待定系数法求特殊数列的通项公式

1、待定系数法求特殊数列的通项公式靖刘I 一中蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些 问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届 高考常以这类问题作为一道重大的试题。因此，在教学中，针对这 类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面拿握 这类问题及求解的一般方法。求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系 变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此 推得所给数列的通项公式。求解的关健在于变形的技巧，而变形的 技巧主要在于引进待定系数。其基本原理是递推关系两边加上相同 的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相

2、同性 质的量，使之成为等養或等比数列。具体的求解过程详见示例。 第一类别：aQ=Aa0.1+B例1设Xj=2,且X”=5Xn_ + 7.求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为Xn+m = 5x“_i+7 + m = 5(x“_i + +等)，令 m= +等.则 m=y55554777于是xZI + - =5(x _ + ；), xn + - 是等比数列，其首项为444口+ 二芋,公比为q=5.于是" + = v - 5宀4444所以 5-1443x例2 设“二 1,且 Xq二心 (n=2, 3, 4,)2儿“ + 5i 52解：所给的递推公式可变为：一= l + t 耳 3仏 3

3、1m=1(£2 3mm= + 55，则 m = l于是丄= £(丄+1)。丄+1是等比数列, 心 3 Xtx”其首项是丄+1=2,公比是q=|X3于是± + 1=2 (-) 。所求的xl “ °第二类别：弧二Aa“+B%2例 3 设 x, = l , x2= 5,xn= 13xn.t-22xn.z, (n=3,4,-)求数列x的通项公式解：所给的递推公式可变为22心+曲“二(m +1 3) xn.1-22xu.2= ( m + 1 3) (xixn.2)m + 322令 m二,贝!m= 2,或 m二一11m +13于是 n2xn.i = 1 1 ( Xn

4、_i -Xn.7) ,Xn-l 1 Xn.i =2(Xn.|-Xn_2)都是等比数列，其首项与公比分别为X£-2xi = 3,t|= 11 olxj -20于是 xn-2xn.i = 3 - 11u'2, xn-l lxn.i = -6 2"。由此消去x篩可得xn=(lln-,+2Q)/3例 4：设 X1 = 1,X2 = 2o 且 Xn = 7Xn-】 + 18Xn-2 (" = 3,4,)求数列Xp的通项公式解：所给的递推公式可变为xa+mxn.1 = (m + 7)xn.1 + l 8xn.2 = (m + 7)(xu.l + xn.2)m + 71

5、 Q令 m=,贝lj m = 2,或 m = -9m + 7Xa+2xn.1=9(xn.l + 2xn.2),xa-9xu.l=-2(xn.1-9xQ.2)xa+2xn.J与x广都是等比数列，其首项与公比分别为xz+2xi=4 , q二9。X2-9xi = -7 , q二2xn+2xn.i 4 9U , xa-9xa.j = -7(-2)u由此消去可得X尸(4 9 + 7 (-2)2) /II第三类别：a产Aa“ + f)例 5 设 Xi = l,且 xn=3xn.i+ 5n+ 1 (n=2,3,)(1)求数列xj的通项公式解：x2=14,于是(1)把n改成n-1得xn.1=3xn.2+ 5(

6、n-l)+ 1(2)求数列x的通项公式两式相减得 xn-xn.l = 3(xa.1-xu.2) + 55 m xn-xn.1+m = 3(xa.1-xn.2) + + m = 3(xn.1-xn.2+ - + )人 5 m5 十口5. 5、v m二一 ，则 m= o 于是 只旷只口. + =c(xI1|-xI12+) 33222xn-xn.t+|是等比数列,531其首项为X2-XJ+,其公比q = 3o2 2(3)千旦斗5_31 严J 是 Xn-Xn-1+ T - 32 2由（1）与（3）消去xw得xu.(31 3u-l-10n-17)/4例 6:设 x1=4> 且 xa=5xn.l +

7、 7n 3 ( n=2,3,) ( 1)方法1解：x2=31,于是(1)把n改成得xa.i = 5xa.2+ 7(n-l) 3(2)两式相减得 xn-xn.1 = 5(xn.1-xn.2)+ 7xn-xn.i + m = 5(xn.!-xn.2)+ 7 + m = 5(xn.1-xn.2H)/.7 + m77 一| 7、t m=，则 m = o xn-xn，i+ = 3(xu.j-xn.2)544477 115x旷Xw+：是等比数列，其首项为X2-Xl+4=,44471 1 5其公比q = 5o于是x旷Xw+2二斗5n-2(3)44由(1)与(3)消去xz得xa=(23 5a-28n-23)1

8、6方法2:所给的递推公式可变为xn+ An + B = 5(xn.j +An + B +57/?-35.n AZ 丄 p An+B 7/z-3设 A(n-l) + B=+ -比较系数得A= 学，_A + E二耳723由此求得A二；，B= o于是416丄 28 + 23_r丄 28( 1) + 23、壬旦Xn+o(xu.j + ),于是16 16心+理是等比数列，其首项为二学,Iolo 1O其公比q = 5o于是Xp +2% + 23_ 11516 7T所以xn=(23 5a-28n-23)16例7,设x】 = 2,且xu = 3xa.! + 2ir + 1 ,求数列 xn的通项公式解：所给的递

9、推公式可变为xn + An" + Bn + C = 3(xn.! +An2 + Bn + C32n2+l-3-设 A(n 1 )2 + B(n 1) + C二八"阶+比较系数得：心竽2宀諾，Z +7_由此求得A=1 , E二3, C= - o于是2n2 +6/2 + 7. 2(“一1)+6(川一1) + 7、Xp 丁 二3(心】十)召+生二罕厶是等比数列，其首项为Xj+字字其公比q = 3。于是 Xn+ ,2"+7 =目所以Xn二丄(19 3Q*,-2n2-6n-7)2例 8:设 = 且心二-Xz+3 2口，(n=2,3,-)(1)求数列xj的通项公式解：X2 =

10、 -Xj+ 12=11 o于是（1）把n改成n-1得Xdi二Xd2+3 2U 1 , 2心1二2心2 + 3 * 2口(2)(1) (2)得 xa-2xn.1 = -xn.1 + 2xa.2o 即 xa=xn.1 + 2xa.22 2xn+ mxn.1 = (m + l)(xa.1+ xn.2)o 令 m二 , 则 m = l,m二2m +1m +1于是:Xu + Xn| 2(Xn+Xp2)> Xa-2xa.| (Xn.| "2xa.2)xu+xa.J与2x“都是等比数列，其首项与公比分别为首项X2+xi=12,公比 q = 2o 目项 x?-2xi 9 ,公比 q二1。于是Xp + 心.严 12 2巴 xn-2xn.1 = 9(-l)a"由此消去x养得x产2 + 3（）口练习：1设x)=5,且xn=7xa.14-8n+3, (n=2,3,)求数列xn的通项