材料习题解答

1、5-1构件受力如图5-26所示。试：（1）确定危险点的位置；（2）用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画岀应力）di(a)A “题5-1图解：a）b)c)d)TF(d)1）危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；用单元体表示的危险点的应力状态见下图。危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点;应力状态见下图。危险点： A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点； 应力状态见下图。危险点：杆件表面上各点；2)1)2)1)2)a)b)c)d)5-2试写岀图5-27所示单元体主应力并指岀属于哪一种应力状态（应力单位为MPa解:(T 1、(T 2 和 b

2、 3 的值,a) - 1=50 MPa, -2"3=0,属于单向应力状态a)b)题 5-2 图c)b) c1=40 MPa, c2 =0,二3 = 30 MPa，属于二向应力状态5-3力。解:力;c) c 1 =20 MPa,已知一点的应力状态如图a)b)c)a)2 =10 MPa,5-28所示：二3 = 30 MPa，属于三向应力状态(应力单位为 MPab)试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应c)题5-3图取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知:二x=50MPa ,二 y= 30MPa ,. x =0, a = 30带入式(5-3 )，( 5-4 )得=45MPa=-8.66MPa

3、取水平轴为x轴，根据正负号规定:二 x= -40MPa ,二 y=0 ,- x=20 MPa , a =120带入公式，得：40 0- 40 - 0<cos240 -20sin240 =7.32MPa a 2 2-40 - 0x=sin 240 20cos240 =7.32MPa2取水平轴为x轴，则；x= -10MPa ,二 y=40MPa ,- x = -30MPa, a =30代入公式得:-10 ' 4010 - 40COS60 -(-3O)SI n60 =28.48MPa-10 - 40 x=sin 60 - 30cos60 =-36.65MPa2已知一点的应力状态如图5-

4、29所示(应力状态为5-4(2)主应力及其方位，并在单元体上画岀主应力状态;MPa。试用解析法求：(1)指定斜截面上的应 (3)最大切应力。a)片10040题5-4图c)b)a）解：（1求指定斜截面的上应力取水平轴为 x 轴，贝U cx=100MPa ,；y=40MPa ,. x=40MPa, a =45aa带入公式，得：100 40 100 一4° cos90 - 40sin 902100-40sin 9040cos90 = 30MPa2=30 MPa（2）求主应力及其方向，由公式（5-8 ）得:2 12020MPa按代数值；）_匚2 -打3得G =120MPa，二 2=20 MP

5、a，=0MPa由公式（5-7）可求得主应力方向2：0 = 53.13，:0 = 26.57最大主应力；的方向与x轴正向夹角为顺时针 26.573）最大切应力由公式（5-20）_石3120 _0-max60 MPa2 2：=60 （-20）60 -（ -20）2COS（-60 ） 30sin（-60 ）=14.02MPa60-（-20）2sin （-60） -30cOS（-60） = -49.64MPab）解：（1）求指定斜截面上的应力取水平轴为 x 轴，二x=60MPa , - y= -20MPa ,- x= -30MPa, a = -30代入公式得（2）求主应力及其方向，由公式（5-8）得:

6、60（-20）他-（-20）2+（一30）2< 2 丿70MPa-30按代数值匚1 _匚2 _匚3 得；一 =70 MPa，二2 =0 MPa，二 3 = 一30 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向2：0 = 36.87，:0 = 18.43最大主应力二1的方向与x轴正向夹角为逆时针 26.57如图所示：3）最大切应力由公式（5-20）-max70(3°)=50MPac）解：取水平轴为x轴，则:二 x =60MPa , :y =0 ,- x= -40MPa,a = -150代入公式得:6°COS(-300) - (-40)Sin(-300) =79.64MPa%

7、_ 260 尹sin(-300) -40cos(-300)=5.98Mpa（2）求主应力及其方向，由公式（5-8）得:60 0*60 -0 丫2(-40)80MPa-20a)b)题5-5图c)按代数值：'，2I 3G =120 MPa，MPa，二 3=0 MPa由公式（5-7）可求得主应力方向2：0 = 53.13, :0 = 26.57最大主应力二1的方向与x轴正向夹角为逆时针 26.57如图所示：3）最大切应力S80_（20）由公式（5-20） max -502 2（1）指定斜截面上的5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为 MPa。试用图解法求:应力；（2）主应

8、力及其方位，并在单元体上画岀主应力状态；（3）最大切应力。解：（1）求指定斜截面上的应力由图示应力状态可知cx =40MPa , :y=20MPa , . x=10MPa, .y=-10MPa由此可确定 二面内的D、D '两点，连接 D、D '交于C。以C为圆心，DD '为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为 60，在应力圆上，由D逆时针量取120得E点，按比例量的 E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：XE =；： -.=60MPa， yE 二.=3.7MPa（2）求主应力及其方程应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：Xa = max =44.14

9、MPa ， Xb = ；min = 15.86Mpa按照 _匚2 _打3得约定，可得三个主应力为：门 =44.14MPa，二2 =15.86MPa，二3 =0MPa由D转向A的角度等于20。量得2o=45 （顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5 。（3）最大切应力等于由 I画岀的应力圆的半径 .max=22.07MPab）解：首先做应力圆：其中D （ 0，-20） D ' （ 50，+20）1 ）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从 D逆时针量20=90得E点：XE =-' =5MPa， yE= -.=25Mpa2）Xa = ；max=57MPa， xB

10、 = ；min= -7Mpa按照二 r _匚2 _匚3 得二 1 =57MPa，二 2 =0MPa，二 3 = -7MPa1 'Q主应力方向：最大主应力与y轴夹角为一 DCA =19.33 （顺）23）最大切应力等于由、1广3画岀的应力圆的半径：'max - 32 MPaI（c）解：由图示应力状态可得应力圆上两点D （-20，20）和D （ 30，-20）连DD交二轴于C,以C为圆心，DD为直径作圆，即为应力圆，如图所示1） 斜截面与x轴正方向夹角为60 （顺）,因此由D顺时针量120得E点Xe =二:.=34.82MPa， yE = ： =11.65MPa2）主应力及其方位应

11、力圆与二轴的两个交点 A,B的横坐标即为两个主应力：因此；=37MPa，二2=0MPa，二 3 = -27MPa由D'到A的夹角为逆时针38.66 ，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力3）最大切应力为由 ，；3画岀的应力圆半径.max =32 MPa5-6 一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm试求：（1）梁上各指定点的单元体及其面上的应力；（2）作岀各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。题5-6图解：1）各点的单元体及应力由梁的静力平衡求得 FA二FB二250 kN3A,B,C三点所在截面上的弯矩M =250 100.25 =

12、62500 Nm62500剪力 Fq 二 250 kNPa=93.75MPa （压应力）1 2-0.1 0.226= 46.875MPa （压应力）33.250 00厂 匚CPa =18.75MPa2 0.1 0.2b c -14.06 MPa42）作各单元体的应力圆A 点：二 1 =0,二2 =0,二3 二-93.75 MPa， max =46.875MPaB 点：XA=3.9MPa， XB = ；3 = 一50.7 MPa，- 2 =0， max=27.3MPaC 点：Xa=18.75MPa， Xb =；：2 =0，二3 = -18.75 MPa， - max=18.75MPa5-7试用解

13、析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa。a）b）c）题5-7图解:a）主应力二1 =50 MPa，由于其它两方向构成纯剪切应力状态,所以有,-max1- =50MPab） 一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示匚 x =30MPa , 匚 y = -20MPa ,. x=20MPa代入公式（5-8）237MPa-2730 +(-20) 土30(20)2 乜2 2.丿所以；=50MPa，厂 2 =37MPa，二 3 = -27MPa max =5027 8.5MPa2b） 一个主应力为-30MPa，其余两方向应力状态如图所示取-x=120MPa，-y =

14、 40MPa， x=-30MPa、2代入公式C maxmin字I®)2l 2丿130MPa30所以二4 =130MPa，- 2 =30MPa，二 3 =0MPa130 -(-30)2=80 MPa5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。题5-8图max-解:a）三个主应力为；i 一 ，二2 一 ；3 = 0 三向应力圆可作如下b）这是一个纯剪切应力状态二1二，二2 =0,二3 = -其三向应力圆为:=Tm a x L三向应力状态：一个主应力为零先做一二向应力状态的应力圆，得；.，二3再由二1，二2和二2,二3分别作应力圆 三个应力圆包围的阴影

15、部分各点对应三向应力状态MPa5-9二向应力状态如图5-34所示。试作应力圆并求主应力（应力单位为解:题5-9图2画岀二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则匚x=?,匚 y=50MPa ,. x = ？ ， a =30 时汀.=80MPa,. . =0代入式（5-3）（ 5-4）=80Mpa=0；x=70MPa ,x= -10 .3 MPa可做应力圆如图所示由应力圆可求的三个主应力分别为c1 =80MPa，厂 2 =40MPa，厂 3 =0MPa最大切应力为 .max=40MPa5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。试求切应力T和三个主应力题5-10图解：画

16、岀二向应力状态单元体，取水平方向为x轴则 匚x=15MPa ,二y = -15MPa ,x= t， a =135 时；. =0, - -.=0代入式（5-3）（ 5-4）=0=0（自然满足）由上式解得 x=15MPa主应力可由公式（5-8 ）求(-15)(-15)2"一15)"5)2+(一15)< 2 丿0-30MPa因此三个主应力为- 1 =0，'- 2 =0，、- 3 =-30MPamax二1 -二30 -( -30)2=15 MPa5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图 并指岀应力圆上 A点所在截面的位置。5-36所示（应力单位为 MPa。试画岀单元

17、体的受力图,200730d)AC01070e)f)AO(T -30T)5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。应力和最大切应力。解:x=80MPa , y =40MPa ,将以上已知数据代入公式（7T 11A30 ”O2007A-10105060°题5-11图已知:c)(TA-30= 80 MPa, ；y = 40 MPa, 50 MPa。试求主x y _题5-12图x= t, = ：=50MPa, a =605-3)-x =0再把二X，二y ,- x代入公式（5-8 ）求主应力因此三个主应力为804080-40 丫0280MPa40二 1 =80 MPa ,-2 =40 MPa

18、，二 3=-30MPamax二=40MPa由图中几何关系可得圆心坐标C（120,0）a和B上的应力分别为解:5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。已知两个斜截面=40 MPa, . =60 MPa；： = 200 MPa,. ： = 60 MPa。试作应力圆，求岀圆心坐标和应力圆半径题5-13图已知二：.=40MPa,|.=200MPa, ：.=60MPa, F：=60MPa由上面两组坐标可得应力圆上两点D1Q2,连D1D2，作其垂直平分线交 7轴于C点，以C为圆心,CD为半径作圆即为所求应力圆。半径 R =602802 =1005-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任

19、意两互垂方向的线应变和。试求所受拉力E、F。已知材料弹性常数E、v，圆杆直径do题5-14图解:围绕K点取单元体，两截面分别沿由广义胡克定律£ '和£ ”方向。如下图所示1联求解得我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取 根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：F又二=A所以F=“d21 卩45-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30°方向的线应变站。试求外力偶矩To已知圆轴直径 d ,弹性模量 E和泊松比v o题5-15图解:围绕K点沿£ 30 方向和与之垂直的方向取单元体如左图由沿横纵截面单

20、元体如右图5-4）得:由公式（5-3、由胡克定律又T =工WP16T 3 ，dT 二162二d3E ；30所以30二士皂16后（1 + 卩）24（1+卩）5-16 一刚性槽如图5-41所示。在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10X 10 X 10mm,铝材的弹性模量E=70GPa v =0.33 o试求铝块受到 F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。题 5-16解:F力作用面为一主平面，其上的正应力为-3FA36 1032 MPa = -60MPa由题意知 ；2 =0由胡克定律1；2 = E 匚 2 - "1匚 3所以匚2 -；3 = 19.8MPa19 (0-0.2

21、5(-19.8 -60) = 376.2 10200 10 ；21200 109(-60 - 0.25(0 -19.8) = - 763.8 10所以 耳=v 们=376.2 10-610 =3.672 10 "mm5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45°方向的正应变名45。，空心圆轴外径为D ,内外径之比为a。试求外力偶矩 T。材料的弹性常数 E、v均为已知题5-17图45和135面上主应力解：受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上取得极大值和极小值，为主平面，二1 = T, - 3= - T由胡克定律1；1=E 匚13=；45，

22、E；451代入化简得45 所以e由受扭圆轴表面上一点剪应力公式T16T- WP 二 d31-：45-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45°方向的线应变= 5< 10-6，材料的弹性模量E=200GPa. = 0.25。试求梁上的载荷F之值。题5-18图解：K点的应力状态如图所示其中t由公式（3-40）求得又K点有匚3 - - ，135方向有 J = ，代入到胡克定律11T有加-二己二1,1<_3e 1 J比轴两式有F =6000 10 ° 巳竺 =48000N=48kN(1+0.25)5-19图5-44所示受拉圆截面杆。已知A点在与水平线成

23、60°方向上的正应变 知 =4.010，直径d=20mm材料的弹性模量 E = 200 x103 MPa,v = 0. 3。试求载荷 F。题5-19图解:A点应力状态如图所示由公式（5-3）由胡克定律F又匚=A所以5-20试求图5-4545°, B点在中性层上,解:4E仙（3）2_694202 104 200 1094 10=37233.7N=37.23 kN3 -0.3所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。已知:梁高为 h，宽为b，弹性模量为题 5-20AB原长为a,与轴线成 E,泊松比为v，弯矩为M 图求AB的伸长量需先求 AB方向的应变，去AB中点位置c其应力

24、状态如图所示， 其中二=MyCIz1VM -asin45二 2 丄bh3 12由此可求岀 AB方向及与其垂直方向的正应力由胡克定律5-21用45°应变花测得受力构件表面上某点处的线应变值为£ 0° =-267 X 10-6, £ 45° =-570 X 10-6及£v =0.3。试求主应变，并求岀该点处主应力的数值和方向。90° =79 X 10-6。构件材料为 Q235钢，E=210GPa 解：由公式（5-36） 可求主应力:G 二E0 二 E2 210 90-；045 ； 、I2 0 45 45 90= -26779 - 210 1092 1-0.3占（1P3）应苏不k亦严供2253.61 10653.616 Pa =MPa110.01 106110.01由公式（5-34 ）求主应变，在此之前先由（5-33）求X-952- 267 - 792.75代入（5-34）主应力与主应变同方向：由（5