上任意一点.< i >证明：BD EC;<2>如果 AA 2, AE= .'

34、2, OEL EC,求 AA 的长.【解析】(i )如图，连接AC A C, AC与 BD相交于点O由底面是正方形知，BD AC因为AA丄平面 ABCD BCP平面ABCD所以 AA BD又由AA AC= A,所以BD平面 AACG再由EC?平面AACC知，BDL EC.设AA的长为h,连接OC在 Rt OAE中, AE= '2, AO- ：2, 故 OE= ( S)2+ ( ,',2)2= 4.在 Rt EAC 中，AiE= h ：2, AiC = 2>J2.故 E(C = (h -,2)2+ (2 '2)2.在 Rt OCC中, OG= .,2 , CG =

35、h,O(C= h2+ (2.因为 OEL EC,所以 E+ E(C= C.即 4 + (h .12)2+ (2 ：2)2= h2+ ( '2)2, 解得h= 3® 所以AA的长为32.考点7 :面面垂直1. ABC为正三角形，ECL平面 ABC BD/ CE且CE= CA= 2BD M是EA的中点，求证: DE= DA 平面BDlvL平面ECA 平面DEA_平面ECA【证明】取EC的中点F,连接DF BD/ CE DBL BA 又 ECL BC在 Rt EFD和 Rt DBA中，1 EF= EC= BD FD= BC= AB Rt EFD Rt DBA DE= DA1 取CA

36、的中点N连接 MN BN贝U MN綊EC MN/ BD, N点在平面 BDM. ECL平面 ABC ECL BN又 CAL BN BNL平面 ECA BN?平面BDM 平面 BDlLL平面ECA DM/ BN BNL平面 ECA DML平面ECA又DM 平面DEA平面DEA_平面ECA2.已知平面 PABL平面 ABC平面 PACL平面 ABCAEI平面 PBC E为垂足 求证：PAI平面ABC 当E%A PBC的垂心时，求证： ABC是直角三角形.【证明】在平面ABC内取一点D,作DFL AC于 F.平面PAcl平面ABC且交线为 AC DF丄平面PA(C又PA?平面PAC DFL PA 作

37、 DGL AB于 G同理可证：DGL PADG DF都在平面ABC内 , PAL平面 AB(C连接BE并延长交PC于 H E 是厶 PBC勺垂心， PC BH又已知AE是平面PBC勺垂线，PQ 平面PBC PC AE 又 BH AE= E, PC平面 ABE 又A田 平面ABE PC AB PAL平面 ABC PAL AB又 PC PA= P, ABL平面 PAC又 AC?平面 PAC ABIAC即厶ABC是直角三角形.3.如图所示，在斜三棱柱 ABC ABC中，底面是等腰三角形， AB = AC侧面BBCC丄底面ABC(1)若D是BC的中点，求证： ADL CC; 过侧面BBCC的对角线BC

38、的平面交侧棱于 M 若AM= MA求证：截面 MBCL侧面BBCC; AM= MA是截面MBCL侧面BBCC的充要条件吗？请你叙述判断理由.【证明】 I AB= AC D是BC的中点， ADL BC底面ABCL侧面BBCC,且交线为BC由面面垂直的性质定理可知 ADL侧面BBCQ又 CC?侧面 BBGC ADLCC 方法一 取BC的中点E,连接DE ME在厶BC(C中，D E分别是BG BG的中点.一 1 DE綊 qCC.1又 AA綊 CC, DEM2AA. M是 AA 的中点（由 AM= MA知）, DEM AM AME是平行四边形， ADM ME由（1）知 ADL面 BBCC, MEL侧面

39、 BBCQ.又 ME 面 BMC面 BMCL侧面 BBCC方法二 延长BA与BM交于N（在侧面AABB中），连接GN AlM= MA, NA = AB.又 AB= AG由棱柱定义知 ABC ABC. AB= AiBi, AC= AG. AiG = AiN= AB.在ABC N中，由平面几何定理知： NCB = 90°,即卩 GN丄 Bi C.又侧面 BBCi C丄底面Ai Bi Ci ,交线为Bi C , NC丄侧面BBCC又 NC?面 BNC截面CNBL侧面BBCC,即截面MBCL侧面BBCC(3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明.下面仅证明必要性(即由截面BMC侧面BBGC推出

40、AM= MA,实质是证明 M是AA的中点),过M作ME丄BG于E.截面 MBC侧面BBCC,交线为BC. ME丄面BBCC又由(1)知ADL侧面 BBCC,垂直于同一个平面的两条直线平行， AD/ ME, M E、D A四点共面.又 AM/侧面 BBCC,面 AMED BBGC= DE,由线面平行的性质定理可知AMI DE.又 AD/ ME,四边形AMED是平行四边形. AD= ME, DE綊 AM又 MM CG, DE I CC又 D是BC的中点， E是BG的中点.1 1 DE= 2GG= qAA1. AM= 2AA, MA= MA. AM= MA是截面MBCL侧面BBCC的充要条件.考点&平行与垂直的综合问题1.如图所示，在直角梯形 ABEF中，将DCE船CD折起使 FDA= 60°,得到一个空间几何体.(1) 求证：BEll平面ADF(2) 求证：AF丄平面ABCD(3) 求三棱锥E- BCD勺体积.【解析】 (1)由已知条件，可知 BC/ AD CE/ DF折叠之后平行关系不变.又因为BQ平面ADF At?平面ADF所以BC/平面 ADF同理CE/平面 ADF又因为BG CE= C, BC C平面BCE所以平面BCE/平面ADF所以BE/平面ADF 由于 FDA= 60° , FD= 2 , AD= 1 ,1所以 AF= FD+