林建伟大学物理振动

1、第四章第四章 振动与波动振动与波动4.1 4.1 振振 动动 (vibration)4.1.1 4.1.1 简谐运动的描述简谐运动的描述4.1.2 4.1.2 简谐振动与旋转矢量简谐振动与旋转矢量4.1.4 * 阻尼振动阻尼振动4.1.3 4.1.3 简谐振动简谐振动( (动力学部分动力学部分) )4.1.6 简谐振动的合成简谐振动的合成4.1.5 受迫振动与共振受迫振动与共振4.1.8 垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成4.1.7. 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成4.1.9 谐振分析谐振分析火山火山xxf0matltx4.14.1 振振 动

2、动 (vibration)振动的概念振动的概念机械振动机械振动 电磁振动电磁振动 广义振动：任一物理量广义振动：任一物理量(如位移、电如位移、电 流等流等) 振动分类振动分类3 3、受迫振动外界作用力下的振动、受迫振动外界作用力下的振动1 1、自由振动没有能量的输入与输出、自由振动没有能量的输入与输出2 2、阻尼振动振幅减少的振动（介质阻尼和辐射阻尼）、阻尼振动振幅减少的振动（介质阻尼和辐射阻尼）在某一数值附近反复变化。在某一数值附近反复变化。 4 4、参变振动参数变化的振动、参变振动参数变化的振动5 5、随机振动用概率统计的方法研究、随机振动用概率统计的方法研究4.1.1 4.1.1 简谐运

3、动的描述简谐运动的描述一一. 简谐振动的定义简谐振动的定义 表达式表达式 x(t)=acos( t+ ) 特点特点 (1)等幅振动等幅振动 (2)周期振动周期振动 x(t)=x(t+t )二二. 描述描述简谐振动简谐振动的特征量的特征量 1. 振幅振幅 a: 物体离开平衡物体离开平衡 位置的最大距离位置的最大距离2. 周期周期t 和圆频率和圆频率 t 2 ， = 1/t (hz) , = 2 3. 相位相位(1) 、 =( t + + )是是 t 时刻的相位时刻的相位 (2) 、 是是t =0时刻的相位时刻的相位 初相初相本章主要研究自由振动，本章主要研究自由振动，,而自由振动中最基本的振动是

4、而自由振动中最基本的振动是简谐振动，它是其它一切振动的基础。简谐振动，它是其它一切振动的基础。说明：相位是确定物体振动状态的物理量，不同说明：相位是确定物体振动状态的物理量，不同的相反映不同的态的相反映不同的态.。0,01vax avx ,0,220,3vax avx , 0,234 sinav cos)cos(ataxa00000avv0,25vax旋转矢量的长度旋转矢量的长度mx0p旋转矢量与参考方向旋转矢量与参考方向x 的夹角的夹角旋转矢量旋转的方向旋转矢量旋转的方向旋转矢量旋转的角速度旋转矢量旋转的角速度振动位相振动位相振动圆频率振动圆频率振幅振幅 a逆时针向逆时针向(t)+x m 点

5、在点在x 轴上投影轴上投影p点点 的运动规律：的运动规律： 4.1.2 4.1.2 简谐振动与旋转矢量简谐振动与旋转矢量一、一、旋转矢量旋转矢量)cos( taxatax)cos(adtdxv xmpav为为 在在x方向的分量方向的分量vmpxampxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限1v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：

6、旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限2v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限3v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限4v0mpxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限4v0m

7、pxa注意：旋转矢量在第注意：旋转矢量在第 速度速度象限象限4 0称两振动称两振动反相反相= (2k+1) , ( k =0,1,2,),若位相差若位相差称两振动称两振动同步同步= 2k , ( k =0,1,2,),若位相差若位相差振动振动 1 滞后滞后振动振动 2a1a20a2a10a110 xa22二二. 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)领先、落后以领先、落后以0, x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)，则，则 x2比比x1较早达到正最大。较早达到正最大。 三三. .简谐振动的速度、加速度简谐振动的速度、加速度 ox aa1.1.速度速度)2cos(

8、ta)cos()(tat)sin( tatddxtv2t 速度也是简谐振动速度也是简谐振动 比比x领先领先 /2ottx、 、ax 2a 0 0 0a 0 0 0减速减速加速加速减速减速加速加速 aa-a- a- 2a a2. 加速度加速度)cos(222 tatdxda)cos()(aatata 也是简谐振动也是简谐振动 v 的周相超前的周相超前 x位相位相/2， a 与与 x 的周相相反。的周相相反。速度曲线是速度曲线是x(t)曲线的斜率曲线的斜率加速度曲线是加速度曲线是v(t)曲线的斜率曲线的斜率例例. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相

9、等。当质点当质点1在在 x1= a/2 处，且向左运动时，另一个质点处，且向左运动时，另一个质点2在在 x 2= -a/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。处，且向右运动。求这两个质点的相位差。)(cos11tax)(cos21taa31t0)(sin1t0)(sin11tav31t解：解：a-aoa/2/2- -a/2/2322t)cos(22taa0)(sin22tav322t)()(21tt)32(3a-aoa/2/2- -a/2/20sintfm0xkx由牛顿定律：由牛顿定律：kx = md xdt22m=k令令2=d xdt22kmx+0km=，4.1.3 4.1.3 简谐振动

10、简谐振动( (动力学部分动力学部分) )一一. . 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程1、动力学、动力学方程方程（弹簧振子的圆频率）（弹簧振子的圆频率） 当当 t = 0 时时x0000a=xvv)2(tg2+=0 xacos0v=asinx=acos)(+t()+tv=asin2、初始条件、初始条件得得：d xdt22=+2x0振动动力振动动力学方程学方程二二. .简谐振动的能量简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)1.1.简谐振动系统的能量特点简谐振动系统的能量特点(1) 动能动能221 mek )(sin2122 tka0,21min2max kkekae 2411

11、kadtetetttkk (2) 势能势能221kxep )(cos2122 tka情况同动能。情况同动能。pppeee,minmax (3) 机械能机械能221kaeeepk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒2. 由起始能量求振幅由起始能量求振幅xtteepek(1/2)ka2okpee 221kae kekea022 三三. .简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法1.1.由分析受力出发由分析受力出发 (由牛顿定律列方程由牛顿定律列方程) 2. 由分析能量出发由分析能量出发 (将将能量能量守恒式对守恒式对t求导求导) 例：例：k=?(a)(b)k1单独存在单独存在11/kfx

12、 k2单独存在单独存在22/kfx k1、k2同时存在同时存在)/ 1/ 1 (2121kkfxxx)/ 1/ 1/(1/21kkxfk111/kfx 222/kfx xxx21kxxkkfff)(212121kkkk1(a)k2fk2k1(b)k=?f(c)k1、的关系的关系?k2ll21k1k2结论：结论：串联：串联：21/1/1/1kkk并联：并联：21kkk设给弹簧施力设给弹簧施力f11xkf 1111llxk11lk22xkf 2222llxk22lk材料应变lx2211lklkll21k1k2(c) 例例 一弹簧振子一弹簧振子 k = 8n/m, m= 2kg, x0=3m,v0=

13、8m/s。求：求：，a， 及振动方程及振动方程 v00=tgx8=2343若取若取则有则有（不合题意）（不合题意）02=126.87=0153.13,02 =126.87200= acosxx =05(2t)cos53.3=5cos()2t0.296 =31=21=t1+=13=2=56a2xxaa21.00tt = 0时时000 x=a2vt =1时时d110 x= 0v=dxt 、 以及振动方程。以及振动方程。求：求： 例例 一谐振动的振动曲线如图所示。一谐振动的振动曲线如图所示。xa3x = a cos ( 56t3)32axat =1t = 0本题本题的另一种求法：的另一种求法：32)

14、(12tt65)(12tt例：例：质点振动方程为质点振动方程为)43cos(06. 0tx（si）(1)、当、当 x=？系统势能为总能量的一半？系统势能为总能量的一半？(2)、系统由平衡位置到此位置所需的最短时间？、系统由平衡位置到此位置所需的最短时间？解：解： (1)、221kae总22212121kakxmax0424. 022(2)、st62tt12)4(412tt)(12tt 4/stt75. 0)4/(12例：例：一只钟摆（单摆），在一只钟摆（单摆），在 g=9.8m/s2处走时准确，移到处走时准确，移到另一地点，每天快另一地点，每天快10s，问该地的重力加速度为多大？，问该地的重力

15、加速度为多大？glt/200/2glt00ggttgglt2/321200/221gggl00/2tgtg0000/2tgtgggg)360024/(8 . 91028 . 9)(8023. 92ms解：解：方法一、牛顿定律法方法一、牛顿定律法动动+转转正正方方向向mmgl 例例 、角振动角振动 单摆单摆glt2sinmgftdtdvm22dtdmlsin022lgdtdlg)cos(maxt动动+转转正正方方向向mmgl方法二、能量法方法二、能量法ep=0取如图位置重力势能为取如图位置重力势能为0pkeeecos212mglmvdtdmgldtdvmvdtdesindtdmgldtddtdm

16、ldtde222dtdlv0022lgdtd例例 一落地座钟的钟摆是由长为一落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻杆与半径为的轻杆与半径为 r 的的匀质圆盘组成，如图所示，如摆动的周期为匀质圆盘组成，如图所示，如摆动的周期为1s，则，则 r 与与 l 间间 的的 关系如何关系如何?rlmmgrlsin()+=jrm22+=12mrl ()+sin2dmj=dt2rmgrml22()+=12mrl ()+2ddt2mgrl ()+rgrl22()+=02rl ()+2ddt22解：解：rlmg+rgrl22()+=02rl ()+2ddt22=rgrl22()+2rl ()+2=rgrl22()+2r

17、l ()+2r2=0gl+62l242lr28gr+可得可得 r 与与 l 的关系式：的关系式：=2t由：由：=1+2=02ddt2比较上两式得到：比较上两式得到：b0 x平衡位置平衡位置自然长度自然长度取静平衡位取静平衡位置为坐标原点置为坐标原点 例例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球的小球，弹簧伸长量为，弹簧伸长量为b 。用手将重物上托使弹簧保持。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。自然长度后放手。 求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。方程。b自然长度自然长度静平衡时静平衡时mgfkb - mg = 0方法一

18、：牛顿第二定律方法方法一：牛顿第二定律方法自然自然长度长度b平衡平衡位置位置x任意位置时小球所受到的合外力为：任意位置时小球所受到的合外力为：=kmgb=gx = b cos (t + )b00当当t0 xb,=:v0得得a=b,=可见小球作谐振动。可见小球作谐振动。mg - kb = 0f = mg - k ( b + x ) = - kxmgf0x方法二：能量法方法二：能量法自然自然长度长度b平衡平衡位置位置0 xxe =0p考虑任意位置考虑任意位置pkeeepemv 221mgxbxkmv22)(2121取平衡位置重力势能为取平衡位置重力势能为0dtdxmgdtdxbxkdtdvmvdt

19、de)(0dtdxkxdtdvmv022kxdtxdmkxdtdvm可见小球作谐振动。可见小球作谐振动。 例例 水面上浮有一方形木块，在静止时水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为水面以上高度为a,水面以下高度为水面以下高度为b。水密度。水密度不计水的阻力。现用外力不计水的阻力。现用外力木快密度为木快密度为为为将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。 ab求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。平衡时：平衡时：任意位置木块受到的任意位置木块受到的合外力合外力为：为：合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块合外力

20、和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振动。作谐振动。ac.b0 xxs y任任意意位位置置平平衡衡位位置置bca.s0 xy0)(gbsgsbagsxbgsbaf)()(gxs ac.b0 xxs y（由牛顿定律）（由牛顿定律）任任意意位位置置平平衡衡位位置置bca.s0 xyt =000vx=a= 0a = a=022)(dtxdsbagxs0)(22xbagdtxd)(bagtbagax)(cos例例 ：一物体放在水平平板上，此板沿水平方向作谐振：一物体放在水平平板上，此板沿水平方向作谐振动，动， 2hz,物体与板面间的摩擦系数物体与板面间的摩擦系数 0.50，问：，问：（1）、要使物体

21、在板上不滑动，振幅的最大值是多少？）、要使物体在板上不滑动，振幅的最大值是多少？（2）、若使该板作竖直方向的谐振动，）、若使该板作竖直方向的谐振动，a5cm,使使物体与板保持接触的最大频率是多少？物体与板保持接触的最大频率是多少？xfa解：（解：（1）、）、ammamgf2maxmax mga031.02 mxanmgox(2)、据分析可知物体应该在、据分析可知物体应该在平衡位置上方才能分离（当平衡位置上方才能分离（当在下方时，在下方时，nmg=ma0,不不可能分离）可能分离）此时，此时， mg-n=ma n= mg-ma = m(g-a)欲使物体不分离，需当欲使物体不分离，需当a=amax时

22、，时，n 0，即当，即当 amax g时，物体时，物体m不分离。反之，不分离。反之，则分离。则分离。gaa2max hzag2 . 221max 若已知若已知 ，问物体在何处分离？，问物体在何处分离？gx 2 例例. 质量为质量为m的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。已的液体中。已知比重计圆管的直径为知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：解：取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0 fmg浮力：浮力： vgf其中其中v 为比重计的排水体积为比重计

23、的排水体积0mgf2222dtxdmgxdvmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgvgmg0 xxmgd2gmdt42一一.阻尼振动方程阻尼振动方程1. 系统受力系统受力 弹性力弹性力 -kx2. 振动方程振动方程阻尼力阻尼力tddxf tddxkxtdxdm 22 f -kxx0m4.1.4 阻尼振动阻尼振动*其中其中mmk2,0解得解得：022022xtddxtdxd1)cos(2020teaxt)cos(202taxtx方程的解为：方程的解为：0=220t =222tx00t x=a ecos()t+ta0x其中其中3是刚好是使物是刚好是使物体做非周期性的运动，体做非周期性

24、的运动，这种情况叫做临界阻这种情况叫做临界阻尼。处于这种状态物尼。处于这种状态物体从运动到静止所需体从运动到静止所需的时间是最短的。在的时间是最短的。在灵敏电流计等精密仪灵敏电流计等精密仪表中，为了使人们能表中，为了使人们能较快地进行读数测量，较快地进行读数测量，常使电流计偏转系统常使电流计偏转系统处于临界阻尼状态下处于临界阻尼状态下工作。工作。t02tttteeax202202132121034.1.5 受迫振动与共振受迫振动与共振一一. 受迫振动受迫振动 在外来策动力作用下的振动在外来策动力作用下的振动1. 系统受力系统受力 弹性力弹性力 阻尼力阻尼力 tddx 强迫力的圆频率强迫力的圆频

25、率 0f力幅力幅 周期性干扰力（强迫力）周期性干扰力（强迫力）0f=fcos t-kx2、动力学方程：、动力学方程：令令hf0m=m=2,0km=2,得得0=d xdtdtdx222+ 2xhcos t方程的解为：方程的解为：dxdtf0kx+cost=d xdt22m+t 2000t2ax = a ecos()+cos(t+ )随时间很快衰减为零随时间很快衰减为零稳定时的振动方程稳定时的振动方程 tt 20002ax = a ecos()+cos(t+)在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。3. 稳态解稳态解 x=acos( t+ )4.

26、 特点特点稳态时的受迫振动按稳态时的受迫振动按简谐振动简谐振动的规律变化的规律变化(1)频率频率: 等于策动力的频率等于策动力的频率 2/12222204)( ha (2)振幅振幅:求求a 的极值得：的极值得：a0较小较大00a =h022()222+40/dda(3)初相初相:2202tg 二二. .共振共振在一定条件下在一定条件下, 振幅出现振幅出现 极大值极大值, 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。1. 位移共振位移共振(1)共振频率共振频率 :2202 r(2)共振振幅共振振幅 :2202 har若若 则则 r 0 ar h/(2 ) 称尖锐共振称尖锐共振 2.速度共振速度共振一定条件下

27、一定条件下, 速度幅速度幅 a极大的现象。极大的现象。 r= 0 m r=h/2 v r=0速度共振时，速度与速度共振时，速度与策动力同相，一周期策动力同相，一周期内策动力总作正功，内策动力总作正功，此时向系统输入的此时向系统输入的能能量最大。量最大。 1940年，年，tacoma narrows大桥在通车大桥在通车4个月零个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。桥的共振频率而突然坍塌。 物体同时参与两分振动：物体同时参与两分振动：cosx222=+a()tcosx111=+a()t合振动的合振动的振幅为：振幅为：

28、xa11122=aaaaa+22212cos(1) 一、同方向同频率振动的合成一、同方向同频率振动的合成4.1.6 简谐振动的合成简谐振动的合成a xx12=+x iaia21 iaa)(21 ia )cos(ta a22 1a2aa 2 1 x22112211coscossinsintg aaaa22sin a2211coscos aa)cos(212212221 aaaaa11sin a x =a cos( t+ )cos(212212221 aaaaa22112211coscossinsintg aaaa 3.两种特殊情况两种特殊情况 (1)若两分振动同相若两分振动同相 2 1= 2k

29、(k=0,1,2,) (2)若两分振动反相若两分振动反相 2 1= (2k+1) (k=0,1,2,)如如 a1=a2 , 则则 a=0则则a=a1+a2 , 两分振动相互两分振动相互加强加强则则a=|a1-a2|, 两分振动相互两分振动相互减弱减弱12aa1aa2例：设有例：设有n n个矢量个矢量naaaa, 3, 2, 1模的大小都为模的大小都为a a，相邻两个矢量依，相邻两个矢量依次构成夹角次构成夹角 ，求合矢量的大小和，求合矢量的大小和方向，并作讨论。方向，并作讨论。解：解：1a2a a3a r rnaaaaa3212sin2nra 3a2a1aan n 二二. 同方向同方向n个同频率

30、的简谐振动的合成个同频率的简谐振动的合成naaaaa, 3, 2, 12sin2nraa2sin2sinnaa)(21)(21n) 1(21n2sin2r1a2a3a a rn 二二. 同方向同方向n个同频率的简谐振动的合成个同频率的简谐振动的合成11cosatax 22)cos(atax nnantax )1(cos2sin2 nra 2sin2 ra 2sin2sin naa 21n)cos( taxatax)cos(c )1(n n1a 2a3ana2 a cmtx)410cos(0 .21 例：三个同方向同频率的谐振动例：三个同方向同频率的谐振动cmtx)210cos(0 .22 cm

31、tx)4310cos(0 .23 试用旋转矢量法求合振动的方程试用旋转矢量法求合振动的方程1a2a3a4 解：三个对应的旋转矢量如图所示解：三个对应的旋转矢量如图所示cma83.422422 cmtx)210cos(83.4 a 2. 合振动合振动ttax)2cos()2cos(21212 合振动不是合振动不是简谐振动简谐振动当当 2 1时时 2- 1 2+ 1其其中中tata)2cos(2)(12)2cos(cos12tt随随缓变缓变随随快变快变合 振 动 可合 振 动 可看 作 振 幅看 作 振 幅缓 变 的 简缓 变 的 简谐振动谐振动x = x1+ x2)cos()(ttax4.1.7

32、 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成1. 分振动分振动 x1=acos 1 t x2=acos 2t xt1tx20.75s0.50s=1610.25s=218=2tx 3. 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象 tata)2cos(2)(12 例：第一音叉和第二音叉（例：第一音叉和第二音叉（f2=384hz)的标准音叉同时振的标准音叉同时振动，它们每秒产生三个拍频动，它们每秒产生三个拍频 。当第一个音叉的臂上涂了。当第一个音叉的臂上涂了一层石腊时，拍频减少。试问第一个音叉的频率是多少？一层石腊时，拍频减少。试问第一个音叉的频率是多少？,321 拍拍 ,mm

33、k211, ，拍拍hz38721拍拍 拍频拍频 : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数122 拍拍t121 拍拍拍拍t拍t212合振动合振动振幅为振幅为xya12a04.1.8 垂直方向同频率简谐振动的合成垂直方向同频率简谐振动的合成1.1.分振动分振动2. 合运动合运动)cos(11tax)cos(22tay0) 1 (12xaay12)(sin)cos(21221221222212aaxyayax2221aaa)cos(11tax)cos(12tayyx1aa20rr 矢量旋转的方向？矢量旋转的方向？设：设：111)cos(atax01t0)2/cos(12tay0)(1tt111)(cos(attax0)2/)(cos(12ttayr 矢量作顺时针旋转，又称右旋矢量作顺时针旋转，又称右旋2/)2(121222212ayaxxy= 1+21222aa2yx1aa20rr 矢量旋转的方向？矢量旋转的方向？设：设：111)cos(atax01t0)2/cos(12tay0)(1tt111)(cos(attax0)2/)(cos(12ttayr 矢量作逆时针旋转，又称左旋矢量作逆时针旋转，又称左旋2/3) 2(12合振动振幅为合振动振幅为xya12a0 xy1a=2a12