2020各地高考数学分类之极坐标和参数方程

1、12极坐标和参数方程*L （2020全国1卷）在直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为A =COS G （r为参数）.以坐标原点为 = sin t极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线q的极坐标方程为4QCOS 16QSine+ 3 = 0 .（1）当R = I时，G是什么曲线？（2）当k=4时，求G与G的公共点的直角坐标.【答案】曲线G表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2） H【解析】（1）利用sin2/+ cos2/ = 1消去参数，求出曲线G的普通方程，即可得出结论；Jx = COS2 t7 为参数），两式相加消去参数匚 y =sirr得G普通方程，由QCOSO = x,QsinO

2、 = y .将曲线C?化为直角坐标方程，联立CPC?方程，即可求解.【详解】（I）当£ = 1时，曲线G的参数方程为X = CQSt“ 八（f为参数） y = SIn t两式平方相加得2 + y2 = 9所以曲线Cl表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当R =4时，曲线G的参数方程为X=CO7（#w, y = Sln t所以xO,yOf曲线Cl的参数方程化为、JX = COS2 tL ”（f为参数）， yjy =SirT /两式相加得曲线Cl方程为7 + y = 1,得"=1一仮 > 平方得 y = X-2x +1,0 % l,0 y 1 >曲线G的极坐标

3、方程为4pcosQ-16PSine+3 = 0,曲线Q直角坐标方程为4x-16y + 3 = 0,联立"C?方程EJi；笃為整理得g327+E,解得QK干（舍去）, .x = -yy = -9 CI,G公共点的直角坐标为（丄丄）444 4【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系,要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.JV = 4cos" &2. （2020全国2卷）已知曲线G, G的参数方程分别为G ：彳一y = 4sir 0（为参数）.（1）将G，G的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，轴正

4、半轴为极轴建立极坐标系设G, G的交点为P,求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.COSe.5【答案】(1) q：x+y = 4 ； C2ix2-F=4 ；【解析】（1）分别消去参数0和/即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ,求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由COS2 6> +Sin2 = 1得Cl的普通方程为 %+y = 4 J两式作差可得G的普通方程为：疋一）,2=4x+ y = 42 2 ZlX - V = 4得：5X =23，=2;设所求圆圆心的直角坐标为（O）F其中a>09则b斗2）

5、7;o-22)=Cr 解得 2 CI171017二所求圆的半径r=-所求圆的直角坐标方程为10丿IlO丿即 X2 + y217=-V V5所求圆的极坐标方程为P = -COS .【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型3. （2020全国3卷）在直角坐标系.W"中，曲线C的参数方程为.（为参数且tl） 9 C与y = 2-3t + 坐标轴交于A、B两点.（1）求IABl ；（2）以坐标原点为极点，"轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线曲的极坐标方程.【答案】（1） 410 （2）3pcos<9

6、-psin + 12 = 0【解析】（1）由参数方程得出a,B的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出IqBl的值；（2）由的坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令X = 0,则尸+/一2 = 0,解得/=一2或Ul （舍），则y = 2+6+4 = 12,即A（O,.令y = 0,则r2-3 + 2 = 0,解得 1=2或7 = 1 （舍），则兀=2_2_4 = -4,即B（-4,0）.：.AB = （0+4）2+（12-0）2 = 410 J12-0（2）由（1）可知忍B = 6乙=3,则直线AB的方程为y = 3（x+4）f即3x-y + 12 = 0.由X

7、 = PCOS,y = PSin0可得，直线AB的极坐标方程为3pCOS-pSin 0+12 = 0.【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.4. （2020江苏卷）在极坐标系中，已知点AS.£）在直线/:PCOS6> = 2±,点B（Qt）在圆36C" = 4sinB 上（其中 90, O0v2）.（1）求Pi，门的值（2）求出直线/与圆C的公共点的极坐标.【答案】（I） P1 =4, p1=2 （2） （2,f）4【解析】（1）将.4/点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.【详解】（I）以极点为原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，VPICOS = 2, p1 =4,因为点3为直线& = £上，故其直角坐标方程为y =尊X,5U3又Q = 4sin0对应的圆的直角坐标方程为:x2 + y2-4y = 09, = XC = O x = 由3解得 仆或<,.Iy = O V = I2 + y24y = 0u对应的点为(0,0),(3,l),故对应的极径为°2 = 0或p1=2.(2) QCoS = 2.p = 4sin ,：. 4sin Ocos