一元二次方程专题复习讲义(知识点_考点_题型总结)haouseok

1、一元二次方程专题复习一、知识结构：解与解法一元二次方程根的判别韦达定理二、考点精析考点一、概念兀二次方程。定义：|只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2,这样的整式方程就是 * * (2) 一般表达式：ax2 bx c 0(a 0)难点：轲何理解“未知数的最高次数是 2” ：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题：例1、下列方程中是关于 x的一元二次方程的是()一 .2 一11A 3x12x1B 22 0x x_22-2.C ax bx c 0D x 2x x 1变式：当 k时，关于x的方程kx2 2

2、x x2 3是一元二次方程。例2、方程 m 2 x|m| 3mx 1 0是关于x的一元二次方程，则 m的值为 针对练习： 1、方程8x2 7的一次项系数是 ,常数项是 。m 1 2、右万程 m 2 x 0是关于x的一元一次万程，求m的值；写出关于 x的一元一次方程。 3、若方程 m 1 x2Jm?x 1是关于x的一元二次方程，则 m的取值范围是4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=14例1、已知2y2 y 3的值为2,则4y2 2y 1的值为。22例2、关于x的一兀一次方程 a 2 x x a 4 0

3、的一个根为0,则a的值为_则此方程必有一根例3、已知关于 x的一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的系数满足a c b ,为。22例4、已知a,b是万程x 4x m 。的两个根，b,c是万程y 8y 5m 0的两个根,则m的值为。针对练习： 1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2,则k为,另一根是 2x 1 2、已知关于x的万程x2 kx 2 0的一个解与方程 3的解相同。x 1求k的值；方程的另一个解。 3、已知m是方程x2 x 1 0的一个根，则代数式 m2 m4、已知a是x2 3x 1 0的根，贝U 2a2 6a 5、方程a b x2b c x c a 0的一个根为（A 1B

4、1C b cD a6、若 2x 5y 3 0,则 4x?32y 。考点三、解法一方法：一事）直接开方法;因式分解法；配方法；公式法关键点：|降次类型一、直接开方法： |x2 mm 0, x 而22_2对于x a m, ax m bx n等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：1 2x2 8 0;22 25 16x2=0;3 1 x 2 9 0;例2、若9 x 1 216 x 2 2,则x的值为针对练习：下列方程无解的是（）222A. x 3 2x 1 B. x 202C.2x 3 1 x D. x 9 0类型二、因式分解法x x1 x x20 xx1,或 xx222ax a方程特点：左边

5、可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”,方程形式：如 ax m2 bx n 2, x ax b典型例题:例1、2x x 35x3的根为（5cAx B X 322 一 一例 2、右 4x y 3 4x y 4变式 1 ： a2 b2 2 a2 b2 6变式2：若xy2xy 3变式3：若x2 xy5 c2Cx1, x?3 D x250 ,贝U 4x+y的值为 。0,则 a2 b2 。,贝U x+y的值为。2y 14 , y xy x 28,则 x+y 的值为例3、方程x2x 6 0的解为（）A.x13, x22 B.x13, x22 C.x13, x23 D.x12, x2例4、解方程:x2 2

6、 .3 1 x 2.3 4 0例 5、已知 2x2 3xy 2y20，则-一y的值为x y变式：已知 2x2 3xy 2y20,且 x 0, yx y 3i0,则-的值为x y针对练习： 1、下列说法中:方程x2 px q 0的二根为x1，x2,则x2px q (x x)(x x2) x2 6x 8 (x 2)(x 4). a2 5ab 6b2 (a 2)(a 3) x2y2 (x y)(、x y)(. x , y)方程(3x 1)2 7 0可变形为(3x 1 、,7)(3x 1 71) 0正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 2、以1 。7与1 <7为根的一元二次方程是()D.4个

7、2222A. x 2x 6 0 B. x 2x 6 0 C. y 2y 6 0 D. y 2y 6 03、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、若实数x、y满足x y 3 x y 2 0,则x+y的值为（A、-1 或-2 B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2、1215、方程：x 2的解是。 x 6、已知 J6x2 xy V6y2 0,且 x 0, y 0,求 2x_ 逆丫 的值。3x y 7、方程1999x 2 1998 2000x 1 0的较大根为r,方程2007x2 2008x 1 0的较小

8、根为s,则s-r的值为类型三、配方法ax2 bx.2, 2b b 4acx -2a4a2在解方程中，多不用配方法; 煤型例题：但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。2, 一 x 4x 1 05例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于0。例2、 已知x、y为实数，求代数式 x2 y2 2x 4y 7的最小值。例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y为实数，求xy的值。例4、分解因式：4x2 12x 3针对练习: 1、试用配方法说明10x2 7x 4的值恒小于0。， 一，211. _1 2、已知 x2x 4 0,则 x xxx,最小值为3、若t 2 3 3x2 12x 9

9、 ,则t的最大值为4、如果 a b vc1 1 4 JO2 2 Vb 1 4,那么 a 2b 3c 的值为 类型四、公式法一条件：I a 0,且b2 4ac 0公式:b b2 4ac2x , a 0,且 b 4ac 02a典型例题：-例1、选择适当方法解下列方程：一2 一(1)31 x 6. x 3 x 68. 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1 x 1 2x 511例2、在实数范围内分解因式：(1)x22&x3；(2)4x28x 1. 2x24xy5y2说明：对于二次三项式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2 bx

10、 c=0,求出两根，再写成2ax bx c=a(x x1)(x x2).分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应厂求代数式的值;而二元二次方程组。典型例题：例1、已知x2 3x 2 0,求代数式-1x1的值。x 1例2、如果x2 x 10,那么代数式x3 2x2 7的值。例3、已知a是一元二次方程 x2 3x 1一3 2a 2a 5 a 1 /士0的一根，求2的值。a 1例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6,(1)22x2 5xy 6y2 0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种

11、共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式 b2 4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例1、若关于x的方程x2 2<kx 1 0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 例2、关于x的方程m 1 x2 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是()A. m 0且m 1 B. m 0 C. m 1D. m 1例3、已知关于x的方程x2 k 2 x 2k 0(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；例4、已知二次三项式 9x2(2)若等腰 ABC的一边长为1,另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长。(m

12、6)x m 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组2y2mx,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.针对练习: 1、当k 时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么? 3、已知方程 mx2 mx 2 0有两个不相等的实数根，则 m的值是.y kx 2, 4、k为何值时，方程组 2y2 4x 2y 1 0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；(2)有两组不相等的实数解；(3)没有实数解. 5、当k取何值时，方程x2 4mx 4x 3m2 2m 4k 0的根与m均为有理数?考点五、方

13、程类问题中的“分类讨论”典型例题：|例1、关于x的方程m 1 x2 2mx 3 0有两个实数根，则 m为, 只有一个根，则 m为。例2、不解方程，判断关于 x的方程x2 2 x k k23根的情况。例3、如果关于x的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题；“利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90张，那么这个小

14、组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计，一，一，_，,1_，_，,1、一，,、一划，第一年投入资金 600万元，第二年比第一年减少 1 ,第三年比第二年减少-,该产品第一年收入资金321 一、一、 一，约400万兀，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利 -,要实现这一目标，该产品收3入的年平均增长率约为多少？(结果精确到 0.1,、13 3.61)4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨 1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：(1

15、)当销售价定为每千克 55元时，计算月销售量和月销售利润。(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到 8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3)两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2小时30 分到达B地，乙再走1小日36分到达A地，求两人

16、的速度.考点七、根与系数的关系0时，才能用韦达定理。前提：对于ax2 bx c 0而言，当满足a 0、2)主要内容x1 x2b,x1x2 ca a3应用：隼体代入求值。典型例题：例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程22x 8x 7 0的两根，则这个直角三角形的斜边是例2、已知关于x的方程k2x2() A. 73B.3C.62k 1 x 10有两个不相等的实数根 xi,x2,(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。1)时，小明因看错常数项，而得例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为到解为8和2,小红因看错了一次项系数