2020年高考文科数学《 基本初等函数》题型归纳与训练

1、2020 年高考文科数学 基本初等函数题型归纳与训练【题型归纳】题型一幂函数的图像与性质例 1  已知幂函数 y = f (x)的图象过点（   ，1222），则 log f (2)的值为(  )2A.12            B -12C -1D1【解析】由幂函数  

2、;f (x )= x a 的图象过点（   ，   ），得 f (   ) = (   )a =  ，a = ，则幂函数  f (x )= x 2 ，【答案】 A1211211222222 f (2)= 2 2 

3、;， log   f (2)=1212.故选 A .【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式.【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型 f (x )= x a .-p  2+ p+ 3例2  如果幂函数 f (x )= x   212(p Î Z )是偶函数，且在 (0,+¥)

4、上是增函数，求 p 的值，并写出相应的所以 -  1函数 f (x)的解析式.【答案】 p = 1 ， f (x )= x 2 .【解析】因为 f (x)在 (0,+¥)上是增函数，3p 2 + p +> 0 ，所以 - 1 < p < 3 

5、.22又因为 f (x)是偶函数且 p Î Z ，所以 p = 1 ，故 f (x )= x 2 .【易错点】易忘记 p Î Z 这一关键条件，以及幂函数在 (0,+¥)递增时指数的特征.【思维点拨】 熟练掌握幂函数的函数 f (x )= x a 的奇偶性特征，以及幂函数在 (0

6、,+¥)上是单调递增时幂函数的指数恒为正数.题型二 二次函数的图像和性质（最值）ttt例 1已知 f (x )= x 2 + 3x - 5 ， x Î  , t + 1，若 f (x)的最小值为 h( )，写出 h( )的表达式.ì  2t  + 5t -&#

7、160;1(t £ -   )2【答案】 h(t ) = í-  (- < t £-   )ï  4ï  2t  + 3t - 5(t > -   )2î5ïïï 2953223

8、ï【解析】如图所示，函数图像的对称轴为 x = -32，即 t £ - 时， h(t )= f (t + 1)= t 2 + 5t - 1 .（1）当 t + 1 £ -3        52    

9、    2£ t + 1 ，即 -  < t £ -时， h(t )=f ç-   ÷ = -  .（2）当 t £ -3           5 

10、60;    32           2      2æ 3 ö 29è 2 ø 4（3）当 t > -32tt时， h( )= f ( )= t 2 + 3t&

11、#160;- 5 .ït 2 + 5t -1ç t -÷ ,è2 ø综上可得 h(t) = í-ç- < t -   ÷ ,3 öæït 2 + 3t - 5 ç t >

12、0;-   ÷.ìæ5 öïï 29 æ 53 öï4 è 22 øïîè2 ø【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论.【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.，若关于

13、0;x 的不等式  f (x) 2 + af (x)- b2 < 0 恰有1个整数解，则例2已知函数 fí(x )= ìï- x 2 + 2 xîï x 2 - 2 xx ³ 0x < 0 实数 a 的最大值

14、是()A2【答案】DB3               C5                    D8【 解 析 】 作 出 函 数 f (x) 的&

15、#160;图 象 如 图 实 线 部 分 所 示 ， 由2f (x) + af (x)- b2 < 0得< f (x)<         ，若 b ¹ 0 ，则 f (x)= 0 满足不等式，即不等式有

16、 2 个整数解，- a - a 2 + 4b 2- a + a 2 + 4b 222不满足题意，所以 b = 0 ，所以 - a < f (x)< 0 ，且整数解 x 只能是 3 ，当 2 < x < 4 

17、时， - 8 < f (x)< 0 ，所以 - 8 £ -a < -3 ，即 a 的最大值为 8 ，故选 D .2【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题.题型三指数函数÷ ， b = f (log2 4.1)

18、， c = f (20.8)，则 a , b, c已知奇函数 f (x)在 R 上是增函数.若 a = - f ç log例1æ 1 öè 2 5 ø的大小关系为（）.A. a < b < cB. b < a &

19、lt; cC. c < b < aD. c < a < b【答案】C【解析】因为 f ( x ) 在 R 上是奇函数，所以 a = - f ç log÷=÷ = f (log2 5) ，又因为 f ( x )

20、0;在f ç - logæ1 öè2 5 øæ 1 öè 2 5 ø(   )R 上是增函数，且 0 < 20.8 < 2 = log2 4 < log2 4.1< log2 5 ，所以 

21、;f  20.8  < f (log2 4.1) < - f ç log2   ÷ ，即【答案】 ç -æ1, +¥ ÷æ1 öè5 øc < b < a .故选 C【思维点拨】本题主要考查函数的

22、奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。首先根据奇函数的性质和对数运算法则， a = f (log2 5) ，再比较 log 2 5,log 2 4.1,20.8 比较大小.ì x + 1, x  01例 2设函数 f ( x) = í，则满足 f ( x) + f ( x

23、 - ) > 1 的 x 的取值范围是_î2x, x > 02öè4ø1【解析】1当 x >时，不等式为 2x + 2x- 2 > 1 恒成立；2当 0 < x 1           &#

24、160;  1，不等式 2x + x - + 1 > 1 恒成立；2              2当 x  0 时，不等式为 x + 1 + x - + 1 > 1 ，解得 x&

25、#160;> -，即 - < x  0 ；1112441综上， x 的取值范围为 (- , +¥) 4【思维点拨】本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。考查了分类思想。解题需注意；(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f ( f (a )的形式时，应从内到外依次求值.(2)当 给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值

26、在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.题型四对数函数例 1已知函数 y = log ( x + c) （ a, c 为常数，其中 a > 0, a ¹ 1 ）的图象如图，则下列结论成立的是aìïlog  x,例 2若函数 f ( x)

27、 = ílog  (- x), x < 0 ,若 f (a) > f (-a) ,则实数 a 的取值范围是（ ）ïîA a > 0, c > 1B a > 1,0 < c < 1C 0 <&#

28、160;a < 1,c > 1D 0 < a < 1,0 < c < 1【答案】 D【解析】由图象可知 0 < a < 1 ，当 x = 0 时， log ( x + c) = log c > 0 

29、;，得 0 < c < 1 aax > 0212A (-1,0) U (0,1)B (-¥, -1) U (1,+¥)C (-1,0) U (1,+¥)D (-¥, -1) U (0,1)【答案】 C【解析】由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论.4ïï&#

30、239;ïìa > 0ìa<0f (a) > f (-a) Þ ílog a > log a 或 ílog (-a) > log (-a)2112221  或 í 1ïî  2ïî aìa 

31、> 0ìa < 0ïïÞía >< aÞ a > 1或 - 1 < a < 0 例 3若函数 y = a x (a > 0, 且 a ¹ 1) 的值域为 y | y

32、0;³ 1，则函数 y = log x 的图象大致是()a(  )【答案】 B【解析】由于 y = a x 的值域为 y | y ³ 1， a > 1 ，则 y = log x 在 (0,+¥)上是增函数，a又 函数 y = log&

33、#160;x 的图象关于 y 轴对称.因此 y = log x 的图象应大致为选项 B .aa【思维点拨】指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围.题型五函数的应用例1某食品的保鲜时间 y (单位：小时)与储藏温度 x (单位：)满足函数关系 y = e kx+b ( e

34、60;» 2.718 为自然对数的底数， k ， b 为常数).若该食品在 0 的保鲜时间是 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是_小时.【答案】24【解析】由已知条件，得192 = eb ，又 48 = e22k +b = eb e11 2 ， e11k

35、 =12，设该食品在 33 的保鲜时间是 t 小时，1.函数 f (x )=  m 2 - m - 1 x m 是幂函数，且在 x Î (0,+¥)上为增函数，则实数 m 的值是(  )则 t = e33k +b = 24 .【思维点拨】重点考察对指数函数应用

36、题的理解和计算.【巩固训练】幂函数的图像与性质()A1B2                 C3                  D1 或 2【解析】由题知 í    

37、      ，解得 m = 2 .故选 B .【答案】 Bìm2 - m - 1 = 1îm > 01 12.已知 a Î-2, -1,-, ,1,2,3 ，若幂函数 f ( x) = xa 为奇函数，且在 (0, 

38、;+¥) 上递减，则a =_2 2【答案】 -1【解析】由题意 f ( x) 为奇函数，所以a 只能取 -1,1,3 ，又 f ( x) 在 (0, +¥) 上递减，所以a = -1 3.已知幂函数 f (x )= x a 的部分对应值如下表：x112f (x)122()( )则不等式&#

39、160;f x £ 2 的解集是.【答案】 - 4, 4 1211【解析】由 f ( ) =Þ a =，故 f x £ 2 Þ x 2 Þ x £ 4 ，故其解集为 - 4, 4 .222题型二二次函数的图像和性质（最值）1.已知 

40、;a, b, c Î R ，函数 f (x ) = ax2 + bx + c .若 f (0) = f (4) > f (1) ，则（）.A. a > 0 ， 4a + b = 0B. a < 0 ，&

41、#160;4a + b = 0C. a > 0 ， 2a + b = 0D. a < 0 ， 2a + b = 0【答案】 A【解析】因为 f (0) = f (4)> f (1)，所以函数图象应开口向上，即 a > 0 ，且其对称轴为

42、 x = 2 ，即 -所以 4a + b = 0 ，故选 A .b2a= 2 ，(x )= ìí2 x - 12.已知函数 f6x > 0î- x 2 - 2 x x £ 0，若函数 g (x)= f (

43、x)- m 有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是_【答案】 0, 1)【解析】若函数 g (x)= f (x)- m 有 3 个零点，即 y = f (x)与 y = m 有 3 个不同的交点，作出 f (x)的图象和y = m 的图象，可得出 m 的取值范围是&#

44、160;0, 1)3.已知对任意的 a Î - 1, 1，函数 f (x )= x 2 + (a - 4)x + 4 - 2a 的值总大于 0 ，则 x 的取值范围是()A(1,3)B(，1)(3，)       C(1,2)    

45、60;   D(，2)(3，)a Î - 1, 1时， g (a )> 0 恒成立，则须 í    ，解得 x < 1或 x > 3 .故选 B .g (1) > 0【答案】 B【解析】 x 2 + (a 

46、- 4)x + 4 - 2a = (x - 2)a + x 2 - 4 x + 4 .令 g (a )= (x - 2)a + x 2 - 4 x + 4 ，则由题知，当ìg (-1) > 0î题型三指数函数1.&

47、#160;已知 0 < a < 1 ，则函数 y = a x 和 y = (a - 1)x 2 在同一坐标系中的图象只可能是图中的（）yyy1y1o1x          o1xoxoxABCDA.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意，由 0 < a <

48、 1 ，函数 y = a x 在 R 上为减函数，可排除选项 A、C，又 -1 < a -1 < 0 ，则函数 y = (a - 1)x 2 的图象是开口向下.故选 D.2.已知函数 y = a 2 + b （ a > 0 

49、;且 a ¹ 1 ）的图象如下图所示，则 a - b 的值是_【答案】 ç  0,   ÷时，需要 0 < 2a < 1 ，即 0 < a <  1，故答案为 ç  0,   ÷ .【答案】6【解

50、析】由函数 y = a x + b （ a > 0 且 a ¹ 1 ）过点 (2,0),(0, -3) 代入表达式得： a = 2, b = -4 ，所以 a - b = 63. y = 2a 与函数 y = a&

51、#160;x - 1 (a > 0且a ¹ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是_.æ1 öè2 ø【解析】 y = a x - 1 (a > 0且a ¹ 1)的图象由 y = a x 的图象向下平移一个单位，再将 x 

52、轴下方的图象翻折到x 轴上方得到，分 a > 1 和 0 < a < 1 两种情况分别作图，如图所示，当 a > 1 时不合题意；0 < a < 1æ1 ö2è2 ø题型四对数函数1.若点 (a, b) 在 y = lg x 图像上，

53、 a ¹ 1,则下列点也在此图像上的是（）110A ( , b)B (10a,1 - b)C (aa【答案】 D8, b + 1)        D (a 2, 2b)【解析】当 x = a 2时， y = lg a 2 = 2lg a = 2b ，所以点 (a 2 , 2b) 在函数 y = lg x 图象上2.如果 log x < log y < 0, 那么（）1122A y < x < 1B x < y <