正定矩阵概念及例题实用教案

1、会计学1正定正定(zhn dn)矩阵概念及例题矩阵概念及例题第一页，共20页。 二次型的标准形不是(b shi)唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的。定理(dngl)11 ( 惯性定理(dngl) ) 设有实二次型, xAxfT 它的秩是 r ，有两个实的可逆变换, zPxyCx 与与.,)0(,)0(,212122222112222211个数相等个数相等中正数的中正数的中正数的个数与中正数的个数与则则及及使使rrirrirrkkkzzzkykykyk 上页下页返回正数的个数称为正惯性指数，负数的个数称为负惯性指数第1页/

2、共20页第二页，共20页。对任何(rnh) x 0 , 都有 f(x) 0 , 则称 f 为负定二次型，并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A 0 ；如果定理12 实二次型xAxfT 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。证 设可逆变换使使yCx 上页下页返回第2页/共20页第三页，共20页。先证充分性. 0)(, 0, 0)., 2 , 1(0121 niiiiykxfxCxnik故故则则任给任给设设 推论 对称阵 A 为正定的充分(chngfn)必要条件是：A 的特征值全为正。再证

3、必要性：用反证法。假设(jish)有 ks 0 , 则,时时当当sey ( 单位(dnwi)坐标向量 ) 时，, 0)( sskeCf. 0 seC显然显然这与假设 f 正定矛盾，. 0 ik故故上页下页返回第3页/共20页第四页，共20页。 定理13 对称阵 A 为正定(zhn dn)的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即; 0, 0, 011112221121111 nnnnaaaaaaaaa对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子(zh zi)式为负，而偶数阶主子(zh zi)式为正。即)., 2 , 1( , 0)1(1111nraaaarrrrr 这个(zh ge)定理称

4、为霍尔维兹定理。上页下页返回第4页/共20页第五页，共20页。 注意：对于二次型，除了(ch le)有正定和负定以外，还有半正定和半负定及不定二次型等概念。上页下页返回(fnhu)第5页/共20页第六页，共20页。 根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性(dng xng)有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。上页下页返回(fnhu)第6页/共20页第七页，共20页

5、。判定(pndng)对称矩阵 300031013A正定性(dng xng)。解 方法(fngf)一, 0311 a因因为为, 08311322211211 aaaa, 024300031013| A所以A 是正定的。上页下页返回第7页/共20页第八页，共20页。),4)(3)(2(300031013| EA方法(fngf)二：A 的特征多项式为. 4, 3, 2321正正定定的的是是从从而而知知的的特特征征值值为为故故AA 上页下页返回(fnhu)第8页/共20页第九页，共20页。 由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。

6、若二次型 f 的对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方法一般(ybn)不用。上页下页 返回(fnhu)判别(pnbi)二次型正定的方法第9页/共20页第十页，共20页。解f 的矩阵(j zhn)是,402062225 A, 080, 0266225, 052221121111 Aaaaaa所以(suy) f 是负定的。判别(pnbi)二次型xzxyzyxf44465222 的

7、正定性。A 的各阶主子式为：上页下页返回第10页/共20页第十一页，共20页。设二次型.,42244323121232221为为正正定定二二次次型型取取何何值值时时问问fxxxxxxxxxf 解f 的矩阵(j zhn)是,4212411 A, 0)2)(1(4, 0441, 022221121111 AaaaaaA 的各阶主子(zh zi)式为：.,12二次型为正定的二次型为正定的时时解得解得 上页下页返回(fnhu)第11页/共20页第十二页，共20页。判别(pnbi)二次型2331212142xxxxxxf 解f 的矩阵(j zhn)是,102001211 A, 01102001211,

8、010111, 012221121111 Aaaaaa所以 f 既不是正定(zhn dn)的，也不是负定的，即不定二次型。的正定性。A 的各阶主子式为：上页下页返回第12页/共20页第十三页，共20页。 设C 是满秩矩阵(j zhn)，实对称矩阵(j zhn)A 是正定的，则C TAC是正定的。证因为(yn wi)A 为正定，所以对任意, 0 x, 0 xAxfT有有, yCx 作作,)(yACCyfTT 则则, 0,01 xCyCx得得可可逆逆及及由由, 0)( yACCyxAxfTTT从而从而即C TAC是正定(zhn dn)的。上页下页返回第13页/共20页第十四页，共20页。 证明：若

9、实对称(duchn)矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵，则 aii 0 ( i =1, 2, , n ).证因为(yn wi)A 为正定，所以对任意, 0 x, 0 xAxfT有有),0 , 1 , 0( Tiex取取)., 2 , 1(0niaxAxiiT 则则上页返回(fnhu)第14页/共20页第十五页，共20页。第五章小结(xioji) 本章通过向量的内积，从而给n维向量建立了度量的概念，结合方阵的特征值理论，给出了判定矩阵是否可以对角化的判定方法；通过对实对称矩阵所具有的特点，说明实对称矩阵不仅可以相似(xin s)对角化，而且可以正交对角化；从而为二次型化标准型提供了一种重要方

10、法：正交变换法。由二次型与实对称矩阵的一一对应关系，将二次型的讨论转化为矩阵的讨论，并讨论了正定二次型。上页下页返回(fnhu)第15页/共20页第十六页，共20页。第五章主要(zhyo)方法一) 方阵(fn zhn)的特征值与特征向量的求法|;|)().1(EAfA 的的特特征征多多项项式式计计算算;,0)().2(的的全全部部特特征征值值即即的的全全部部根根求求出出Af ., 0)().3(的的全全部部特特征征向向量量于于特特征征值值的的属属线线性性组组合合就就是是则则这这个个基基础础解解系系的的非非零零系系个个基基础础解解并并求求出出这这个个方方程程组组的的一一线线性性方方程程组组的的特

11、特征征值值逐逐个个代代入入齐齐次次把把 AxEAA 上页下页 返回(fnhu)第16页/共20页第十七页，共20页。二 ) 用正交方阵将方阵化为对角(du jio)阵的方法 (1).求A 的特征值； (2).求A 的特征值对应的n 个线性无关的特征向量； (3). 将重特征值所对应的特征向量正交化，连同单特征值所对应的特征向量一起就得到(d do)两两正交的特征向量； (4). 将 (3) 中 n 个特征向量单位化，得到(d do) n 个两两正交的单位特征向量； (5). 以这些特征向量作为列向量的矩阵就是所求的正交矩阵，且有.1 APP上页下页返回(fnhu)第17页/共20页第十八页，共20页。三) 化二次型为标准型的方法(fngf) (1).正交变换法 1 .写出二次型对应的矩阵(j zhn)A . 2 .将A化为对角阵，求出正交阵P . 3 .写出标准型，且正交变换为X=PY . (2).配方法 1.含有平方(pngfng)项，直接配方； 2.不含有平方(pngfng)项,化成含有平方(pngfng)项,再配方