试论椭圆问题的三个模型、两个意识、一个公式

1、    试论椭圆问题的三个模型、两个意识、一个公式    郎砺志摘要：本文的主要工作是通过大量习题，提炼出椭圆问题的三种解题模型，两个解题意识，推导出一个常用的解题公式，并引导读者可以将类似的结果推广到双曲线和圆中，从某种程度上形成系统化的圆锥曲线知识，启发读者背诵进而在解题中灵活使用，从而提高读者解决圆锥曲线客观试题的能力。关键词：焦点三角形；顶点三角形；离心率；中点弦公式：g633.6 ：b ：1672-1578（2017）07-0235-02圆锥曲线和函数的导数是广大高中同学公认的难点，尤其是圆锥曲线问题，本文的主要内容针对圆锥曲线的离心率问题，从

2、大量习题中找寻些许共性，试图帮助同学们找到解决离心率问题的钥匙。模型1.焦点三角形设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），f1，f2是其左右焦点，f1（-c，0），f2（c，0），c2=a2+b2，p为此椭圆上任意一点，若p，f1，f2不共线，则称pf1f2为此椭圆的一个焦点三角形，它拥有面的基本性质：（1）pf1f2的周长为2a+2c；（2）spf1f2=c|yp|=12pf1gpf2sin=b2tan2；（3）离心率e=sinsin+sin；（4）cos1-2e2下面是关于（3）（4）的简证：（3）的证明：e=2c2a=f1f2pf1+pf2=sinsin+sin（正

3、弦定理）（4）的证明：cos=pf12+pf22-f1f222pf1pf2=（pf1+pf2）2-2pf1pf2-f1f222pf1pf2=4a2-4c22pf1pf2-14a2-4c22（pf1+pf22）2-1=4a2-4c22a2-1=1-2e2（pf1=pf2=a時取等号）模型2.顶点三角形设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）如图所示，称pa1a2为此椭圆的一个顶点三角形则：kpa1gkpa2=-b2a2证明：设p（x0，y0）是此椭圆上任意一点（异于a1a2）， a1（-a，0），a2（a，0）kpa1gkpa2=y0x0-agy0x0+a=y0x02-a2而

4、x02a2+y02b2=1，y02=b2（1-x02a2）=b2（a2-x02）a2代入上式可得：kpa1gkpa2=-b2a2此结论可以推广如下：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0）如图所示，若ab连线经过原点，p为椭圆上异于ab的任意一点，总有kpagkpb=-b2a2.下面证明一下上面这个结论，引理（中点弦公式）设m（x0，y0）为椭圆x2a2+y2b2=1弦ap（ap不平行y轴）的中点，则有：kap·kom=-b2a2.证明：设a（x1，y1），p（x2，y2），则有kap=y1-y2x1-x2，x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式

5、相减得：x12-x22a2+y12-y22b2=0整理得：y12-y22x12-x22=-b2a2，即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，因为m（x0，y0）是弦ap的中点，所以kom=y0x0=2x02y0=y1+y2x1+x2，所以kap·kom=-b2a2由于b与a关于原点对称，利用中位线定理，可以获得上面的结论。模型3.平行四边形模型如图，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），f1，f2是其左右焦点，直线ab过原点，则四边形af1bf2是平行四边形（利用椭圆的中心对称性很容易证明）下面结合例题来谈谈解椭圆问题的两大意识

6、。【例1】椭圆c：x29+y24=1，点m与c的焦点不重合，若m关于c的焦点的对称点分别是a，b，线段mn的中点在c上，则|an|+|bn|=_。解析：如图，本题题干咋一看十分棘手，因为题中的许多点都不一定在椭圆上，但仔细分析，出现了许多中点，所以我们使用一个基本原则：中点中位线原则，事实上，|an|+|bn|=2（|if1|+|if2|）=4a=12.【例2】已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点为f，c与过原点的直线相交于a，b两点，连结af，bf，若|ab|=10，|bf|=8，cosabf=45，则c的离心率为_。解析：本题中的题干叙述与其他题的显著不同是

7、没有涉及右焦点，所以解题时需要明确另一个解题意识：双焦点同现原则，事实上，设f2为椭圆的右焦点，结合余弦定理可知|bf|=6，因此四边形afbf2是矩形，由矩形的性质，2c=|f1f2|=|ab|=10，2a=|af|+|af2|=|af|+|bf|=14，e=2c2a=57.从大量习题中提炼出来的三模型，二意识，一公式在实践的检验中颇有建树，未来还有两个提升能力的方向：一.在平时的训练中有意识地识别三种模型，贯彻解题意识和使用重要公式；二.将本文的主要内容推广到圆和双曲线上，同时继续探究焦点在 轴时的情况，如果能够独立完成上述两个问题，那么你的解题能力一定会有一个质的突破，所谓高中数学的难点就不再是难点了。 读与写·下旬刊2017年7期读与写·下旬刊的其它文章有关