华东师范大学数学分析历年真题

1、华东师范大学数学分析考研真题华东师范大学1997 年攻读硕士学位研究生入学试题一（12 分）设 f(x) 是区间 I 上的连续函数。证明：若 f(x) 为一一映射，则 f(x) 在区间 I 上严格单调。二（ 12 分）设1,x为有理数D(x)0，x为无理数证明：若 f(x), D(x)f(x)在点 x=0 处都可导，且 f(0)=0,则 f '(0)0三（ 16 分）考察函数 f(x)=xlnx的凸性，并由此证明不等式：a abba b(ab) 2 ( a 0, b 0)四（ 16分）设级数ann收敛，试就dn为正项级数和一般项级数两种n 1n 1情况分别证明annn 也收敛。n 1五

2、（ 20 分）设方程 F ( x , y )0 满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x) 。又设 F ( x , y ) 具有连续的二阶偏导数。（1）求 f ''(x)（2）若 F ( x0 , y0 )0, y0f ( x0 ) 为 f(x) 的一个极值，试证明：当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y0 ) 同号时， f ( x0 ) 为极大值；当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y0 ) 异号时， f ( x0 ) 为极小值。（3）对方程 x2xy y227 ，在隐函数形式下（不解出 y）求 y=f(x)的极值，并用

3、（ 2）的结论判别极大或极小。六（ 12 分）改变累次积分44 x 20Idx4x 8 ( y 4) dy2x的积分次序，并求其值。七（12 分）计算曲面积分 I( x 2cosy 2 cosz2 cos ) dss其 中 s为 锥 面 zx2y2上 介 于 0 zh 的 一 块 ，c o s, c o s 为,s c的下o侧s法向的方向余弦。华东师范大学1998 年攻读硕士学位研究生入学试题一简答题（ 20 分）（ 1）用定义验证： lim3 n 2232；n2 nn 12（ 2）cos x, x0' ( x) ；f ( x)2 ), x,求 fln(1 x0（ 3）计算x 3dx

4、.1 x 2二（12分）设f(x)有 连续的 二阶导 函数，且f ()2, f ( x )f'' ( x )sinxdx5,求 f(0).0三（ 20 分）（ 1）已知a n 为发散的一般项级数，试证明(11也是发散级数。) a nn 1n 1n（ 2）证明2 n sin1在 0,上处处收敛，而不一致收敛。n 13 nx四（ 12 分）设 D : x 2y 2z 2t 2 , F (t)f ( x 2y2z2 )dxdydz, 其D中 f 为连续函数， f(1)=1.证明 F'(1)4 .五（12 分）设 D为由两抛物线yx 21 与 yx 21 所围成的闭域。x 2y

5、 21, 使其面积为最大。试在 D 内求一椭圆，22ab六（12 分）设 u ( x , y ) 有连续二阶偏导数，F (u , t ) 有连续一阶偏导数，且满足 F (u x', u y' )0, ( F s' ) 2( F t ' ) 20, 证明：u xx'' u yy''( u xy'' ) 20.七（12 分）设 f ( x ) 为 (,) 的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若 f ( x ) 在 (,)上连续，则 f ( x )常数。华东师范大学1999 年攻读硕士学位研究生入学试题一设 a0,

6、 0x1a， x n 1x n (2x n ), nN，a证明：x n收敛，并求其极限。二 . 证明：若函数f 在区间 I 上处处连续，且为一一映射，则f 在 I 上为严格单调 .三 . 用条件极值的方法证明不等式：x12x22. x n2x1x 2. x n2( x k0, k1,2,., n )nn四 . 设f ( x ) 在 ( a ,) 上可导，且limf ' ( x )，证明f ( x ) 在x( a ,) 上不一致连续。五 . 设 f ( x ) 在a , b上二阶可导，且f ( x )0 ， f '' ( x )0 ，证明：f ( x )2ba , b .

7、f (t )dt , xbaa六 . 设f ( x , y )在 Da , bc , d上有二阶连续偏导数。（ 1）通过计算验证：f''xy( x , y ) dxdyf''yx( x , y )dxdyDD（ 2）利用（ 1）证明：f xy'' ( x , y )f yx'' ( x , y ), ( x , y )D .七.设对每个n ,f n(x )在a , b上有界，且当n时 ，f n (x )f (x ), xa , b证明：（ 1）f ( x )在a , b上有界；（ 2）limsup f n ( x )sup f (

8、 x ) , (sup lim f n ( x )na x ba x ba x b n2八设 SR , P0 ( x 0 , y 0 ) 为 S 的内点， P1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点，证明：华东师范大学2000 年攻读硕士学位研究生入学试题一（ 24 分）计算题：11（ 1） lim();x 0 ln( 1 x )x（ 2）cos xsin 3 x dx ;1cos 2 x（ 3）设 zz ( x , y ) 是由方程F ( xyz , x 2y 2z 2 ) 0 , 所确定的可微隐函数，试求 grad Z.1n二（ 14 分）证明：（1）1为递推数列；1n（ 2）1ln(1

9、1 )1，n=1,2, .n1nn三（12 分）设f在a , b中任意两点之间都具有介值性，而且f在a , b内可导， | f ' ( x ) |理在点 b 左连续） .K（正常数） ,x( a , b ).证明f在点a 右连续（同1n四（ 14 分）设 I n(1 x 2 ) dx . 证明 :02 nI n 1,n=2,3 ;（ 1） I n2 n1（ 2） I n2, n=1,2,3 .3n五（ 12 分）设 S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线z 0( f ( x) 0) 饶y f ( x), x a ,b x 轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为A 2

10、bf ( x ) 1 f '2 ( x ) dxa（提示：据空间解几知道 S 的方程为 y 2z 2f 2 ( x ) ）六（ 24 分）级数问题：sin x, x0, 求 f ( k ) (0) 。（1）设 f ( x)x1,x0n（2）设a n 收敛， limna n 0 证明 :nn1nnn ( a na n 1 )a nn1n 1（3）设 f n( x ) 为 a , b上的连续函数序列，且f n ( x )f ( x ), x a , b 证明：若 f ( x ) 在 a , b上无零点。则当 n 充分大时 f n ( x ) 在 a , b上也无零点，并有11f n ( x

11、 ), xa , bf ( x)华东师范大学2001 年攻读硕士学位研究生入学试题一（ 30 分）简单计算题.1）验证：当x时，2 xx0t 2edtx 2与e为等价无穷大量.2）求不定积分ln(1x ) dx 。x 23）求曲线积分 : I( y 2cosy ) dx x sin ydy ,OA其中有向曲线 OA如图所示 .4）设 f为可微函数， uf ( x 2y 2z 2 )和方程 3 x2 y 2z 36 xyz (*)u试对以下两种情形，分别求在点 P0 (1,1,1) 处的值：x（ 1）由方程 (*)确定了隐函数 : zz ( x , y );（ 2）由方程 (*)确定了隐函数 :

12、 yy ( x , z ).二 .（ 12x 2y 2z21与 锥 面分）求由椭球面b 2c 2a 2x 2y 2z 2所围0立体的)体积。a 2bc0 z. (22三 . （ 12 分）证明：若函数 f ( x ) 在有限区间 a , b 内可导，但无界，则其导函数 f ' ( x ) 在 a , b 内亦必有界 .a n 绝对收敛，则n四 . （12 分）证明：若a n ( a1 a 2 . a n ) 亦必绝n 1n 1对收敛 .五（ 17 分）设 f( x ) 在 0,1 上连续， f (1) 0.证明：1） x n 在 0,1上不一致收敛；2） f ( x ) x n 在 0

13、,1 上一致收敛。六（ 17 分）设函数f ( x ) 在闭区间a , b上无界 , 证明：1） x n a , b , 使； limnf ( x n )；） ca , b , 使得：0, f ( x ) 在( c, c)a , b上无界。2（若能用两种不同方法证得2），奖励 5 分）华东师范大学2002 年攻读硕士学位研究生入学试题一 . （ 12 分）计算：1. lim2 nsin(n 2 )2. ；n2 nn1002. lim(sinx1e x21).x 0x3. 设 F 为 R 3 上的可微函数，由方程 F ( xy , yz 2 , zx 3 ) 0 确定了 z 为 x 与 y 的函

14、数，求 z x , z y 在点 (1,1) 的值 .二 . （15 分）设函数f , g 均在a , b内有连续导数，且对于任何xa, b，有 F ( x )f ' ( x ) g ( x )g ' ( x ) f ( x )0 ，求证：1. f , g 不可能有相同的零点；2. f 的相邻点之间必有 g 的零点；3. 在 f ( x ) 的每个极值点 x0a , b，存在 x 0 的某邻域，使得 g ( x ) 在该邻域中是严格单调的 .三（15分）设初始值a1R给定，用递推公式 a n 12 a n3( n 1, 2.).14a n得到数列 an 。1. 求证数列 a n

15、 收敛；2. 求 a n 所有可能的极限值；3. 试将实数轴 R 分成若干个小区间， 使得当且仅当在同一区间取初始值， a n 都收敛于相同的极限值 .四 . （ 12 分）设 ac 0 ，求椭球体 x 2y 2z 21 的表面积 .a 2c 2五 . （ 18 分）设数列 a n 有界但不收敛，求证：1. 对于任何 x0,a n e nx收敛；n 12. 对于任何0,a n e nx 在 ,) 上一致收敛；n 13.a n e nx在 (0,) 上不一致收敛 .n 1六 . （ 12 分）设函数f ( x ) 在 0,1上连续，求证：lim1xf( t )dtf (0) 。022x0tx2.

16、16分）设函数f 在0, a上严格递增，且有连续导数，f (0)0.设七 （g 是 f 的反函数，求证：1. 对于任何 x0, a ，都有f ( x )xf (t ) dt( x g ( u ) du002.当0x a ,0yf ( a ) 时，下列不等式成立xyyxg ( u ) duf ( t ) dt , 其中当且仅当 yf ( x ) 时，等式成立 .00华东师范大学2003 年攻读硕士学位研究生入学试题一（ 30 分）简答题（只需写出正确答案） 。1.sin2 (1x )；lim1) 2 ( x2)x 1 ( x2.yarc12 ，则 y'x13.ln 2 xdx4.zy x

17、sinx，则 dzy5.D( x , y ) | x 2y 216.L( x , y ) | x 2y 21xdyydxL，则e x2y 2 dxdyD方向为顺时针方向，则二 . （ 20 分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）1. 若 lim x n0 则 lim n x n0 .nn2. 若 f ( x ) 在 (0, ) 上可导，且导 函数 f ' ( x ) 有界， 则 f ( x ) 在(0,) 上一致连续。3. 若 f( x ) 在 a , b上可积，xa , b 上可导，则 F ' ( x 0 )f ( x 0 ).F ( x )f ( t )dt在 x 0

18、a4. 若( a 2 n 1a 2 n) 收敛，且 lim a n0 则a n 收敛。n 1nn 1xlimsin tsin t sin xf ( x ) ，求函数三. （17分）求极限xsin x, 记此极限为tf ( x ) 的间断点，并判别间断点类型.四.（17分 ） 设 f'( x ) 在 0, a上连续，且f ( 0 )0证 明aMa2|f (xdx)|, 其中 Mmax| f ' ( x ) | 。020xa五 . （ 17 分） 若 函数 f ( x , y )在 R 2 上对 x 连续， 且存在 L0 ，对x , y ' , y ' 'R

19、 ， | f ( x , y ' )f ( x , y '' ) | L | y 'y '' | .求证： f ( x , y ) 在 R 2上连续 .六 . （ 17 分）求下列积分 : ISf ( x , y , z )dS , ( a 0)其中 S ( x , y , z ) | x 2y 2z 2a 2 ,f ( x , y , z ) x 2y 2 , zx 2y 20, zx2y2.七（ 17 分）设 0r1, xR（ 1）求证：1r21 2r n cos nx ；12 rcsxr 2n 1（ 2）求证：ln( 12 r cos xr

20、 2 )dx00八（ 15 分） a0, b 0. a1 a , a 2 b. a n 2211, n 1, 2,.22a n 1a n求证： a n 收敛。华东师范大学2004 年攻读硕士学位研究生入学试题一 . （ 30 分）计算题21（ 1）求 limxx2；0cos xx2（ 2）若 ye ln 2 xx sin(arctanx ), 求 y ' .（ 3）求xex(12 dx .x )（ 4）求幂级数nx n 的和函数f ( x ) .n1（ 5） L为过O(0 ,0和 A (0, a )的 曲 线 yas i n x ( a，0求 :( xy 3 )dx(2y ) dy .

21、L（6 ）求 曲面积分(2 x z ) dydzzdxdy , 其中Szx 2y 2 ,(0z1), 取上侧 .二（ 30 分）判别题（正确的证明，错误的举反例）1 . 若 x n , n1, 2,.,是互不相等的非无穷大数列，则 xn 至少存在一个聚点 x 0(,).2.若 f ( x ) 在 ( a , b ) 上连续有界，则f ( x ) 在 ( a , b ) 上一致连续 .3. 若 f ( x ), g ( x ) 在 0,1上可积，则 :1nii 1limf () g ()nni 1nn1f ( x ) g ( x ) dx04 . 若a n 收敛，则an2 收敛.n 1n 15.

22、 若在 R 2 上定义的函数f ( x , y ) 存在偏导数f x ( x , y ), f y (x , y ) ，且f x ( x , y ), f y (x , y ) 在 (0, 0) 上连续，则f ( x , y ) 在 (0, 0) 上可微 .6 . f ( x , y ) 在 R2 上连续，D r ( x0 , y 0 )( x, y ) | ( x x 0 ) 2( y y 0 ) 2r 2 若( x 0 , y 0 ), r0,f ( x , y ) dxdy0,D r则 f ( x , y )0,(x , y )R 2 .三 . （ 15 分）函数 f ( x ) 在 (

23、,) 上连续且 lim f ( x )A ，求证：xf ( x ) 在 (,) 上有最大值或最小值 .四（ 15 分）求证不等式：2 x1x 2 , x0,1 .五（ 15 分）设 f n( x ), n1,2.在 a , b上连续且f n ( x ) 在a , b 上一致收敛于 f ( x ), 若 x a , b ,f ( x )0 ,求证：N ,0,使 x a , b , nN , f n ( x ).六（ 15 分）设 a n 满足：（ 1） 0a k100 a n , nk1, k2.;（ 2）级数a n收敛。求证： lim na n 0 .n 1n七（ 15 分）若函数 f ( x

24、 ) 在 1,) 上一致连续， 求证： f ( x ) 在 1,) 上有界 .x八（ 15 分）设 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在 R 3 有连续偏导数，而且对以任意点为( x 0 , y 0 , z0 )中心，以任意正数r为半径的上半球面S r : ( xx0 ) 2( yy 0 ) 2( z z0 ) 2r 2 , z z0 ,恒有 :P ( x , y , z ) dydzQ ( x , y , z ) dzdxR( x, y, z)dxdy 0S r求证：( x, y , z ), R ( x , y , z)0,

25、 P ( x, y, z)Q(x, y, z) 0xy华东师范大学2005 年攻读硕士学位研究生入学试题一（ 24 分）判断下列命题的真伪（正确就证明，错误举反例）1. lima nA 的一个充要条件是：存在正整数N，对于任意正数，当nnN 时均有 | a nA |.2.设 f ( x ) 在 a ,) 上连续，f ( x ) 在 a ,) 上一致连续，那么(f ( x ) 2在上一致连续 .3. 设 a n0,lima n0 那么正项级数a n 收敛 .1nn 1n4. f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 都 存 在 ， 则 函

26、 数f ( x , y )在点 ( x 0 , y 0 ) 连续 .二（ 64 分）计算下列各题。1. 求极限 lim11022xxsin x2. 求极限 limnsin 2 n2cos 2 n .n3. 求曲线 x yx 2 y 在 (1,1) 处的切线方程。4. 设 f ( x ) 在 R上连续， g ( t )e tt2 f ( x )dx ，求 g '( t ) .5. 求x 2 y 2 1 | 3 x4 y | dxdy .6. 设 f (1,1)1, f x' (1,1 )a , f y' (1,1)b , g ( x )f ( x , f ( x , f

27、( x , x ),求 g ' (1) .7. 设 S 是有向曲面 x2y 2z 21 ，外侧。求第二型曲面积分zdxdy .a2b2c2S8. 求椭球面 x2y 2z 21, x0, y0, z 0 的切平面与三个坐标平a2b 2c 2面所围成的几何体的最小体积.三（ 62 分， 1-4 / （ 12 分）， 5（ 14 分）证明以下各题 :1. 设 f ( x ) 在有限区间 ( a , b ) 上一致连续。求证： f ( x ) 在区间 ( a , b ) 上有界 .1, a 2 nn 12. 已知 a 2 n 1nn1dx 。求证：( 1) n a n 条件收敛 .xn 13.

28、 设 f ( x ) 在区 间 a ,b 连续 ， f ( x )0. 求证：函数列 nf ( x) 在 a , b 上一致连续于 1.4. 设 f ( x , y ) 在 a , b c , d 上连续，求证： g ( y ) max f ( x , y )x a ,b 在 c , d 上连续 .5. 设 f ( x ) 为在区间 a ,) 上的有界连续函数，并且对于任意实数c ，方程 f ( x )c 至多只有有限个解。求证： limf ( x ) 存在 .x华东师范大学2006 年攻读硕士学位研究生入学试题一（ 30）判别题（正确证明，错误举反例或说理由）1. 设数列 an 满足条件：0

29、,N , 使nN ,| a na N |, ，则 a n 收敛。2. 设 f ( x ) 在 ( a , b ) 上可导。若f ' ( x ) 在 ( a , b ) 上有界，则f ( x ) 在( a , b ) 上有界 .3. 设正数列 a n 满足条件 lim a n0 则( 1) n a n 收敛。nn 14. 设 f ( x ) 在 a , b 上可积，且b a , b ，f ( x ) dx0 ，则存在 c , d a使得 : x c , d , f ( x )0.5. 设 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内连续，且在( x0 , y 0 )

30、处 有 偏 导 数f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x0 , y0 ),则f ( x , y )在( x 0 , y 0 ) 处可微 .二 . 计算题（ 30 分）6. 求 limna nb n,其中0ab.nx 1cos t7. 求 f ( x )dt 的麦克劳林级数展开式。0t18. 求x 2 ln 2 xdx .0设 zf ( u ),方 程(x(定)义了隐函数9.uu)Ptyd tu u ( x , y ) ，其中 f ( u ),( u ) 可微， P ( t ),' ( u ) 连续，且' ( u ) 1求 P ( y )zP ( x )z .xy1

31、0. 求( y 2z 2 )ds , 其中( x, y , z ) : x 2y 2z 21三 . 证明题（ 90 分）11.设0, f ( x ) 在 (, )上具有连续的二阶导函数f ''f' (0),x0( x ), f (0)0. 若 g ( x)f ( x ), x, 求证： g ( x ) 在 (, )上有0x连续的导函数 .12. 设 f n ( x ) 是 0,1上连续函数，且在 0,1 上一致收敛于f ( x ) , 求证：111f nlim0n( x ) dxf ( x )dx .n013. 设 f ( x ) 在 0,) 上一致连续，且0 ，lim

32、 f ( n )0. 求证：nlim f ( x ) 0 .x14. 设 f ( x ) 在 0,) 上连续有界，求证：lim nndx sup | f ( x ) |: x 0,| f ( x ) |nn015. 设 f ( x , y , z ) 是定义在开区域 D 上的有连续的偏导数的三元函数，且(x, y, z) D， f x2 ( x, y, z) f y2 ( x, y , z)f z2 ( x, y , z) 0, S 是 由f ( x , y , z )定0义的封闭的光滑曲面。 若 P, QS, 且 P 与 Q之间的距离是S 中任意两点之间距离的最大值 , 求证：过 P 的 S 的切平面与过 Q的 S 的切平面互相平行，且垂直于过 P 与 Q的连线 .华东师范大学2007 年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目代码及名称 ：数学分析招生专业：考生注意：无论以下试题中是否有答题位置，均应将答案做在考场另发的答题纸上（写明