2020-2021学年高二数学上学期期末测试卷01(理)(测试范围：必修2、选修2-1)(教师版)

1、期末测试卷Ol （理）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：必修2、选修2-1 （人教A版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给岀的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 如图，在正方体ABCD-AIBIClDl中，E、F分别为BC、的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）oA、直线AB、直线AlBlC、直线AqD、直线BiG【答案】D【解析】根据异面直线的概念可看出直线AA、AB】、£9都和直线EF是异而直线，而直线BlCI和直线EF任冋一平而BBIClC内.且这两直线不平行，直线EG与直线EF相交，故选DlJ2. 设a、卩是两个不同的

2、平而，则a丄P的充要条件是（）。A、平面a内任意一条直线与平面卩垂直B、平面cc、卩都垂直于同一条直线C、平而a、卩都垂直于同一平而D、平而a内存在一条直线与平面卩垂直【答案】D【解析】若（X丄卩，则平而a内存在直线仃平而卩不垂直，选项A不正确：而a、卩都垂直于同一条直线，则平而a Ij 平行，选项B不正确；Iz I7Ifiia .卩都垂直于同一平而，则平而a、卩町以平行，也可以相交，选项C不匸确: 若平面a内存任一条直线打平而卩垂直，则根据而而垂直的判定定理可知CC丄p, 若a丄p,则由而而垂宜的性质泄理知，平而a内垂直于两个平而的交线的直线 龙垂直于平而p，故选项D正确； 故选D。3. 点

3、P（4,-2）与圆X2 + y2 = 4上任一点连线的中点的轨迹方程是（）。A、(A-2)2+(y + l)2 =1B、(-2)2 + (y + l)2=4C、( + 2)2+(y-l)2 = lD、( + 4)2 +(y-2)2 =4. = 2x-4 = 2y + 2【答案】AJv' + 4 = 【解析】设中点坐标为A(x. v),丿F；么圆上一点设为BC, y')满疋，一 丿一 2 = 2y根据条件2 +2 = 4 ,代入后得到(2x - 4)2 + (2y + 2)2 = 4 .化简为：(x-2)2+(y + l)2 = l.故选 A。4. 已知点P是双曲线C：二-二=

4、l(>O, >0)的左支上一点，F1.几分别是双曲线的左.右焦点, Cr IrRPFdPF2，円？与两条渐近线相交于M、N两点(如图所示)，点N恰好平分线段PF?,则双曲线C的 离心率为()。A、2B. 3C、2【答案】【解析】D. 5 在三角形FxF2P中，N为PF?中点，O为人中点,II则 ON/ PR , ON 斜率为则 IanZPFlF.=-.a" a设PF2=bi. IPFII=67/, IPF2I-IPF11= 2 = 7-t/.A ZXlPFJ2+l PF1I2=4c2 ,则(a2 +b2) - = 4c2(b-)-又C2=rt2+/;2, .,.a2=(h

5、-a)2,即b = 2a, e = - = -+- = 5 ,故选 D。 aU5.已知圆 G： U-i)2 + (y÷l)2 = I,圆 C2： (X-4)2+(y-5)2=9,点 M. N 分别是圆Cr 圆 C?上的动 点，P为X轴上的动点，贝IJIPNl-IPMI的最大值是()。A、2>/5 + 2B、2vz5+4C、7D、9【答案】D【解析】圆G： (X-D2+(y +1)2 = 1的圆心E(I,-1),半径为1, HC2: (x_4)2+(y-5)2=9的圆心F(A5)，半径是3， 要使IPNI-IPMl最大，需IPNI最大，且IPMI最小，IPNl最大值为IPFl+3

6、, IPMl的最小值为IPEI-I,故I PNl-IpMl 最大值是(I PFI +3)-(1 PE I-I)=IPFI-IPE I-+41F(4t5)关于X轴的对称点F(4,-5),IPFl-IPEl=IPFl lPE0£Tl=J(4 l)2+(_5 + l)2 =5, 故IPFl-IPEI+4的最大值为5 + 4 = 9,故选D。6. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表而积为（）o8/NTKA、/3/ B、1" I1 Ifk-H-IT3i图C、43/D、23【答案】B【解析】还原三棱D-ABC,其中平面ADC丄平面ABC. M

7、DC为等边三角形,B取AC的中点为£,连接Z）E. BE则有DE丄AC.：.DE丄平 ABC. ：. DE丄EB,由图中数据知AE=EC = £3=1, DE =氐AD = yAE2+ DE2 = 2 = DC = DB ,AB = BC =迈,AC = 2, 设此三棱锥外接球球心为O,则它落在高线DE上，连接OA，则AO2 =AE2 + OE2 = + OE2. Ao = Bo = DE-OE =爲-OE、故球O的半径为故所求几何体的外接球的表I前枳S =163故选B。7已知双曲线才Ps0,网，过其左焦点F和轴的垂线,交双曲线于A、B两点,若双曲 线的右顶点在以AB为直径

8、的圆外，则双曲线离心率的取值范国是（）。B、（12）3c、G,+8）2D、（2,+ oo）【答案】B.>【解析】以M为直径的圆的丫fI为r = -9 a双曲线的右顶点<7（偽0）到以AB为直径的圆的圆心Ft-C,0）的H1离为d=a+c,XJ a + c> > 化简得/ + Uc > b2 = c2 - a2» 令a = 9=则 1 + C 1,UI!卩幺2 w-2<0, （£-2）2 +1） V0.訂一lvfv2, 乂f>l,则 1vqv2,故选 BU8如图，一个结晶体的形状为平行六而体/WCD-A1B1C1D1,其中，以顶点A为

9、端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中错误的是（）。A、ACI = 6>/6B、ACl 丄 BDC、向与两的夹角是120°D、BD与AC所成角的余弦值为孚【答案】D【解析】A选项，由题总可知AC = AB + AD + AAl ,则 AC =（B + D+AAi）2=（而+而 + 鬲）2= 牯 +丽 +兀亍+2而而+2而臣+ 2命鬲 =62 +62 + 62 ÷2×6×6×cos60° +2×6×6×cos60c +2×6×6×cos600 =6B

10、选项, ACl = 66 ,故对,BD = AD-AB . AC =B+ AD+ AAi疋丽=（而+而+硏）（而-厨=而而+而而+两而-丽而-而而_两而= 6×6×cos60 +62 +6×6×cos60° 一6' -6×6×s60 一66cos60° =0Z. ACI丄BD ,故对,C 选顶，轧丽+ HH硏.cos<>=IgJgIgl=-I向量恥与石可的川是120°,故对,D选项,血=而+ 陌=巫 + 而-而AC = AB +AD .BDl IjAC所成角的平面角为鮎 cos =I

11、cos< BDiJC >1=1 芒？ ACL IIBDiIiAClJ (為+而-阿珂+而)"冲y(AA + AD- AB)2 . y(AB + AD)26故选D。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给岀的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 关于空间直角坐标系O-QN中的一点P(l,2,3),下列说法正确的是()。A、OP的中点坐标为(丄,1丄)2 2B、点P关于X轴对称的点的坐标为(-1,2,3)C、点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3)D、点P关于XOy而对称的点的坐标为(1,2,-3)

12、【答案】ACD1 3【解析】利用中点公式町得OP的中点坐标为G丄三)，A对，2 2点P关于X轴对称的点的坐标为(1,-2,-3), B错，点P关于原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3), C对，点P关于XOy而对称的点的坐标为(1,2,-3), D对，故选ACDO10. 已知SABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3)、3(-2,-1)、C(6,-l),以原点为圆心的圆与此三角形有 唯一的公共点，则圆的方程为()。A. A-2 + y2 = 1C16B、；r + y-=5C、 + =4D. 2 + y2 = 37【答案】AD【解析】依题意，直线"的方程为芬於，化般式方程：÷

13、;2y-4=0.点O到直线 + 2y - 4 = 0的距离dl-4l-45r=T又IOAI=J(-2尸+32 =T5, IOBI=J(-2)2+(_1)2 =F IOCl=J62+(-I)2 =37 ,则以原点为鬪心的圆与此三角形有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(故圆的半径为1或37，则圆的方程为x2 + y2 = 或F + b=37,故选AD°r I2211.我们把离心率为的双曲线二-= l(d>O, >0)称为黄金双曲线。如图所示，內、生是2Cr Ir双曲线的实轴顶点，场是虚轴顶点，耳、竹是焦点，过右焦点尸2且垂直于X轴的直线交双曲线于M .N两点，则下列命题

14、正确的是()oA、=1是黄金双曲线B、若b2 = ac .则该双曲线是黄金双曲线C、若ZFIBS? =90°,则该双曲线是黄金双曲线D.若ZMON= 90°.则该双曲线是黄金双曲线y/F2 Xb27【答案】BCD【解析】A选项，e = l + 5 + l=5+2l,不是黃金双曲线，B 选项，b2 =ac=c2 -Cr 化成c2 -Cr -tc = O , H I CI -I = O ,又e>.解得,是黄金双曲线2C 选项,V ZfjB12=90, IB1I2+IA2 2=FlA212, b2+c2+b2+a2 =(a + c)2 9化简得C2-UC-G2=O.由知是黄

15、金双曲线，D 选项， MON = 90°, :.MN丄X轴.IMFJ= ,且O化是等腰RtS9 ：. c =,2 =ac.由知是黄金双曲线, 综上，BCD是黄金双曲线，故选BCDU12.如图所示，正方体ABCD-AlCiDl的棱长为1, E、A、直线9»与直线AF垂直B、直线AlG与平而AEF平行9C、平而AEF截正方体所得的截而而积为68D、点C和点G到平而AEF的距离相等【答案】BC【解析】如图，以D点为坐标原点，D. DC、DDl为X , y9 Z轴建系,则 ZXO,0,0)、A(U),0)、3,0)、Aa(U)、D1(0,0,l). E(A0)、F(OXI)>

16、 Wq)则万万;=(0,0,1)、AF = (-1,1,1),则 DDAF = 直线 DiD ,j 直线 AF 不垂宜，A 错,.1， 1*I则 AQ(O，r), AE = (-L0), AF = (-1,1,-),设TIlIlAEF的法向量= (x9 N z)AEn = O ._ =>AF /1 = 0一一x+ y = 0 21 n 一x+ y + -z = O 2令 x = 2,则 y = l, z = 2,贝 IJ /； = (2Jt2) , Afin = Oi直线AlG与平面AEF平行,B对， 或取Blq的中点M ,连接AlM、GM， 则 AXMlIAE . GMilEF、易证平

17、而AMG 平而AEF，宜线舛G与平IfnAEF平行.B对， 乩国，连扌阳卩、DXF .如汨;m加以卩为、卜i AE厂餞匸4如律?丿战九 且 DlF . DC、AE 共点于 H , DiH=AH =9 AD1=2 t1I/?3qq SMDlH =-×T2 ×(5) -()=，则 S四边形AEFDl=才 SMDiIl = g , C 对,AC = (-LhO),点C到平而AEF的跖 m =ACnTifAG = (OJ),214. 过双曲线=1的右支上一点P，分别向圆G ： (x + 5)2+=4和圆G： (x-5)2 + y2=r2(r>0)916作切线，切点分别为M、N

18、 ,若IPMl2-IPN F的最小值为58,则。【答案】2【解析】设斤、场是双曲线的左、右俶点，也是题中圆的圆心， PM I2-IPZV 卩=I PF1 I2-4-(1 PF22 -r2) = (IPFll-I PF21)(1 PF1 I +1 PFl I) + r2-4= 6(IPF1l + IPF2l) + r2-4,显然其最小值为6(2×5) + 2-4 = 58, r = 215. 已知直线厶：r-2y = 2-4、II: 2x + a2y = 2a2 +4 ,当0 vv2时，直线厶、厶与两坐标轴I科成一个四边形，则四边形而积的最小值为,此时实数“ =。(本小题第一个空3分，

19、第二个空2分)【答案】42【解析】直线ax-2y = 2a-Ar的必过占为P(2,2),斜率为在y轴上的截趴为2-宀ILoV2-v27直线2+心= 2/+ 4的必过点也为P(2,2)，斜率为-不, 彳兀轴I:的截距为+2,且a2 + 2>2 四边形的而枳"卜2x(2"卜2心+ 2)"“ + 4弘$ +宁 四边形而枳的最小值头呼，此时416. 过点P(-2,1)作两条斜率互为相反数的直线，分别与抛物线F= 4y交于A . B两点，若直线AB与圆C ：x2+(y-l)2 = l交于不同两点M、N9则IMNl的最大值是【答案】2【解析】设PA斜率k, A(XAt儿

20、)，则直线PA的方程为y-=k(x+2), 代入抛物线化简得F4/&-弘一4 = 0,心一2 = 4R ,则 >=4R + 2贝JA(4R + 2,(2R + 1)2), RS.B(-4 + 2t(-2 + l)2),设直线A3的方程为y = x + b,代入圆得2” + 2(一1)兀+庆一2 = 0,又由两个不同交点，则>0,即1 <bvl + Q,则 IMN l="J(b_l)2_2(b2_2/?)= 上沪+劝 + =払 7-0-l)2+2<2.故IMNI的最大值是2四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.17.

21、(本小题满分10分)如图所示，正方体ABCD-ACXDX的棱长为“，过顶点3、D、內截下一个三棱锥。求剩余部分的体积：求三棱锥A-AiBD的高。【解析】VAi-ABD = YSSABD AA = -2 A AD AA = -cly ,?分故剩余部分的体积U=H正方体-冬校SBTT宀討；4分(2)l(l)vttiM-MD=VZ校斟"=钗，设三棱锥A-ABD的高为力，6分则 VA-A1fio =h = -×-×-×2aY ×h = -ah »8 分故 LaIh=-ai ,解得 h = -a.10 分663y18. (本小题满分12分)已知

22、平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为4(-1,4)、3(-2,-1)、C(Z3) O(1) 在SABC中，求边AC中线所在宜线方程；(2) 求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度； 求SABC的面积。1 7【解析】设AC边中点为M, PIIJM点坐标为(-)Z÷* i L 渋 kfiM = y-+ 222 29线 BM 的方程为：y (l) = (x + 2),即：9x-5y + 13 = 0 AC边中线所在直线的方用为：9x-5y + 13 = 0;4(2)i殳点D的坐标为y 由已知得M为线段Br)的中点,一 2 + x 1x = 3y = 82-= 2 D(3,8),又

23、B(-2, 1)、C(Z3).贝JI BCI= (-2-2)2+(-1-3)2 =42 :由8(-2,-1). C(2,3)得直线BC的方程为：x-y + l = O, A 到直线 BC 的距离 d(AC) = I：+H = 22 SM 肚=i×42×22=8. 12 分 V2219.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，ABIICD. AABC = - "DC =、, AB = 2BC = 2CD = . PD = 22 ,PA = 4, E为PC的中点。(1)求证：AQ丄平面PBrh(2)求直线AE平而PBD所成角的余弦值。IMwI(I)V

24、CD- ZAc = =4,A AD = BD = 2y2 9 ：. AB2 =AD1+ BD2, ：. AD丄BD在 ADP 中，PD = 22 , P = 4> /. AP2 = AD2 + PDI,又 PD. Mu 平而 PBD，PDCDB = D, AD 丄平面 Mr>：由得加丄 AD. PD 丄 CD, ADnCD = D.又 Ar)丄 3L> PD ±T® ABCD,以D为坐标口.L DA> DB、DP >J I y，Z轴如图建立空门伯坐标 D(OAO)、A(2I,O)、B(0,22,0) , C(-2,2,0), P(OA22),又

25、乜为PC的中点,则餌拿拿逅)，亦(一学¥“),山图可知平而P8D的法向量为n = (IAO).<设直线AE与平而PBQ所成角的平面角为，52贝IJ Sin =I cos < AE.n >1=1L 't-J(-)2÷2÷(2)2'=f10分则COS = 71-sin2 = o612分I)20. (本小题满分12分)设抛物线C： y2 = 4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>O)的直线/与C交于3两点，且IABl=8。求/方程；(2)求过A、3且与C准线相切的圆的方程。【解析】(1)根帅可知任心为F(LO),准线为x = -l

26、1 r则可设直线的方程y = k(x-)(k>0),2 _ 4联立直线与地物线v'=Z X 得：疋F 一(2/ +4)x + r2 =0 ,3分y = k(x-)2R2 + 4 = 16Z:2 + 16> 0恒成立，设 A(j, yi) > B(x29 y2),故Xl +x2=-_S，IABI=x1+x2 + 2 = p + 2 = 8,解得 R2 = i,5 分又R>0, U 直线的方程为>, = 1：6分由可得FZ=6 害=3, 害=2IJi+ y2 =422线段AB垂直平分线方程为y = 5-八7分 圆心必在AB垂直平分线上，设圆心为T(b5-r),

27、则r=lf+lh 又丁到直线細的距离心詈=如,10分+ 宀(16 + 2(/- 3)2 , J16 + 2( - 3)2 川 + 11,八一+ 33 = 0,解得r = 3或11,11分则可知圆为Cv-3)2+0-2)2 = 16 或(X H)?+(y + 6)2 =144。12 分21. (本小题满分12分)如图所示，在三棱锥A-BCD中，ABC和AfiCD所在平面互相垂直，且BC = BD = 4，AC = 42 ,XFCD = 43 t ZAC3=45。，E、F 分别为AC. DC的中点。(1) 求证：平而ABf)丄平而BCD；(2) 求二而角E-BF-C的正弦值。 【解析】(1)证明：

28、由 BC=4. AC = 42 , ZACB=45°,贝 Ih AB = y42 + (42 )2 - 2 4 - 42 cos45° = 4 ,A AC2 =BC2+ AB29 则 ZABC = 90°, AB 丄 BC，乂平而 ABC 丄 TilIlBCD,Jl ABC ATlfllBCD=BC. AB TilII ABC. AB丄平而BCD ,又ABU平而ABD,故丫而ABD丄平而BCD:(2)解：由BC = BD9点F为DC的中点丸IBF丄C£>,VCD = 43 CF = 2y3,则SinZFBC =2 ZFBC = 60°,则

29、 ZDBC = 120°, 如图所示以点B为能标桌点，以THnDBC内I JBC垂直的直线为X轴,以Be为y ii ',BA为Z轴建立' 则 B(OAO). A(WA). C(OAO) . E(022)、D(23,-2,0). F(3,L0),A BE = (0,2,2) t BF = (3,L0) t 平而 CBF -个法向量为兀= (0,0,1),y3x + y = 0Iy + 2Z = On . BF = 0 设平Ifil BEF的法向量为石=g y, z)，由二一一得,n2 BE = O设x = l,得一个法向=3t3),10分设二而角E-BF-C的平而角为-JJICOS I=I COS < 石