高中数学论文圆锥曲线问题中的“设而不求”

1、圆锥曲线问题中的“设而不求”设而不求是解析几何中一种常用的重要方法和技巧，它能使问题简化。但如何使用这种方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识。一、 哪些问题适合“设而不求” 一般说来，解题中涉及不到但又不具体求出的中间量（称为相关量）可采取“设而不求，整体思想”。具体体现在：与弦的中点有关的问题；定值与定点问题；对称性问题。中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。1、与弦中点有关的问题例1、 已知是椭圆的一个内接三角形，且，若的重心恰为椭圆的右焦点，求边所在直线的方程。解：易求得椭圆的右焦点为，令，由重心公

2、式，得 ， 即 。的中点，又、在椭圆上， ， 两式相减，得， ，即。由点斜式，边所在直线的方程为，即。点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍。2、定点问题例2、 设抛物线的焦点为，经过焦点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点。解：设过焦点的直线的方程为，。ABFCOyx由，消去,得。轴，且点在准线上， 点的坐标为。 ，故过原点。点评：巧设过F的直线方程，而不用点斜式，可回避对直线AB的斜率K是否存在的分类讨论。同时“用根与系数

3、的关系”达到设而不求的目的。3、对称问题例3、 已知椭圆上存在两个不同的点关于直线对称，试确定的取值范围。y=4x+mQPxy解： 由题设，有直线与椭圆交于、两点，且、的中点在直线上。由，消去，得 方程有两不等实根，解得。设，则，。又中点在直线上，有，。点评：根据题中隐含着的一元二次方程的根的存在性，以中点为桥梁，利用判别式建立不等关系，求参数的取值范围。此类问题也可借助圆锥曲线的几何性质求解。二、“设而不求，整体思想”中应注意的两个问题1、注意隐含条件例4、 已知双曲线过的直线交双曲线于、两点，若为弦中点，求直线的方程。是否存在直线，使点是直线被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线的方程 ，

4、若不存在，说明理由。解：设，则，。又，。即。代入检验，满足，直线的方程是。假设存在，则，即。代入中，得，。不存在2、注意参数对取值范围的影响例5、 求过点的直线被椭圆所截弦的中点的轨迹方程。解 ：（1）当过的直线的斜率存在时，设其方程为，代入中，消去，得，由，得 。设直线与椭圆的两个交点为，中点坐标为，则，消去参数，得。由知，故所求弦中点的轨迹方程为，其中，且。（2）当所做直线的斜率不存在时，所截弦中点为亦满足上述方程。综上所述，所求弦中点的轨迹方程为，其中，且。点评： 消参过程中，应重视参数取值范围对其它相关变量的影响，确保等价性。练习1、过点的直线与双曲线交于两点，求弦MN的中点P的轨迹方

5、程。2 、已知A、B是抛物线上原点O外的两个动点，已知，求证：AB所在直线必过一个定点。3、已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点求的取值范围。4、已知直线与双曲线相交于A、B两点，问取何值时，以AB为直径的圆经过原点。5、过抛物线的点作倾角互补的两条直线AB、AC，交抛物线于B、C，求直线BC的斜率。参考答案：1、 解：设，则，两式作差并整理，得 。设弦的中点，由，且，知。故所求弦中点P的轨迹方程是。2 、证明：设，由，得 把代入整理得 ， 由整理得：。 所以直线AB的方程为 ，即， 所以直线AB过定点。3、 解：设，代入椭圆方程，得， 两式作差并整理，得 。 又直线AB的斜率与其垂直平分线的斜率互为负倒数 ，即。 ，得 。4、解：设，若以AB为直径的圆过坐标原点必有，即得： 把代入双曲线方程，得。 所以 解组成的方程组得。5、解：设，代入抛物线方程得 两式作差整理，得 两式作差整理，得； 两式作差整理，得