《数系的扩充和复数的概念》参考导学案

1、§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚 数、纯虚数、实部、虚部理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i,复数的分类（实数、虚数、纯虚数和复数相等等概念是 本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数 单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性

2、质时，原 有的加、乘运算律仍然成立教具准备:多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也 解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不 能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽 的矛盾.教学过程：学生探究过程:数的概念是从实践中产生和发展起来的早在人类社会初期，人们在狩猎、采集 果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了 123,4等数以及表示 没有”的数0自然数 的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进

3、了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数这样就把数集 扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集（含正整数和0与负整数集合并在一起构成整数集乙则有Z Q、N乙如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有 些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环 小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数 （包括整数、有限小数，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一

4、次扩充，对数学学科本身来说, 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中 不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不 尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=-1这样的方程还是无解的，因为没有一 个实数的平方等于-1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i,叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1. 虚数单位i:（1它的平方等于-1,即21（2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根力程x2=-1的另 一个根是-i!3. i 的

5、周期性:i4n+仁i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14复数的定义:形如（，+ 的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部全体复a bi ab R数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*3. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即（,=+ ,把复数表示成a+biz a bi a b R的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0的关系:对于复数（,+ ,当且仅当b=0时，a bi ab R复数a+bi（a、b R是实数a;当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0 时,z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时,z就是实数0.一正实数复数 z=丛口实

6、数0'已纯畫数杭5复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C .6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a ,b ,c ,d R，那么a +bi =c +di ? a =c ,b =d复数相等的定义是求 复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能 比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题:任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对如果两个复数都是实 数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32-+-+的实部

7、和虚部，有没有纯虚数？答:例2复数-2i +3.14的实部和虚部是什么？答：例3(课本例1实数m取什么数值时，复数z =m +1+(m -1i是:(1实数？ (2虚数？ (3纯虚数?分析因为m R，所以m +1,m -1都是实数,由复数z =a +bi是实数、虚数和纯 虚数的条件可以确定m的值.解：例 4 已知（2x -1+i =y -（3-y i ,其中 x ,y R，求 x 与 y .解：课堂练习：1. 设集合C =复数,A=实数,B =纯虚数,若全集S=C贝U下列结论正确的是（A. A U B =CB. S C A =BCA n S C B ?D.B U S C B =C2. 复数（2x

8、 2+5x +2+（x 2+x -2i为虚数,则实数x满足（A. x =-21B. x =-2 或-21 C.x #2 D.x 比 x 吃 3.已知集合 M =1,2,（m 2-3m -1+（m 2-5m -6i ,集合 P =- 1,3.M n P =3则实数m的值为（A.-1B.-1 或 4C. 6D. 6 或-14. 满足方程x 2-2x -3+(9y 2-6y +1i =0的实数对(x ,y表示的点的个数是 .5. 复数 z 1=a +|b |i ,z 2=c +|d |i (a、b、c、d R，则 z 1=z 2 的充要条件是6. 设复数z =log 2(m 2-3m -3+i lo

9、g 2(3-m (m R，如果z是纯虚数，求m的值.7. 若方程x 2+(m +2i x +(2+mi =0至少有一个实数根，试求实数m的值.8. 已知m R，复数z =12(-+m m m +(m 2+2m -3i ,当 m 为何值时,(1z R ; (2z 是虚数;(3z 是纯虚数;(4z21+4i .课后作业：习题3.11.2.3.教学小结：这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关 分类问题,复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是:利用复数的概念，联系以前 学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题 转化为实数问题师生反思:复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教