深沪股市收益率非正态稳定帕累托分布探究

1、深沪股市收益率非正态稳定帕累托分布探内容摘要：本文对上证综合指数、深证成分指数的收益率 分布进行了研究。利用稳定帕累托分布对两市收益率进行拟 合的结果表明，股市收益率可以用稳定帕累托分布较好地拟 合，即股市价格波动存在持久性等非线性特征。关键词：正态分布稳定帕累托分布价格行为在当今的主流金融计量理论形式中，以下几个概念为基 础：一是理性投资者。投资者追求给定风险水平下的最高收 益或给定收益水平下的最小风险。二是有效市场。价格反映 了所有公开的信息，价格的变化各不相关。可能有非常短期 的相关性，但会迅速消散。三是随机游动。收益率遵循随机 游走，即布朗运动。因此概率分布近似正态或对数正态。这 隐含

2、着收益率的分布至少有一个有限的均值和方差。长期以来，主流金融计量理论假定投资者是理性的、有 秩序的和有条理的，人们是以因果线性的方式对信息做出反 应。随机游走和正态分布的假设，对构建现代投资理论起了 决定性的作用，它极大地简化了数学模型的推导。然而，多 年来大量有关收益率分布及现代投资理论适用性问题的实 证研究却不断对此提出质疑。如果股票价格不是独立的，那 么收益率的分布还会是正态分布吗？如果不是，可以用怎样 的分布规律来描述？国外学者很早已经发现，收益率的分布明显异于正态分 布，具有“尖峰”和“胖尾”(概率密度曲线在均值附近有 更高的峰度值和过多的尾部观测值)。mandelbrot (196

3、9) 将之称为"稳定帕累托"(stable paretain)分布。价格 运动也不是遵循随机游走，而是服从mandelbrot称之为“分 数布朗运动” (fbm)的有偏随机游动。社会经济现象与自然现象有本质的不同，在自然现象 中，很多变量服从正态分布；而在社会经济现象中很多现象 服从负幕律分布。它们可以用非正态的稳定帕累托分布描 述。在经济学文献中，稳定帕累托分布又称为pareto分布、 pareto-levy分布或分形分布。这些分布的性质最早由levy 推导出来，而他的工作又是以pareto有关收入分布的工作 为基础的。人们早就发现金融市场价格不是正态分布，与正态分布 相

4、比，有更高的峰值和更胖的尾部。在分形市场分析的框架 下，用分形分布描述金融市场价格的这种分布特性。20世纪 60年代，mandelbrot (1963)研究了棉花的价格，发现棉花 的价格不服从正态分布，可以用a 1.7的对称稳定帕累托 分布，也就是分形分布来描述。manlegna和stanley使用了 标度从1分钟到1000分钟的1447514个数据，研究了美国 标准普尔500指数的分布规律，得出可用稳定分布来描述该 指数收益分布所具有的尖峰和厚尾的分布特征的结论。稳定帕累托分布及其性质pareto稳定分布不易用密度函数的形式表达，它的特征 函数呈下列形式：(1)其中，入是尺度调整参数，它表示

5、曲线的宽度，入>0； b是偏斜度的度量，twbw+1, b =0时，分布是对称的; 5是位置参数，表示均值的位置；a是特征指数，a既度 量分布的尖峰程度又度量分布的胖尾程度，00,存在一个 b>0,满足下列关系：(4)或用特征函数表示，令2 (t)是f (x)的特征函数， 相应有：(5)称这种关系是稳定的。这表示f (x/bl)、f (x/b2)和 f (x/b)即相应的特征函数2 (bit)、2 (b2t)和2 (bt) 具有相同形状的分布，只是尺度不同而已。分形分布的直观 意义是经过适当的总和程序后，其分布不变。二是可加性。具有相同特征指数a的分形分布随机变 量相加，得到的随机

6、变量仍然服从相同a特征指数的分形 分布，只是其他参数可能会有所变化。三是厚尾性。分形分布具有比较厚的尾部，特征指数a 决定了分形分布尾部的厚度。同等离散程度下，a越小，分 形分布的尾部越厚。四是非连续性。非正态分布的尾部太厚以至于它们的方 差及所有更高阶的矩都是无限的，当样本增大时，这些分布 的方差和峰度的样本估计不会收敛，而是趋向于无限增大。 因此，分形分布能产生大幅度、突发性的变化。这种突发性 大幅波动类似圣经故事中的noah效应，其数学名称是“无 限方差征群"(infinite variance syndrome),这样的系 统易出现突然和激烈的逆转。由于分形分布允许出现间断、

7、 突发性的变化，可以较好地描述金融市场价格行为的突然变 化。五是长期记忆性。分形分布可以产生有长期记忆的时间 序列，law2对应于0.5hw1,意味着持久性的长程相关。 这种长期记忆性被称为joseph效应，圣经故事中的含义是 “7年丰收之后跟随着7年饥僅”，表示分形分布倾向有趋 势和循环。六是自相似性。在做了标度调整之后，分形分布仍然会 保持同样的形状，这种序列称为是标度不变的。七是逆幕律性质。对于对称稳定分布：(6)这里，f (x)是分布函数。满足(6)式的分布称为负幕律分布，由此可以看出负幕律分布与稳定分布之间的内在 联系。可见，分形分布族模型扩展了主流金融计量理论的正态 分布假设。正态

8、分布来源于市场价格的随机游走和连续定 价，这种市场状况是稳定和均衡的；而分形分布涵盖了收益 分布的偏斜、尖峰和厚尾等各种复杂特征，暗含着价格运动 的各种复杂情况，正态分布只是其中一个简化的特例。 实证研究的方法和数据(一) 稳定帕累托分布参数估计的密度函数模型由于稳定帕累托分布的密度函数不能用显示表达，因 此，通常用特征函数表示。比较而言，分形分布由四个参数 确定，x表示曲线的宽度，b是偏斜度的度量，5表示均 值的位置，a既度量分布的尖峰程度又度量分布的胖尾程 度，0< a <2o对于金融市场价格的分形研究中，一般a在 1和2之间，这一范围内的a对应的时间序列具有长期记忆 性和统计

9、上的自相似性，是分形。根据密度函数和特征函数的转换关系：(7)将稳定帕累托分布的特征函数代入式(7),并利用欧拉 公式：，和“奇函数在对称区间上积分为零"的性质，可以 得到稳定帕累托分布隐式表达的密度函数为：(8)式(8)就是本章中的实证分析所采用的密度函数模型。(二) 模型拟和的理论和方法本章中采用极大似然估计方法进行参数估计。建立以对 数形式表示的连加求极小化的似然函数，见式(9)：(9)这里，r=(r1, rn)是收益样本，0是待估计参 数矢量。当(9)取极小值，这时，就得到待估计的参数矢 量。在实际应用中，使用的是mat lab软件中的基于 nelder-mead的单纯形优化

10、算法编程计算。对于实际观测值的密度曲线，本章应用核估计方法得 到。核估计方法是一种密度估计的非参数方法。密度函数的 核估计记为：(10)其中，k ( )是核函数，它起到加权的作用，核函数 的形状和值域控制着用来估计f (x)在点x的密度时所用数 据点的个数和利用的程度。在本章中核函数采用bertlett核函数：(11)式(10)中的bn为：(12)其中，o是样本的标准差。(三) 数据我们选取的是上证综合指数和深证成分指数的日收盘 价来进行分析，主要是因为这两个指数在中国证券市场很有 代表性。分析数据为从开市以来的2543个和2499个日收盘 价格数据的对数收益率。表1是两市指数收益率数据经过了

11、 均值化处理（所有的数据都减去均值）后，用excel软件给 出的统计描述。实证结果及分析经过编程计算，由于数据经过了均值化处理，分形分布 的四个参数中，8约为0,分形分布的另外三个参数分别如 下。对上证综指来说：a 沪=1.4713,入沪=0. 0132, b 沪=0. 0013对深证成指来说：a 深=1.4304,入深=0. 0231, b 深=0. 0004图1和图2分别是两市指数日收益率的分布图，分形分 布、相应的正态分布和实际收益率数据的核估计密度在图中 同时绘出。从图上可以看到，两市收益率都有很高的峰度， 并有一定的偏斜度，沪市收益率的胖尾特征更加明显，深市 收益率有更突出的峰度，显

12、示了与正态分布非常显著的差 异。两市收益率均可以用稳定帕累托分布很好地拟合。分形市场研究认为，收益率的尖峰和厚尾是与人们对信 息反应的方式有关的。在有效市场理论中，人们是以原因一 结果的方式对信息做出反应，人们接到信息，并通过价格将 新信息在价格中反应出来。但是，当投资者遇到新的信息时, 在趋势不明显之前，或由于投资者的个人知识水平、时间精 力有限，不足以对信息做出客观的评估，或由于信息不对称 等原因，投资者忽略了信息而没有做出反应，这样价格就没 有受到新信息的影响而波动较小，我们会得到更多的峰值附 近的观测值；当趋势明显足以做出判断时，又以累积的方式 对所有以前被忽略的信息做出反应，我们就会得到更多的尾 部观测值。收益率的尖峰和厚尾暗含着价格存在正反馈效 应，意味着人们是对信息以非线性的方式做出反应，这也意 味着现在的价格是受过去影响的，这种情况是与有效市场相 抵触的。另外，对于沪深股市过度的峰值，除了在中国股市 不成熟的市场环境下