搞定空间几何体的外接球

1、专题3搞定空间几何体的外接球与内切球一、基本方法:（1）左心：确泄球心，构造直角三角形利用正余弦左理及勾股左理求解（R2=r2+d2该方法是解决外接球问题的主要的通法，但对空间想象能力、作图能力要求较髙：所以熟悉 以下的几种模型才能准确快速的解决外接球问题。（2）补形：补成长方体，利用长方体对角线求解（4/?2=/+，+疋）；有些几何体比较难确上球心，而几何体刚好是长方体的一部分，英外接球与长方体的外接球是同一个球，故可利用长方体模型求解。另外有些不规则的几何体还可以选择建系，设球心,利用球心到各顶点的距离相等求出球心坐标求解。但该方法计算量大，高考一般不会考查。髙考中以模型一.二、三、四为主

2、。类型一：锥体模型（P的射影是ABC的外心即侧棱长相等）第一步：确泄球心O的位竄取AABC的外心q,则P,O,O|三点共线;第二步:先算出小圆q的半径AO=r,再算岀棱锥的高PO严h ；第三步：勾股定理：OA2=OA2+ op1 =>R2= h-R）2 + r2 9 解出/?类型二:柱体模型（直棱柱、圆柱）第一步:确泄球心O的位置，q是A4BC的外心，则OO|丄平而ABC：第二步：算岀小圆q的半径AO. = r , OO =-AA, =-h -, 2 2第三步：勾股立理：OA2 =OA2 +OO2 =>/?2 =（-）2+r22=>/? = Jr2+（|）2 ,解出 R类型三

3、:线面垂直模型（一条直线垂直于一个平面，柱体也可以归于该模型） 第一步:将AABC画在小圆面上，Q为小圆上任意的一点,：第二步：为AABC的外心，所以丄平面ABC,算出小圆Q的半径OD = r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得- = - = 2r）, d = OO,=-PAsin A sin 3 sinC2第三步:利用勾股左理求三棱锥的外接球半径：R2=r2+d2.类型四：长方体模型1. 三条棱两两垂直，可补形为长方体方法:找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2+h2+c2 ,求出/?2 三棱锥（即四面体）中,三组对棱分别相等，亦可补形为长方体 第一步:画出一个长方体，标出

4、三组互为异面直线的对棱；第二步：设岀长方体的长宽高分别为AD=BC=x9AB = CD = y9 AC= BD= z>第三步:由 2R = yja2 +b2 +c2 =求岀/?类型五：二面角模型（两个三角形拼在一起，一般为两等腰三角形或宜角三角形）第三步：解厶OEH“算出OH再由勾股左理：OH；+CH；=OC求出球的半径心2. 当两直角三角形由公共斜边折叠时，其公共斜边就是外接球的直径。类型六:内切球问题1. 正棱锥的内切球.第一步:先现出内切球的截而图，E.H分别是两个三角形的外心；OF pn第二步：由相似于皿£丹，建立等式：=，解岀厂DH PD2. 任意多面体的内切球：等体

5、积法，3V第一步：先求岀多而体的表而积和体积； 第二步:解岀r = A. KA. 36xD. 28翼1.<2017 盒II >eUiMH的R为I 它的曲卜帐mi的圖糊 金血艮为2的时-个z的球血tWHAIWH的仲机勺（）3r2.（2016 盒皿在时“1的血ABC A.B.（内仃- 个体积为V的球.若AB丄H.AAl - 3則 ”的最大值是（）A.C.3巳知正四面体A-BCD的祓氏为12. W« K内切球的丧为至P市（*）个儿何体的-視圉如图所 不則灌儿何侔外按球舲人而枳为<）C. 32x9某几何体的三视图対图所族若这个儿何休的顶点都在球 o的衣审上则球o的表血积;a

6、（A. 12*C. 20kD. 24k4 三棱锥PABC的四个顶点那住体枳为警的球的襄曲1：底面ABC所在的小Bl面机为ISr.WJWKWWA的JK火慎为A.4B.6A. 2“5.（2018*阳"一次it令U知.械Ml PAIW的以个険扎 均金集球IB m为復球的tt AABC teiZlK为4的帶 边三角形.：戦错PABC的体积为:则此:枚惨的外按 球的表面枳为（）A晋语C.普D.警6 四核Iff PAliCD的« tel ABCD於边长为6的茫方形11PA = PH = PC=PD,若一个半径为1的球>j此四核樓所有面祁相切则琰四梭锥的島是<）10. Jfc

7、向为和形的穴K W P八川/>的W 44 M A那“球Q的4 th I .H AH - Z.AI） 2它的敞大休枳为当'则球Q 的灰瞒枳为（）A. IOx15. 15nC. 20尺I）. Z5x11 已如屁面为疋:角形的二梭柱内接于半径为1的隊则比 三检柱的体枳的St大備为（）A. 1B.QC.V3D.212.（2018广州令测乂M九章算术、中将底血为长方形 且有一条侧棱与底面垂宜的四梭瘡称之为B1马；将四个 面都为点角三角形的三梭锥称之为除瞒.若三棱停 PABC 为 «tf .PA 丄平面 ABC,PA=AB-2MC=I. 三棱tftPABC的四个頂点都在球O的球面上.則球0 的表面积为（）A8代B. 12xC. 20xD. 24x二填空题I3已知球0的半程为R.A氏CN点在球0的球面上域心：I0到平面ABC的距离为罗RMTHM肿:IO的表面枳为：14. （2018 * 11 «»&!«）已fil 三械锥 FAHC 的所有15 : 点如在表面积为等的球面上旅而做足边长为朋等1 边三角形，则三梭擀P ABC体积的最大值为】5.巳知在三梭链"ABC i' Vp-=甲./APC =ZBPg号PA丄AC,