《中考课件初中数学总复习资料》专题27 涉及圆的证明与计算问题（原卷版）

1、专题27 涉及圆的证明与计算问题圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。一、与圆有关的概念1圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分

2、线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。5若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧4在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相

3、等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径7圆内接四边形的特征 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径2.直线与圆有3种位置关系如果o的半径为r，圆心o

4、到直线的距离为d，那么 直线和o相交； 直线和o相切； 直线和o相离。3圆与圆的位置关系设圆的半径为，圆的半径为，两个圆的圆心距，则：两圆外离 ；两圆外切 ；两圆相交 ；两圆内切 ；两圆内含 四、切线的规律1.切线的性质（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 四、求解圆的周长和面积的公式设圆的周长为r，则：1. 求圆的直径公式d=2r2.求

5、圆的周长公式 c=2r 3.求圆的面积公式s=r2五、解题要领1.判定切线的方法（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.2.与圆有关的计算计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知

6、识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基

7、本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑类型1图形：（1）如图1,ab是o的直径，点e、c是o上的两点.基本结论有：在“ac平分bae”；“adcd”；“dc是o的切线”三个论断中，知二推一。（2） 如图2、3，de等于弓形bce的高；dc=ae的弦心距of（或弓形bce的半弦ef）。（3）如图（4）：若ckab于k，则：ck=cd；bk=de；ck=be=dc；ae+ab=2bk=2ad;adcacbac2=adab（4）在(1)中的条件、中任选两个条件，当bgcd于e时（如图5），则：de

8、=gb；dc=cg；ad+bg=ab；adbg=dc2 类型2图形：如图：rtabc中，acb=90°。点o是ac上一点，以oc为半径作o交ac于点e，基本结论有：（1）在“bo平分cba”;“bode”;“ab是o的切线”;“bd=bc”。四个论断中，知一推三。（2）g是bcd的内心； ；bcocdebode=coce=ce2；（3）在图（1）中的线段bc、ce、ae、ad中，知二求四。（4）如图（3），若bc=ce，则：=tanade；bc：ac：ab=3：4：5 ；（在、中知一推二）设be、cd交于点h，,则bh=2eh类型3图形：如图：rtabc中，abc=90°,

9、以ab为直径作o交ac于d，基本结论有：如图：（1）de切oe是bc的中点；（2）若de切o，则：de=be=ce； d、o、b、e四点共圆ced=2acd·ca=4be2, 图形特殊化：在（1）的条件下如图：deababc、cde是等腰直角三角形；如图：若de的延长线交ab的延长线于点f，若ab=bf，则：;类型4图形：如图，abc中，ab=ac，以ab为直径作o，交bc于点d，交ac于点f， 基本结论有：（1）deacde切o；（2）在deac或de切o下，有：dfc是等腰三角形；ef=ec；d是 的中点。与基本图形1的结论重合。连ad，产生母子三角形。类型5图形：以直角梯形ab

10、cd的直腰为直径的圆切斜腰于， 基本结论有：（1）如图1：ad+bccd； cod=aeb=90°； od平分adc（或oc平分bcd）；（注：在、及“cd是o的切线”四个论断中，知一推三）ad·bc2=r2；（2）如图2，连ae、co，则有：coae，coae=2r2(与基本图形2重合)（3）如图3，若efab于f，交ac于g，则：eg=fg.类型6图形：如图：直线pro的半径ob于e，pq切o于q，bq交直线pq于r。基本结论有：（1）pq=pr (pqr是等腰三角形)；（2）在“prob”、“pq切o”、“pq=pr”中，知二推一（3）2pr·re=br&#

11、183;rq=be·2r=ab2类型7图形：如图，abc内接于o，i为abc的内心。基本结论有：（1）如图1，bd=cd=id；di2de·da；aib=90°+acb;（2）如图2，若bac=60°，则：bd+ce=bc.类型8图形：已知，ab是o的直径，c是 中点，cdab于d。bg交cd、ac于e、f。基本结论有：（1）cd=bg；be=ef=ce；gf=2de(反之，由cd=bg或be=ef可得：c是 中点)（2）oe=af，oeac；odeagf（3）be·bg=bd·ba（4）若d是ob的中点，则：cef是等边三角形； 【

12、例题1】（2020武汉）如图，在半径为3的o中，ab是直径，ac是弦，d是ac的中点，ac与bd交于点e若e是bd的中点，则ac的长是（）a523b33c32d42【对点练习】（2019山东省聊城市）如图，bc是半圆o的直径，d，e是上两点，连接bd，ce并延长交于点a，连接od，oe如果a70°，那么doe的度数为（）a35°b38°c40°d42°【例题2】（2020牡丹江）ab是o的弦，omab，垂足为m，连接oa若aom中有一个角是30°，om23，则弦ab的长为 【对点练习】(2019安徽)如图，abc内接于o，cab30&

13、#176;，cba45°，cdab于点d，若o的半径为2，则cd的长为 【例题3】（2020贵州黔西南）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”请研究如下美丽的圆如图，线段ab是o的直径，延长ab至点c，使bcob，点e是线段ob的中点，deab交o于点d，点p是o上一动点（不与点a，b重合），连接cd，pe，pc（1）求证：cd是o的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明【对点练习】（2019湖北十堰）如图，abc中，abac，以ac为直径的o交bc于点d，点e为c延长线上一点，且cdebac（1）求证：d

14、e是o的切线；（2）若ab3bd，ce2，求o的半径一、选择题1（2020宜昌）如图，e，f，g为圆上的三点，feg50°，p点可能是圆心的是（）a b c d2（2020营口）如图，ab为o的直径，点c，点d是o上的两点，连接ca，cd，ad若cab40°，则adc的度数是（）a110°b130°c140°d160°3（2020荆门）如图，o中，ocab，apc28°，则boc的度数为（）a14°b28°c42°d56°4（2020临沂）如图，在o中，ab为直径，aoc80°

15、;点d为弦ac的中点，点e为bc上任意一点则ced的大小可能是（）a10°b20°c30°d40°5（2020内江）如图所示，点a、b、c、d在o上，aoc120°，点b是ac的中点，则d的度数是（）a30°b40°c50°d60°6（2020湖州）如图，已知四边形abcd内接于o，abc70°，则adc的度数是（）a70°b110°c130°d140°7（2020泰安）如图，abc是o的内接三角形，abbc，bac30°，ad是直径，ad8，则

16、ac的长为（）a4b43c833d238（2020嘉兴）如图，正三角形abc的边长为3，将abc绕它的外心o逆时针旋转60°得到a'b'c'，则它们重叠部分的面积是（）a23b343c323d39（2020随州）设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、r，则下列结论不正确的是（）ahr+rbr2rcr=34adr=33a10（2020凉山州）如图，等边三角形abc和正方形adef都内接于o，则ad：ab（）a22：3b2：3c3：2d3：22二、填空题11（2020黑龙江）如图，ad是abc的外接圆o的直径，若bca50°

17、，则adb °12（2020无锡）已知圆锥的底面半径为1cm，高为3cm，则它的侧面展开图的面积为 cm213（2020湖州）如图，已知ab是半圆o的直径，弦cdab，cd8，ab10，则cd与ab之间的距离是 14（2020枣庄）如图，ab是o的直径，pa切o于点a，线段po交o于点c连接bc，若p36°，则b 15（2020连云港）用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm16.（2019南京）如图，pa.pb是o的切线，a.b为切点，点c.d在o上若p102°，则a+c 17. （2019山东东营

18、）如图，ac是o的弦，ac=5，点b是o 上的一个动点，且abc=45°，若点m、n分别是 ac、bc的中点，则 mn的最大值是_18.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在o中，半径oa垂直于弦bc，点d在圆上，且adc30°，则aob的度数为_19.（2020山东济宁模拟 ）如图，o 为rt abc 直角边 ac 上一点，以 oc 为半径的o 与斜边 ab 相切于点 d，交 oa 于点 e，已知 bc，ac3则图中阴影部分的面积是 20.（2019湖北省鄂州市）如图，在平面直角坐标系中，已知c（3，4），以点c为圆心的圆与y轴相切点a、b在x轴上，且oaob点p为c上的动

19、点，apb90°，则ab长度的最大值为 三、解答题21.（2020咸宁）如图，在rtabc中，c90°，点o在ac上，以oa为半径的半圆o交ab于点d，交ac于点e，过点d作半圆o的切线df，交bc于点f（1）求证：bfdf；（2）若ac4，bc3，cf1，求半圆o的半径长22（2020怀化）如图，在o中，ab为直径，点c为圆上一点，延长ab到点d，使cdca，且d30°（1）求证：cd是o的切线（2）分别过a、b两点作直线cd的垂线，垂足分别为e、f两点，过c点作ab的垂线，垂足为点g求证：cg2aebf23（2020铜仁市）如图，ab是o的直径，c为o上一点，连接ac，ceab于点e，d是直径ab延长线上一点，且bcebcd（1）求证：cd是o的切线；（2）若ad8，bece=12，求cd的长24（2020温州）如图，c，d为o上两点，且在直径ab两侧，连结cd交ab于点e，g是ac上一点，adcg（1）求证：12（2）点c关于dg的对