正态总体均值与方差的假设检验实用教案

1、会计学1正态总体均值正态总体均值(jn zh)与方差的假设检验与方差的假设检验第一页，共51页。对于对于(duy)给定的给定的检验检验(jinyn)水平水平 10 由标准由标准(biozhn)正态分布分位数定义知，正态分布分位数定义知， 2/uUP因此，检验的拒绝域为因此，检验的拒绝域为 :,2211 uuxxxWn 其中其中 u为统计量为统计量U的观测值。这种利用的观测值。这种利用U统计量统计量来检验的方法称为来检验的方法称为U检验法。检验法。，或或者者记记为为21 uuW 第1页/共51页第二页，共51页。例例1 1 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, , 切割每段金属切割每段金属

2、棒的平均长度为棒的平均长度为10.5cm, 10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 0.15cm, 今今从一批产品中随机的抽取从一批产品中随机的抽取1515段进行测量段进行测量, , 其结其结果果(ji gu)(ji gu)如下如下: :7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定假定(jidng)切割的长度切割的长度X服从正态分布服从正态分布, 且标准且标准差没有变化差没有变化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?).(10 解解 0.15, , ),( 2 NX因为

3、因为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要检验假设要检验假设第2页/共51页第三页，共51页。 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 u645. 1516. 0|/|05. 00 unx于是于是 . , 0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 第3页/共51页第四页，共51页。)( ,. 22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t . , , ),(22 显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX . : , :0100 HH检验假设检验假设 ,

4、, 21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn , 2未知未知因为因为 . / 0来确定拒绝域来确定拒绝域不能利用不能利用nX , S n的无偏估计是因为22*, S n来取代故用* . / *0来作为检验统计量来作为检验统计量即采用即采用nSXTn 第4页/共51页第五页，共51页。),(/*100 ntnSX ,Hn为真时当 )1(/2/*0ntnSXPn根据根据(gnj)第六章第六章3定理定理6.8的推论的推论1知知,由由t分布分布(fnb)分位数的定义知分位数的定义知第5页/共51页第六页，共51页。)1(/2/*01 ntnsxtWn拒绝域为拒绝域为 在实际中在实际中, 正态

5、总体的方差常为未知正态总体的方差常为未知, 所以所以(suy)我们常用我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验检验法来检验关于正态总体均值的检验问题问题.上述利用上述利用 t 统计统计(tngj)量得出的检验法称为量得出的检验法称为t 检验法检验法.第6页/共51页第七页，共51页。 如果如果(rgu)(rgu)在例在例1 1中只假定切割的长度服从正中只假定切割的长度服从正态分布态分布, , 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化? ?)05. 0( 解解 , , ),( 22均为未知均为未知依题意依题意 NX , 5 .10:, 5 .10:

6、 10 HH要检验假设要检验假设,15 n,48.10 x,05. 0 ,.*2370 ns nsxtn15237051048100/./* ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无显著变化无显著变化认为金属棒的平均长度认为金属棒的平均长度故接受故接受 Ht t分布分布(fnb)(fnb)表表例例2第7页/共51页第八页，共51页。 , , ),( 22均为未知均为未知设总体设总体 NX , : , : 20212020 HH要检验要检验(jinyn)假设假设: , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn .

7、 0为已知常数为已知常数其中其中 ,:22*的无偏估计的无偏估计是是分析分析 nS , 设设显显著著水水平平为为)( ,.检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知223 ),1()1(2202* nSnn根据根据(gnj)第六章第六章3知知,0为真时为真时当当H第8页/共51页第九页，共51页。.)1(202*2作为统计量作为统计量取取 nSn分布分位数的定义知分布分位数的定义知由由为真时为真时当当20, H,2)1()1(22/1202* nSnPn,2)1()1(22/202* nSnPn第9页/共51页第十页，共51页。指它们指它们(t men)的的和集和集拒绝域为拒绝域为: )1( 2

8、02 sn)1(22/1 n )1( 202 sn或或. )1(22/ n 第10页/共51页第十一页，共51页。)02. 0( 解解 ,5000:,5000: 2120 HH要检验假设要检验假设,26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n例例3 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性寿命的波动性有所变化有所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池,

9、测出其寿命的测出其寿命的样本方差样本方差 =9200(小时小时2). 问根据这一数据能否问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的变化?2 2*ns第11页/共51页第十二页，共51页。,524.11)25()1(299. 022/1 n )( * 2021nsn,524.11拒绝域为拒绝域为: )( * 2021nsn或. 4.3144 46)( * 50009200251202nsn因为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 可认为这批电池的寿命的波动性较以往可认为这批电池的寿命的波动性较以往(ywng)的有显著的变化的

10、有显著的变化.第12页/共51页第十三页，共51页。1.已知方差已知方差(fn ch)时两正态总体均值的检时两正态总体均值的检验验,),( , 的样本为来自正态总体设211211NXXXn , : , : 211210HH需要需要(xyo)检检验假设验假设:两两样样本本独独立立的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体 ,NYYY222n211),(, , 21均为未知均为未知又设又设, ,2221已知已知,上述假设可等价的变为上述假设可等价的变为 0, : 0, : 211210HH 利用利用u检验法检验法检验检验.第13页/共51页第十四页，共51页。,),(),(独立独立且且由于由于YXn

11、NYnNX22221211),(22212121nnNYX故故222121nnYXU/ )(取检验的统计量为取检验的统计量为),(,100NUH统计量统计量成立时成立时当当 . 取显著性水平为取显著性水平为第14页/共51页第十五页，共51页。故拒绝域为故拒绝域为|/ )(|2/222121 unnyx |/ )(|2/222121unnYXP由标准由标准(biozhn)正态分布分位数的定义知正态分布分位数的定义知第15页/共51页第十六页，共51页。?,.,:):(,有有显显著著差差异异烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量是是否否问问两两种种取取种种的的方方差差为为种种的的方方差差为为互互独独立

12、立且且相相均均服服从从正正态态分分布布两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量据据经经验验知知分分别别为为单单位位测测得得尼尼古古丁丁的的含含量量化化验验例例进进行行的的中中各各随随机机抽抽取取重重量量相相同同从从含含量量是是否否相相同同化化验验尼尼古古丁丁的的两两种种烟烟草草卷卷烟烟厂厂向向化化验验室室送送去去例例050852631232827242126272451BABAmgBABA,两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量分分别别表表示示和和以以解解BAYX.,(),()独立独立且且则则YXNYNX222211第16页/共51页第十七页，共51页。211210:,:HH欲检验假设欲检验

13、假设由所给数据求得由所给数据求得现已知现已知.,585212221nn27424yx,.6121585527424222121./ )(nnyxu.,.|,.,./029616121961050Huu故接受原假设故接受原假设由于由于查正态分布表得查正态分布表得对对第17页/共51页第十八页，共51页。2.未知方差时两正态总体未知方差时两正态总体(zngt)均值的检验均值的检验 利用利用t检验法检验具有相同方差检验法检验具有相同方差(fn ch)的的两正态总体均值差的假设两正态总体均值差的假设. . ,NYYY,N XXX nn注意两总体的方差相等且设两样本独立样本的为来自正态总体的样本为来自正

14、态总体设),(,),(,2221212121 , ,SS ,YX 1均为未知方差是样本分别是总体的样本均值又设222221,*第18页/共51页第十九页，共51页。211210 ：，：检验假设检验假设HH . 取显著性水平为取显著性水平为统统计计量量引引入入 t,11)(21nnSYXTw .)()(*21121222211 nnSnSnS 2w其中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt根据根据(gnj)第六章第六章3定理定理6.8的推的推论论2知知,第19页/共51页第二十页，共51页。对给定对给定(i dn)的的 )2(11)(212/21nntnnSYXPw使得使得).2(212

15、/ nntt分分布布的的分分位位表表可可查查得得由由 第20页/共51页第二十一页，共51页。故拒绝域为故拒绝域为)2(11)(212/211 nntnnsyxWw第21页/共51页第二十二页，共51页。例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6,

16、19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( 第22页/共51页第二十三页，共51页。 . : , : 211210 HH需要检验假设需要检验假设, 81 n,925.19 x,.*216021 s, 72 n,000.20 y,.*397022 s,.)()(*5470

17、278171822212 sss w且,160. 2)13( 05. 0 t查表可知查表可知|7181| wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲、乙两台机床即甲、乙两台机床(jchung)加工的产品直径无显著差异加工的产品直径无显著差异. 第23页/共51页第二十四页，共51页。,),( , 的样本为来自正态总体设211211NXXXn , 222121均为未知均为未知又设又设 , : , : 222222 1110HH需要检验需要检验(jinyn)假设假设: ,),(,的样本为来自正态总体222211NYYYn ., ,*2221SS其修正样本方差为且设两样本独立

18、3.两正态总体方差两正态总体方差(fn ch)的检验的检验第24页/共51页第二十五页，共51页。 , 0为真时为真时当当H),()(*22222121SESE , 1为真时为真时当当H),()(*22222121SESE , 1为真时为真时当当H 有偏大或偏小的趋势有偏大或偏小的趋势观察值观察值2*22*1SS, *2222112221ksskss 或故拒绝域的形式为 :的值由下式确定和此处21kk第25页/共51页第二十六页，共51页。).,(,*112122210 nnFSSH 为真时当根据第六章根据第六章3定理定理(dngl)6.8的推论的推论2知知 22*22*112*22*1kSS

19、kSSP为了计算为了计算(j sun)方便方便, 习习惯上取惯上取,212*22*1 kSSP222*22*1 kSSP . ),( , ),( /2/111121212121 nnFknnFk故得第26页/共51页第二十七页，共51页。或),(/*112122221 nnFssF检验检验(jinyn)问题的问题的拒绝域为拒绝域为上述上述(shngsh)检验法称为检验法称为F检验检验法法.),(/*1121212221 nnFssF第27页/共51页第二十八页，共51页。解解 某砖厂制成两批机制红砖某砖厂制成两批机制红砖(hn zhun), 抽样抽样检查测量砖的抗折强度检查测量砖的抗折强度(公

20、斤公斤), 得到结果如下得到结果如下:;.,., :;.,., :*83530846327102211 SynSxn第二批第二批第一批第一批已知砖的抗折强度已知砖的抗折强度(qingd)服从正态分布服从正态分布, 试检试检验验:(1)两批红砖的抗折强度的方差是否两批红砖的抗折强度的方差是否(sh fu)有显著有显著差异差异? (2)两批红砖的抗折强度的数学期望是否两批红砖的抗折强度的数学期望是否(sh fu)有显著差异有显著差异?)05. 0( 均取均取(1) 检验假设检验假设:2221122210:,: HH例例3第28页/共51页第二十九页，共51页。, 检验法检验法用用F, 0为真时为真

21、时当当H),( *11212221 nnFSSF统计量统计量查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为)1, 1(212/ nnFF ),1, 1( 212/1 nnFF 或或,.,., *44149640810222121 SSnn由由,82. 4)7 , 9(025. 0 F,283. 0)9 , 7(1)7 , 9(025. 0975. 0 FF第29页/共51页第三十页，共51页。,837. 244.1496.40 F得得,82. 4837. 2283. 0 显然显然. , 0有有显显著著差差异异认认为为抗抗折折强强度度的的方方差差没没所所以以接接受受 H(2) 检验检验(jinyn)假设假设

22、:211210:,: HH, 检验法检验法用用t, 0为真时为真时当当H),2(11 2121 nntnnSYXtw统计量统计量第30页/共51页第三十一页，共51页。.)()( *221121222211 nnSnSnSw其中其中查表查表7-3知拒绝域为知拒绝域为)2(212/ nntt ,1199. 2)16()2810( 025. 0025. 0 tt由由,418. 5,3575.291644.14796.4092 wwSS245. 1474. 0418. 55 .303 .2711 21 nnSYXtw得得,1199. 2 . , 0显著差异显著差异认为抗折强度的期望无认为抗折强度的期

23、望无所以接受所以接受 H第31页/共51页第三十二页，共51页。三、基于配对数据三、基于配对数据(shj)(shj)的检验（的检验（t t检检验）验） 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品(chnpn)，两种仪器，两种仪器，或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件或两种试验方法等的差异，我们常常在相同的条件下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，下做对比试验，得到一批成对（配对）的观测值，然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常然后对观测数据进行分析。作出推断，这种方法常称为配对分析法。称为配对分析法。 例例7.9 比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨性，今比较甲，乙两种橡胶轮胎的耐磨

24、性，今从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取从甲，乙两种轮胎中各随机地抽取(chu q)8个，其中各取一个组成一对。再随机选择个，其中各取一个组成一对。再随机选择8架飞架飞机，将机，将8对轮胎随机地搭配给对轮胎随机地搭配给8家飞机，做耐磨家飞机，做耐磨性实验性实验第32页/共51页第三十三页，共51页。飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：飞行一段时间的起落后，测得轮胎磨损量（单位：mg）数据）数据(shj)如下：如下：轮胎轮胎(lnti)甲：甲：4900，5220，5500，6020 6340，7660，8650，4870轮胎轮胎(lnti)乙；乙；4930，4900，5140，5700 61

25、10，6880，7930，5010试问这两种轮胎试问这两种轮胎(lnti)的耐磨性有无显著差异？的耐磨性有无显著差异？解：用解：用X及及Y分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量分别表示甲，乙两种轮胎的磨损量第33页/共51页第三十四页，共51页。假定假定 ，其中，其中(qzhng) ，欲检验假设，欲检验假设2221），（），（222211NYNX211210：，：HH下面下面(xi mian)分两种情分两种情况讨论：况讨论：（1）实验数据配对）实验数据配对(pi du)分析：记分析：记 ，则则 ，由正，由正态分布的可加性知，态分布的可加性知，Z服从正态分布服从正态分布 。于是，对于是，对 与与 是否相

26、等的检验是否相等的检验YXZ2212 ）（，）（ZDddefZE)2 ,(2 dN12第34页/共51页第三十五页，共51页。t就变对就变对 的检验，这时我们可采用关于的检验，这时我们可采用关于(guny)一一个正态总体均值的个正态总体均值的 检验法。将甲，乙两种轮检验法。将甲，乙两种轮胎的数据对应相减得胎的数据对应相减得Z的样本值为：的样本值为：0d-30，320，360，320，230, 780，720，-140计算计算(j sun)得得样本均值样本均值 81221022007/)(iinZZS3208181 iiZZ83. 2102200/83208/ )0(2 nSZt第35页/共51

27、页第三十六页，共51页。对给定对给定 ，查自由度为，查自由度为 的的 分布分布表得临界值表得临界值 ，由于，由于 ，因而否定，因而否定 ，即认为这种轮胎的耐磨性，即认为这种轮胎的耐磨性有显著有显著(xinzh)差异。差异。718 05. 0 365. 2)7(025. 0 tt0H365. 283. 2 t（2）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数）实验数据不配对分析：将两种轮胎的数据看作来自两个总体据看作来自两个总体(zngt)的样本观测值，的样本观测值，这种方这种方法称为不配对分析法。欲检验假设法称为不配对分析法。欲检验假设211210 ：，：HH第36页/共51页第三十七页，共51页。我们

28、选择我们选择(xunz)统计量统计量）（ 12. 7212121222211)2()1()121nnnnnnSnSnYXTnn （由样本由样本(yngbn)数据及数据及 可得可得5825,6145 yx821 nn7/816339002*11 nS7/810538752*22 nS516. 07 .619/320 t第37页/共51页第三十八页，共51页。对给定对给定(i dn)的的 05. 0 ，查自由度为，查自由度为16-2=14的的t分布分布(fnb) 145.214216025.02/ tt 表，得临界值表，得临界值 ，由于，由于(yuy) 14145.2516.0025.0tt ，因

29、而接受，因而接受 0H，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。，即认为这两种轮胎的耐磨性无显著差异。第38页/共51页第三十九页，共51页。以上是在同一以上是在同一(tngy)检验水平检验水平 05.0 的分析结果，方法不同的分析结果，方法不同(b tn)所得结果也所得结果也比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要比一致，到底哪个结果正确呢？下面作一简要分析。因为我们将分析。因为我们将8对轮胎随机地搭配给对轮胎随机地搭配给8架飞架飞机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验数机作轮胎耐磨性试验，两种轮胎不仅对试验数据产生影响，而且不同据产生影响，而且不同(b tn)的飞机也对的飞机也对试验数据产生干

30、扰，因此试验数据配对分析，试验数据产生干扰，因此试验数据配对分析，消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两消除了飞机本身对数据的干扰，突出了比较两种轮胎之间耐磨性的差异。对试验数据不做配种轮胎之间耐磨性的差异。对试验数据不做配对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交对分析，轮胎之间和飞机之间对数据的影响交织在一起，这是样本织在一起，这是样本 下采用不同下采用不同(b tn)方法方法11,nXX 与样本与样本 2,1nYY 实际上不独立，因此，实际上不独立，因此， 第39页/共51页第四十页，共51页。用两个独立正态总体的用两个独立正态总体的t检验法是不合适的。检验法是不合适的。有本例看出有本例

31、看出(kn ch)，对同一批试验数据，采，对同一批试验数据，采用配对分用配对分析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定析还是不配对分析方法，要根据抽样方法而定。 第40页/共51页第四十一页，共51页。本节学习的正态总体本节学习的正态总体(zngt)均值的假设检验有均值的假设检验有:检检验验检检验验的的检检验验单单个个总总体体均均值值t ;U. 1;tU. 321检检验验检检验验，的的检检验验两两个个总总体体均均值值差差 ;t. 5检检验验基基于于成成对对数数据据的的检检验验正态总体正态总体(zngt)(zngt)均值、方差的检验法均值、方差的检验法见下表见下表 ) ( 显著性水平为显著性水平

32、为 ; .2检验法检验法验法验法单个正态总体方差的检单个正态总体方差的检 2 ; .检检验验法法验验法法两两个个正正态态总总体体方方差差的的检检F4第41页/共51页第四十二页，共51页。 4)(未未知知22221212121 000)()()(/1222122121 nnttnnttnntt 2211121222211221 nnSnSnSnnSYXtww*)()( 0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(已已知知2000 )(未未知知2000 ),(已已知知2221212121 nXU/0 nSXtn/*0 222121nnYXU 000 000 0002/uuuuuu )()()(/1

33、112 nttnttntt 2/ uuuuuu 32 1第42页/共51页第四十三页，共51页。70H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域),(未知未知21222122212221 )(成对数据成对数据000 DDD nSDtD/0 000 DDD )()()(/1112 nttnttntt )( 未知未知 202202202 20221 *)(nSn 2221*SSF 202202202 222122212221 )()()()(/1111221222221222 nnnn 或或),(),(),(),(/11111111212121221121 nnFFnnFFnnFFnnFF 或或65第43

34、页/共51页第四十四页，共51页。 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 321第44页/共51页第四十五页，共51页。0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122

35、212221未知)(000成对数据DDD2022) 1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221000DDD) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或) 1() 1() 1(2/nttnttntt)1, 1( )1, 1(212/1212/ nnFFnnFF 或或567第45页/共51页第四十六页，共51页。).(/,),(,*12221 ntnSX ,SX,NXXXnnn则有样本方差分别是样本均值和修正的样本是总

36、体设第46页/共51页第四十七页，共51页。 21212112222121211211222121111111niiniiniinii21nnYYnSXXnS,YnYXnX,N,NYYYXXX)(,)(,),(),(,*值分别是这两个样本的均设且这两个样本互相独立本的样相同方差的两正态总体分别是具有与设第47页/共51页第四十八页，共51页。则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方 , (2);,(/(1)*时当22221212221222111 nnFSS.,)()(),()()(*2212222112212121211211wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中第48页/共51页第四十九页，共51页。 )()(ntntP =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.4149