《中考课件初中数学总复习资料》专题20 半角模型（解析版）

1、中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形如图：（1）2=aob；（2）oa=ob。如图：连接 fb，将fob 绕点 o 旋转至foa 的位置，连接 fe、fe，可得oefoef。 模型精练1（2019秋九龙坡区校级月考）如图在四边形abcd中，b+adc180°，abad，e、f分别是边bc、cd延长线上的点，且eaf=12bad，求证：efbefd【点睛】在be上截取bg，使bgdf，连接ag根据saa证明abgadf得到agaf，bagdaf，根据eaf=12bad，可知gaeeaf，可证明aegaef，egef，那么efgebebgb

2、edf【解析】证明：在be上截取bg，使bgdf，连接agb+adc180°，adf+adc180°，badf在abg和adf中，ab=adb=adfbg=df，abgadf（sas），bagdaf，agafbag+eaddaf+eadeaf=12badgaeeaf在aeg和aef中，ag=afgae=eafae=ae，aegaef（sas）egef，egbebgefbefd2（2020锦州模拟）问题情境：已知，在等边abc中，bac与acb的角平分线交于点o，点m、n分别在直线ac，ab上，且mon60°，猜想cm、mn、an三者之间的数量关系方法感悟：小芳的思

3、考过程是在cm上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；小丽的思考过程是在ab取一点，构造全等三角形，从而解决问题；问题解决：（1）如图1，m、n分别在边ac，ab上时，探索cm、mn、an三者之间的数量关系，并证明；（2）如图2，m在边ac上，点n在ba的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索cm、mn、an三者之间的数量关系，并证明【点睛】（1）在ac上截取cdan，连接od，证明cdoano，根据全等三角形的性质得到odon，codaon，证明dmonmo，得到dmmn，结合图形证明结论；（2）在ac延长线上截取cdan，连接od，仿照（1）的方法解答【解析】解：（1）cma

4、n+mn，理由如下：在ac上截取cdan，连接od，abc为等边三角形，bac与acb的角平分线交于点o，oacoca30°，oaoc，在cdo和ano中，oc=oaocd=oancd=an，cdoano（sas）odon，codaon，mon60°，cod+aom60°，aoc120°，dom60°，在dmo和nmo中，od=ondom=nomom=om，dmonmo，dmmn，cmcd+dman+mn；（2）补全图形如图2所示：cmmnan，理由如下：在ac延长线上截取cdan，连接od，在cdo和ano中，cd=anocd=oan=150

5、°oc=oa，cdoano（sas）odon，codaon，domnom，在dmo和nmo中，od=ondom=nomom=om，dmonmo（sas）mndm，cmdmcdmnan3（2020章丘区模拟）如图，在正方形abcd中，m、n分别是射线cb和射线dc上的动点，且始终man45°（1）如图1，当点m、n分别在线段bc、dc上时，请直接写出线段bm、mn、dn之间的数量关系；（2）如图2，当点m、n分别在cb、dc的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点m、n分别在cb、dc的延长线上时，若cn

6、cd6，设bd与am的延长线交于点p，交an于q，直接写出aq、ap的长【点睛】（1）在mb的延长线上，截取bedn，连接ae，则可证明abeadn，得到aean，进一步证明aemanm，得出memn，得出bm+dnmn；（2）在dc上截取dfbm，连接af，可先证明abmadf，得出amaf，进一步证明manfan，可得到mnnf，从而可得到dnbmmn；（3）由已知得出dn12，由勾股定理得出an=ad2+dn2=65，由平行线得出abqndq，得出bqdq=aqnq=abdn=12，aqan=13，求出aq25；由（2）得出dnbmmn设bmx，则mn12x，cm6+x，在rtcmn中，

7、由勾股定理得出方程，解方程得出bm2，由勾股定理得出am=ab2+bm2=210，由平行线得出pbmpda，得出pmpa=bmda=13，求出pm=12am=10，得出apam+pm310【解析】解：（1）bm+dnmn，理由如下：如图1，在mb的延长线上，截取bedn，连接ae，四边形abcd是正方形，abad，badabcd90°，abe90°d，在abe和adn中，ab=adabe=dbe=dn，abeadn（sas），aean，eabnad，eanbad90°，man45°，eam45°nam，在aem和anm中，ae=aneam=na

8、mam=am，aemanm（sas），memn，又mebe+bmbm+dn，bm+dnmn；故答案为：bm+dnmn；（2）（1）中的结论不成立，dnbmmn理由如下：如图2，在dc上截取dfbm，连接af，则abm90°d，在abm和adf中，ab=adabm=dbm=df，abmadf（sas），amaf，bamdaf，bam+bafbaf+dafbad90°，即mafbad90°，man45°，manfan45°，在man和fan中，am=afman=fanan=an，manfan（sas），mnnf，mndndfdnbm，dnbmmn（

9、3）四边形abcd是正方形，abbcadcd6，adbc，abcd，abcadcbcd90°，abmmcn90°，cncd6，dn12，an=ad2+dn2=62+122=65，abcd，abqndq，bqdq=aqnq=abdn=612=12，aqan=13，aq=13an25；由（2）得：dnbmmn设bmx，则mn12x，cm6+x，在rtcmn中，由勾股定理得：62+（6+x）2（12x）2，解得：x2，bm2，am=ab2+bm2=62+22=210，bcad，pbmpda，pmpa=bmda=26=13，pm=12am=10，apam+pm3104（2019麒麟

10、区模拟）已知，正方形abcd中，man45°，man绕点a顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（或它们的延长线）于点m、n，ahmn于点h（1）如图，当man绕点a旋转到bmdn时，请你直接写出ah与ab的数量关系：ahab；（2）如图，当man绕点a旋转到bmdn时，（1）中发现的ah与ab的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知man45°，ahmn于点h，且mh2，nh3，求ah的长（可利用（2）得到的结论）【点睛】（1）由三角形全等可以证明ahab，（2）延长cb至e，使bedn，证明aemanm，能得到ahab，（3）分别沿am、

11、an翻折amh和anh，得到abm和and，然后分别延长bm和dn交于点c，得正方形abce，设ahx，则mcx2，ncx3，在rtmcn中，由勾股定理，解得x【解析】解：（1）如图ahab（2）数量关系成立如图，延长cb至e，使bednabcd是正方形，abad，dabe90°，在rtaeb和rtand中，ab=adabe=adnbe=dn，rtaebrtand，aean，eabnad，dan+bam45°，eab+bam45°，eam45°，eamnam45°，在aem和anm中，ae=aneam=namam=am，aemanmsaemsa

12、nm，emmn，ab、ah是aem和anm对应边上的高，abah（3）如图分别沿am、an翻折amh和anh，得到abm和and，bm2，dn3，bdbad90°分别延长bm和dn交于点c，得正方形abcd，由（2）可知，ahabbccdad设ahx，则mcx2，ncx3，在rtmcn中，由勾股定理，得mn2mc2+nc252（x2）2+（x3）2（6分）解得x16，x21（不符合题意，舍去）ah65（2019秋东台市期末）在等边abc的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n，d为abc外一点，且mdn60°，bdc120°，bddc探究：当m、n分别在直线ab

13、、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系及amn的周长q与等边abc的周长l的关系（1）如图1，当点m、n边ab、ac上，且dmdn时，bm、nc、mn之间的数量关系是bm+ncmn；此时ql=23；（2）如图2，点m、n在边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（ i）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由（3）如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，探索bm、nc、mn之间的数量关系如何？并给出证明【点睛】（1）由dmdn，mdn60°，可证得mdn是等边三角形，又由abc是等边三角形，cdbd，易证得rtbdmrtcdn，然后由直角三角形的

14、性质，即可求得bm、nc、mn之间的数量关系 bm+ncmn，此时 ql=23；（2）在cn的延长线上截取cm1bm，连接dm1可证dbmdcm1，即可得dmdm1，易证得cdnmdn60°，则可证得mdnm1dn，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在cn上截取cm1bm，连接dm1，可证dbmdcm1，即可得dmdm1，然后证得cdnmdn60°，易证得mdnm1dn，则可得ncbmmn【解析】解：（1）如图1，bm、nc、mn之间的数量关系 bm+ncmn此时 ql=23 （2分）理由：dmdn，mdn60°，mdn是等边三角形，abc是等

15、边三角形，a60°，bdcd，bdc120°，dbcdcb30°，mbdncd90°，dmdn，bdcd，rtbdmrtcdn，bdmcdn30°，bmcn，dm2bm，dn2cn，mn2bm2cnbm+cn；aman，amn是等边三角形，abam+bm，am：ab2：3，ql=23；（2）猜想：结论仍然成立 （3分）证明：在nc的延长线上截取cm1bm，连接dm1（4分）mbdm1cd90°，bdcd，dbmdcm1，dmdm1，mbdm1cd，m1cbm，mdn60°，bdc120°，m1dnmdn60

16、6;，mdnm1dn，mnm1nm1c+ncbm+nc，amn的周长为：am+mn+anam+bm+cn+anab+ac，ql=23；（3）证明：在cn上截取cm1bm，连接dm1（4分）可证dbmdcm1，dmdm1，（5分）可证m1dnmdn60°，mdnm1dn，mnm1n，（7分）ncbmmn（8分）6请阅读下列材料：已知：如图（1）在rtabc中，bac90°，abac，点d、e分别为线段bc上两动点，若dae45°探究线段bd、de、ec三条线段之间的数量关系小明的思路是：把aec绕点a顺时针旋转90°，得到abe，连接ed，使问题得到解决请

17、你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想bd、de、ec三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点e在线段bc上，动点d运动在线段cb延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形abc中，点d、e在边ab上，且dce30°，请你找出一个条件，使线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数【点睛】（1）de2bd2+ec2，将adb沿直线ad对折，得afd，连fe，容易证明afdabd，然后可以得到afab，fddb，fadbad，afdabd，再利

18、用已知条件可以证明afeace，从而可以得到dfeafdafe135°45°90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；（2）根据（1）的思路一样可以解决问题；（3）当adbe时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形如图，与（1）类似，以ce为一边，作ecfecb，在cf上截取cfcb，可得cfecbe，dcfdca，然后可以得到addf，efbe由此可以得到dfe1+2a+b120°，这样就可以解决问题【解析】解：（1）de2bd2+ec2；（2）关系式de2bd2+ec2仍然成立证明：将adb沿直线ad对折，得afd，连feafdabd，afab，f

19、ddb，fadbad，afdabd，又abac，afac，faefad+daefad+45°，eacbacbae90°（daedab）45°+dab，faeeac，又aeae，afeace，feec，afeace45°，afdabd180°abc135°dfeafdafe135°45°90°，在rtdfe中，df2+fe2de2，即de2bd2+ec2；（3）当adbe时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形如图，与（2）类似，以ce为一边，作ecfecb，在cf上截取cfcb，可得cfecbe，dc

20、fdcaaddf，efbedfe1+2a+b120°若使dfe为等腰三角形，只需dfef，即adbe，当adbe时，线段de、ad、eb能构成一个等腰三角形，且顶角dfe为120°7（2019夏津县二模）如图1，在正方形abcd中，e、f分别是bc，cd上的点，且eaf45度则有结论efbe+fd成立；（1）如图2，在四边形abcd中，abad，bd90°，e、f分别是bc，cd上的点，且eaf是bad的一半，那么结论efbe+fd是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请说明理由（2）若将（1）中的条件改为：如图3，在四边形abcd中，abad，b+d180

21、76;，延长bc到点e，延长cd到点f，使得eaf仍然是bad的一半，则结论efbe+fd是否仍然成立？若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明【点睛】（1）结论仍然成立延长cb到g，使bgfd，根据已知条件容易证明abgadf，由此可以推出bagdaf，agaf，而eaf=12bad，所以得到daf+baeeaf，进一步得到eafgae，现在可以证明aefaeg，然后根据全等三角形的性质就可以证明结论成立；（2）结论不成立，应为efbedf，如图在cb上截取bgfd，由于b+adc180°，adf+adc180°，可以得到badf，再利用已知条件可以证明abga

22、df，由此可以推出bagdaf，agaf，而eaf=12bad，所以得到eafgae，现在可以证明aefaeg，再根据全等三角形的性质就可以证明efegebbgebdf【解析】解：（1）延长cb到g，使bgfd，连接ag，abgd90°，abad，abgadf，bagdaf，agaf，eaf=12bad，daf+baeeaf，eafgae，aefaeg，efegeb+bgeb+df（2）结论不成立，应为efbedf，证明：在be上截取bg，使bgdf，连接agb+adc180°，adf+adc180°，badfabad，abgadfbagdaf，agafbag+eaddaf+eadeaf=12badgaeeafaeae，aegaefegefegbebgefbefd8（1）如图1，将eaf绕着正方形abcd的顶点a顺时针旋转，eaf的两边交bc于e，交cd于f，连接ef若eaf45°，be、df的长度是方程x25x+60的两根，请直接写出ef的长；（2）如图2，将eaf绕着四边形abcd的顶点a顺时