勾股定理知识点对应类型VIP

1、第二章勾股定理、平方根专题判定直角三角形勾股定理勾股定理的验证勾股定理和平方根定义、性质开平方运算平方根立方根定义、性质开立方运算实数近似数、有效数字第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2 b2 c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a， b， c 有下面关系： a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数 ：满足 a2 b2 c2 的三个 正整数 叫做勾股数（ 注意： 若 a，

2、 b， c、为勾股数，那么ka， kb， kc 同样也是勾股数组。）* 附：常见勾股数：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,132223. 判断直角三角形 ：如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法： （ 1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。（ 2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（ 1）确定最大边（不妨设为 c）；（ 2）若 c2 a2 b2，则 ABC 是以 C 为直角的三角形；若 a2 b2 c2，则此三角形为钝

3、角三角形（其中c 为最大边）；若 a2 b2 c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4. 注意 ：（ 1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（ 2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（ 3）在直角三角形中， 如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于 30°。5. 勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边。（ 2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（ 3）用于证明线段平方关系的问题。（ 4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11 19 的平方）1、平方根定义 ：如果一个数的平方等

4、于a，那么这个数就叫做a 的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果2x =a，那么 x 就叫做 a 的平方根。2、平方根的性质 ：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数 a 的正的平方根，记作“a ”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“a ”，这两个平方根合起来记作“±a ”。（ a 叫被开方数， “”是二次根号，2这里“”，亦可写成“”）0 只有一个平方根，就是0 本身。算术平方根是0。负数没有平方根。3、 开平方： 求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、（ 1） 平方根是它本身的数是零。（ 2）算术平方根是它本身的数是0和 1。（ 3）2

5、a a 0 ,a2a a0 , a 2a a 0 .a（ 4）一个数的两个平方根之和为0三、立方根：（1 9 的立方）1、立方根的定义 ：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根。（也称为二3次方根），也就是说如果 x =a，那么 x 就叫做 a 的立方根。 记作“ 3 a ”。2、立方根的性质：任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是0.互为相反数的数的立方根也互为相反数，即3a =3 a (3 a )3 3 a 3a3、开立方： 求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根

6、是它本身的数是1，0， -1。5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在a 中， a0，在 3 a 中， a 可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0 有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：±a 中的被开方数a 是非负数；3a 中的被开方数可以是任何数.（ 2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根；（ 3）立方根等于本身的数有 0、 1、 1，平方根等于本身的数只有 0共同点： 0 的立方根和平方根都是0四、实数：1、定义 ：有理数和

7、无理数统称为实数无理数 ：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，）。有理数 ：有限小数或无限循环小数注意： 分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：正有理数有理数零有限小数或无限循环小数实数负有理数无理数正无理数无限不循环小数负无理数实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。实数同有理数一样， 可用数轴上的点表示， 且实数和数轴上的点一一对应。两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。3、近似数： 由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到

8、精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法四舍五入法4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为a 10n (其中1a10, n是整数）的形式，就叫做科学记数法。6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来， 数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。勾股定理：（一）结合三角形：1.已知ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 (ab)2(bc) 20 ，则ABC 为三角形2.在ABC 中，若 a 2 =（ b + c ）（ b - c ），则ABC

9、是三角形， 且903.在ABC 中， AB=13 ， AC=15 ，高 AD=12 ，则 BC 的长为4.已知：在ABC 中，三条边长分别为a、b、c， a =n21，b =2 n，2（n >1）c = n 1试说明：C=90 。3.若ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足条件a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c，试判断ABC 的形状。4.已知a62 b8(c10) 20, 则以 a 、 b 、 c 为边的三角形是（二）、实际应用：1. 梯子滑动问题：（1）一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4 m

10、 ，那么梯子底端将向左滑动米。（2）如图，一个长为10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑1 米，那么，梯子底端的滑动距离1 米，（填“大于” ，“等于”，或“小于”）862. 直角边与斜边和斜边上的高的关系：直角三角形两直角边长为a， b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（）A. ab b 2B. a 2b 22h 2C.111D.111abha2b2h 23. 爬行距离最短问题：1 如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10 厘米，顶点 C1 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点 A 处有一只昆虫乙 ( 盒壁的厚度忽略不计)(1) 假设昆虫甲在顶点

11、C1 处静止不动，如图，在盒子的内部我们先取棱BB1 的中点 E，再连接 AE、EC1虫乙如果沿路径A-E-C1 爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲仔细体会其中的道理， 并在图中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点 A 沿这条路径爬行， 同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；( 请简要说明画法 )(2) 如图，假设昆虫甲从顶点C1，以 1 厘米 / 秒的速度在盒子的内部沿棱C1C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A 以 2 厘米 / 秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ ( 精确到 1 秒 )D1C1D1C1A1B1A1B1DDCCABA图 bB图 a4.折叠问题：1.

12、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 ， BC=8 ，将 ABC 折叠，使点B与点 A重合，折痕为DE ，则 CD 等于（）252275A.B.C.D.43431. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是米。2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43 米，则这两株树之间的垂直距离是_米，水平距离是米。3. 如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4. 如图，欲测量松花江的宽度， 沿江岸取 B 、C 两点，在江对岸取一点 A ，使 AC 垂直江岸，测得 BC 50 米， B

13、60°，则江面的宽度为。（三） 求边长：1.如图所示，在四边形ABCD 中，BAD= 90 ，DBC= 90 ， AD=3 ， AB=4 ，BC=12 ，求 CD。（五）方向问题：1. 有一次，小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行，在 A 点望湖中小岛 M ，测得MAN 30°， 当他到 B 点时， 测得 MBN 45°， AB 100 米，你能算出AM 的长吗？MABN（六）利用三角形面积相等：1.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个可得ABC ，则边 AC 上的高为（）A.3B.3C.3D.4255521055ACB（七）旋转问题：一、平方根

14、：（一） . 定义：1.（ 1）81 的平方根是9 的数学表达式是（）A.819B.819C.819D.819（2）若若3a+1 没有算术平方根，则a 的取值范围是3x-6 总有平方根，则x 的取值范围是。若式子x 1 的平方根只有一个，则x 的值是。3（4）若( x3) 2y40 ，则x +y =（5）代数式3ab的最大值是，这时a 、 b 之间的关系是（6）若m10 ，则m =；若3m4 ，则m 的平方根是2. 列方程求值：（ 1） x2 =196；（ 2） 5 x 2 -10=0；（3） 36（ x -3） 2 -25=04. （ 1）已知一个正数的平方根是2 x -1 和 3- x ，

15、求这个数5. 估算：（1）比较大小： 5与251与 3524（2）若 m = 404 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A. 1 m 2B. 2 m 3C. 3 m 4D. 4 m 5二、立方根1. 定义：（1）如果 a 是 x 的立方根，那么下列说法正确的是（）A. a 也是 x 的立方根B. a 是 -x 的立方根C. a 是 -x 的立方根D. a 和 a 都是 -x 的立方根2. 根据定义求值：（1）求值：32 10（ 2）3827125（2）方程：x3 31x31252163. 估算：（1）估计 68 的立方根大小在（）A.2与3之间B.3与4之间C.4与 5之间D.5与6之间4.

16、平方根与立方根相结合：（1）若 2x+1 的平方根是5 ，那么 5x+4 的立方根是（2）已知 x 8，求 31 x 的值。8（3）已知 m 满足2m 13 ， k、 n 满足 k 3 291 7n 0，求 k m23n 的值3三、实数：1. 实数的定义：1.下列说法正确的是（）A. 不存在最小的实数C. 无限小数都是无理数B. 有理数是有限小数D.带根号的数都是无理数2. 有效数字、科学记数法、近似数：注意： 2000 有 4 个有效数字，精确到个位2 10 3 有 1 个有效数字，精确到千位1. 有几个有效数字，保留几个有效数字：用四舍五入法，按要求取近似值： .地球上七大洲的面积约为149480000 （保留 2 个有效数字） 25.8 万（保留 2 个有效数字）小明身高 1.595m （保留 3 个有效数字）