《中考课件初中数学总复习资料》专题09 动态几何定值问题（原卷版）

1、玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品专题九 动态几何定值问题【考题研究】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 “以静制动”，即把动态问题，变为静态

2、问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。【解题攻略】动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成 ：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.【解题类型及其思路】在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题

3、中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。【典例指引】类型一 【线段及线段的和差为定值】 【典例指引1】已知：abc是等腰直角三角形，bac90°，将abc绕点c顺时针方向旋转得到abc，记旋转角为，当90°180°时，作adac，垂足为d，ad与bc交于点e（1）如图1，当cad15°时，作aec的平分线ef交bc于点f写出旋转角的度数；求证：ea+ecef；（2）如图2，在（1）的条件下，设p是直线ad上的一个动点，连接pa，pf，若ab，求线段pa+pf的最小值（结果保留根号）【举

4、一反三】如图（1），已知,点为射线上一点，且，、为射线和上的两个动点（），过点作，垂足为点，且，联结（1）若时，求的值； （2）设，求与之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如图(2)，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点，点、在射线和上运动时，探索线段的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示的长类型二 【线段的积或商为定值】 【典例指引2】如图，矩形中，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由；（2）类比探究：如图，在旋转过程中，的

5、值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示；在旋转过程中，若时，求对应的的面积；在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值.【举一反三】如图1,已知直线ya与抛物线交于a、b两点(a在b的左侧),交y轴于点c(1)若ab4,求a的值(2)若抛物线上存在点d(不与a、b重合),使,求a的取值范围(3)如图2,直线ykx2与抛物线交于点e、f,点p是抛物线上的动点,延长pe、pf分别交直线y2于m、n两点,mn交y轴于q点,求qm·qn的值。图1 图2类型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如图，在abc中，abc60

6、°，bac60°，以ab为边作等边abd（点c、d在边ab的同侧），连接cd（1）若abc90°，bac30°，求bdc的度数；（2）当bac2bdc时，请判断abc的形状并说明理由；（3）当bcd等于多少度时，bac2bdc恒成立 【举一反三】如图1，抛物线的顶点为点，与轴的负半轴交于点，直线交抛物线w于另一点，点的坐标为 （1）求直线的解析式；（2）过点作轴，交轴于点，若平分，求抛物线w的解析式；（3）若，将抛物线w向下平移个单位得到抛物线，如图2，记抛物线的顶点为，与轴负半轴的交点为，与射线的交点为问：在平移的过程中，是否恒为定值？若是，请求出的值

7、；若不是，请说明理由类型四 【三角形的周长为定值】 【典例指引4】如图，现有一张边长为的正方形abcd，点p 为正方形 ad 边上的一点（不与点 a、点d 重合），将正方形纸片折叠，使点 b 落在 p 处，点 c 落在 g 处，pg 交dc 于h，折痕为 ef，连接 bp，bh.（1）求证：；（2）求证：；（3）当点p在边ad上移动时，pdh的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由；（4）设ap为x，四边形efgp的面积为s，求出s与x的函数关系式.【举一反三】如图，在等腰直角三角形abc中，c90°，ab8，点o是ab的中点.将一个边长足够大的rtdef的直角顶点e放

8、在点o处，并将其绕点o旋转，始终保持de与ac边交于点g，ef与bc边交于点h.(1)当点g在ac边什么位置时，四边形cgoh是正方形.(2)等腰直角三角abc的边被rtdef覆盖部分的两条线段cg与ch的长度之和是否会发生变化，如不发生变化，请求出cg与ch之和的值：如发生变化，请说明理由.类型五 【三角形的面积及和差为定值】 【典例指引5】综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片abcd和efgh叠放在一起，这时对角线ac和eg互相重合固定矩形abcd，将矩形efgh绕ac的中点o逆时针方

9、向旋转，直到点e与点b重合时停止，在此过程中开展探究活动操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边ab与ef交于点m，边cd与gh交于点n，如图2、图3所示，则线段am与cn始终存在的数量关系是 （2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形qmrn时，如图3所示，四边形qmrn为菱形，请你证明这个结论（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形qmrn中mqn与旋转角aoe存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片efgh的旋转，四边形qmrn的面积会发生变化若矩形纸片的长为，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角a

10、oe为多少度时，四边形qmrn的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）【举一反三】如图1，矩形abcd中，e是ad的中点，以点e直角顶点的直角三角形efg的两边ef，eg分别过点b，c，f30°.（1）求证：bece（2）将efg绕点e按顺时针方向旋转，当旋转到ef与ad重合时停止转动.若ef，eg分别与ab，bc相交于点m，n.（如图2）求证：bemcen；若ab2，求bmn面积的最大值；当旋转停止时，点b恰好在fg上（如图3），求sinebg的值.【新题训练】1已知在平行四边形abcd中，ab=6，bc=10，bad=120°，e为线段bc上的一个动点（不与b，c重

11、合），过e作直线ab的垂线，垂足为f，fe与dc的延长线相交于点g，（1）如图1，当aebc时，求线段be、cg的长度（2）如图2，点e在线段bc上运动时，连接de，df，bef与ceg的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由（3）如图2，设be=x，def的面积为y，试求出y关于x的函数关系式2如图，边长为8的正方形oabc的两边在坐标轴上，以点c为顶点的抛物线经过点a，点p是抛物线上点a、c间的一个动点（含端点），过点p作pfbc于点f，点d、e的坐标分别为（0，6），（4，0），连接pd，pe，de（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点p的位置是发现：当点p与点a或点

12、c重合时，pd与pf的差为定值，进而猜想：对于任意一点p，pd与pf的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出pde周长的最大值和最小值3如图，四边形abcd中，adbc，abc=90°(1)直接填空：bad=_°.(2)点p在cd上，连结ap，am平分dap，an平分pab，am、an分别与射线bp交于点m、n设dam=°求ban的度数(用含的代数式表示)若anbm，试探究amb的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用的代数式表示它4将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点a旋转，连接bc，de探究sabc与sadc的

13、比是否为定值（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，sabc：sade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，sabc：sade是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由（图）（3）两块三角板中，bae+cad180°，aba，aeb，acm，adn（a，b，m，n为常数），sabc：sade是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由（图）5（解决问题）如图1，在中，于点点是边上任意一点，过点作，垂足分别为点，点（1）若

14、，则的面积是_，_（2）猜想线段，的数量关系，并说明理由（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，垂足分别为点，点，点，求的值（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，垂足分别为点，点若，直接写出的值6如图，已知锐角abc中，ab、ac边的中垂线交于点o（1）若a=（0°90°），求boc；（2）试判断abo+acb是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由7o的直径ab15cm，有一条定长为9cm的动弦，cd在弧ab上滑动（点c和a、点d与b不重合），且cecd交ab于e，dfcd交ab于f（1）求

15、证：aebf（2）在动弦cd滑动过程中，四边形cdfe的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.8如图，动点在以为圆心，为直径的半圆弧上运动（点不与点及的中点重合），连接.过点作于点，以为边在半圆同侧作正方形，过点作的切线交射线于点，连接、.（1）探究：如左图，当动点在上运动时；判断是否成立？请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；设，是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；（2）拓展：如右图，当动点在上运动时；分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由）9如图，已知的半径为，为直

16、径，为弦与交于点，将 沿着翻折后，点与圆心重合，延长至，使，链接 （）求的长（）求证：是的切线（）点为的中点，在延长线上有一动点，连接交于点，交于点（与、不重合）则为一定值请说明理由，并求出该定值10在平面直角坐标系中，点a和点b分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且oa=6，ob=8，点d是ab的中点（1）直接写出点d的坐标及ab的长；（2）若直角ndm绕点d旋转，射线dp分别交x轴、y轴于点p、n，射线dm交x轴于点m，连接mn当点p和点n分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若pdmmon，求点n的坐标；在直角ndm绕点d旋转的过程中，dmn的大小是否会发生变化？请说明理由11如图，aob

17、中，a（8，0），b（0，），ac平分oab，交y轴于点c，点p是x轴上一点，p经过点a、c，与x轴于点d，过点c作ceab，垂足为e，ec的延长线交x轴于点f，（1）p的半径为；（2）求证：ef为p的切线；（3）若点h是上一动点，连接oh、fh，当点h在上运动时，试探究是否为定值？若为定值，求其值；若不是定值，请说明理由.12如图，在菱形abcd中，abc60°，ab2过点a作对角线bd的平行线与边cd的延长线相交于点ep为边bd上的一个动点（不与端点b，d重合），连接pa，pe，ac（1）求证：四边形abde是平行四边形；（2）求四边形abde的周长和面积；（3）记abp的周长和

18、面积分别为c1和s1，pde的周长和面积分别为c2和s2，在点p的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：c1+c2，s1+s2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围13如图，在中，圆心关于弦的对称点恰好在上，连接、.（1）求证：四边形是菱形；（2）如图，若点是优弧（不含端点、）上任意一点，连接交于点，的半径为.试探究线段与的积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；求的取值范围. 14如图，抛物线的顶点坐标为c（0，8），并且经过a（8，0），点p是抛物线上点a，c间的一个动点（含端点），过点p作直线y=8的垂线，垂足为点f，点d，e的坐标分别为（0，6），（4，0），连接pd，pe，de（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点p，pd与pf的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：当pde的周长最小时的点p坐标；使pde的面积为整数的点p的个数15如图1，点、，其中、满足，将点、分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至、，连接、.（1）直接写出点的坐标：_；（2）连接交于一点，求的值：（3）如图2，点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平