(完整版)浙江师范大学《微分几何》考试卷05

1、浙江师范大学微分几何考试卷（2005-2006 学年第 一学期）考试形式闭卷使用学生数学 031-034考试时间150分钟出卷时间2005年12月20日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题（每空2 分，共 16 分 ）1、向量函数)(txx是定长的充要条件是 . 2、柱面x),(),(vuguf的第一基本形式为。3、若曲面和曲面 2,:1yxx等距，则的高斯曲率 k=。4、坐标网是渐近线网的充要条件是。5、若曲面上的曲线既是渐近线又是曲率线，则是。6、曲面) 1 ,2(),(,),(vuuvvuvuvux在的切平面方程为曲线；法线方程为。7、曲面上沿着一条非直线的曲

2、线，它的从切面与曲面的切平面重合，则曲线是曲面上曲线。二、是非题（每小题2 分共 10 分）1、存在第一类基本量e=1，f=3，g=3 的曲面。（）2、球面上每一条曲线都是曲率线。（）3、曲面上一定存在着曲率线网和渐近线网。（）4、高斯曲率不是内蕴量。（）5、曲率和挠率分别等于不为零常数的曲线是圆柱螺线。（）三、综合题（ 1-8 每小题 8分，第 9 小题 10分，共 74分）1、问是否存在曲面使得,cos,0, 12221211uggg1,0,cos2212211u。为什么？2、求曲线3231,21,tttx的曲率 k 和挠率。3、求曲线)(syy的切线曲面的主曲率，平均曲率，曲率线方程。4

3、、求曲面22212)()(:uddui的高斯曲率 k。5、求正螺面22121,sin,cosauuuuux上测地线的方程。6、证明：若曲面是（非平面）极小曲面，则该曲面有二族互相正交的渐近曲线。7、设非直线曲线和另一条曲线*之间建立的一一对应，使得在对应点，曲线的切线是*的主法线，证明是平面曲线。8、若两曲面1，2相交于定角，且交线是1的曲率线，则也是2的曲率线。9、证明：对曲面上的曲线有（1）若渐近曲线同时为测地曲线，则它必是直线；（2）若曲率线同时为测地线，则它必是平面曲线。浙江师范大学微分几何 考试卷 参考答案（2005-2006 学年第一学期）考试形式闭卷使用学生数学 031-034考

4、试时间150分钟出卷时间2005年12月20 日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、填空题（每格2 分共 16 分）1、)(tx0)(,tx2、22,2,2)()(dvduuguf3、k=0 4、l=n=0 5、平面曲线6、0423zyx，221133zyx7、测地二、是非题（每小题 2 分共 10 分）1-5：错，对，错，错，对。三、综合题（ 1-8 每小题 8分，第 9 小题 10分，共 74分）1、答：不存在（3 分）因为,cos,0, 12221211uggg1,0,cos2212211llul不满足科达齐方程ugl)(2222vgl)(2212112211)(g

5、glu22111112)(ggglv=0 左边 =0)cos(cossin22uuu（5 分）2、解：因为3231,21,tttx2, 1ttx，tx2, 1 ,0,，2,0 ,0, , ,x（4 分）3, ,|xxxk=23242124) 1() 14(tttt（2 分）12)(),(242, , , , ,ttxxxxx（2 分）3、解：设曲线)(syy（s 为弧长参数）的切线曲面为)()(svsyx，则有vkxs，vxvkvkkvkxss)(.2，kxst，0vvx（2 分）e=1+22kv，f=1，g=1 l=,vkm=0 ，n=0 （2 分）vkkk21,0（1 分）h=vk2（1

6、分）曲率线方程为001112222vkkvdsdsdvdv=0，即 s=常数，或 v=-s+c （2 分）4、解：因为为正交网，所以)()(1vvuugeegegk（3 分）=-)()(12vvuu（2 分）=)(ln)(ln12vvuu（3 分）5、解：因为uuvuvx,sin,cose=1,0, 12gfv（ 2 分）由测地线方程为tangedudvtanln21ln21ugvegedud（2 分）tan112vvdvdcvcos12221cotcvcan，则测地线方程为22211cvvdvcu（ 4 分）6、证：因为是极小曲面，所以021kk，为非平面，即有,021kk（2 分）则 k0

7、,所以极小曲面上的点是双曲点。必有两族渐近曲线。（2 分）设两族渐近曲线主方向的交角为2,1，则由欧拉公式有212,1tankk=, 14,421（3 分）两族渐近曲线正交（1 分）7、设曲线：)(sxx（s为弧长参数）则*为)()(*ssxx（1 分）两边对 s 求导有kx)1 (*.,（1）（1 分）因为*，上式两边点积*有01.代入（1）（2 分）即有kx,*（2）再求导有)()(.,*,kkkkx（3）（1 分）2232,*,*kkxx（ 4）（1 分）（4）再两边点积*有022k由题意有0，即证。（2 分）8、证：设1，2的单位法向量为21,nn，则由题意有cnn21（1 分）两边微

8、分得02121ndnnnd（1 分）由交线是1的曲率线，则有xdnd10212ndnnxd（1 分）因为xdn2，所以021ndn又因为2n为单位法向量，即有022ndn所以有|2nd21nn（2 分）xdn1，xdn2，所以有xd|21nn（2 分）即|2ndxd，所以也是2的曲率线。（1 分）9、 （ 1）由题意沿有0,0gnkk（2 分）又因为0222gnkkk，即 k=0 （2 分）所以为直线。（1 分）（2） ： 由题意为测地线，则沿有n（1 分）又为曲率线，则沿的法线曲面是可展曲面，即有0),(nn，（1 分）即有0),(，因k（1 分）代入有0),(),(即证明了是平面曲线（2

9、分）浙江师范大学微分几何考试卷考试类别使用学生数理学院数学专业本科考试时间 120 分钟表出卷时间 2002年 10 月 7 日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理二、 填空题（ 30 分 ）1、向量函数)(txx是定长的充要条件是 . 2、光滑曲线：)(txx，t r，若对任何的t 有，则称为正则曲线。3、空间曲线中，弧长、和是参数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是。5、若曲线为贝特朗曲线，则曲率k 和挠率满足的条件为。6、若在 p点有ijijg，则称 p点为。7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为、和。9

10、、坐标网是渐近线网的充要条件是。10、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是。11、曲面) 1 ,2(),(,),(vuuvvuvuvux在的切平面方程为，法线方程为。二、解答题1、1, 0,0, 12212211222121111uueeggg，这样的曲面是否存在？（5 分）2、求正螺面22121,sin,cosauuuuux上的测地曲线的方程。 （10 分）3、若固定向量l与曲线的所有法面平行，证明是平面曲线。 （7 分）4、证明渐近曲线上的点的测地曲率的绝对值等于它的曲率。（8 分）5、求曲线3233 ,3,3tttttx的曲率 k 和挠率。 （10 分）6、求曲面22212)()(:

11、uddui的高斯曲率k。 （ 10 分）7、求挠曲线)(syy的切线曲面的曲率线。 （ 10 分）8、若曲面上有两族测地线交角为定角，则曲面为可展曲面。 （10 分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002学年第二学期）考试类别使用学生数理学院数学专业2000 本科考试时间 120 分钟表出卷时间 2002年 6 月 18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理三、填空题（ 24 分 ）1、向量函数)(txx是定向的充要条件是 . 2、光滑曲线：)(txx，t r ，若对任何的 t 有，则称为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k 和挠率满足的条件特殊曲线曲率 k 和挠

12、率满足的条件一般螺线贝特朗曲线4、若在 p点有ijijg，则称 p 点为。5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。6、若曲面为可展曲面的充要条件是曲面的高斯曲率 k=。7、坐标网是渐近线网的充要条件是。8、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是。9、曲面)1 , 2(),(,),(vuuvvuvuvux在的切平面方程为，法线方程为。10、欧拉公式为。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得1, 0,0, 12212211222121111uueeggg。（10 分）三、求正螺面22121,sin,cosauuuuux上测地线的方程。（10 分）四、设曲线

13、，*的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线的切线是*的主法线，证明是平面曲线。（8 分）五、证明曲面是极小曲面 （非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8 分）六、计算题（ 24 分）1、求曲线3231,21,tttx的曲率 k 和挠率。2、求曲面22212)()(:uddui的高斯曲率 k。3、求曲线)(syy的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。七、若两曲面1，2相交于定角，且交线是1的曲率线，则也是2的曲率线。 （10分）八、设曲线为曲面上一条曲率线， p为上一点，但不是抛物点。 证明：在p点的测地曲率的绝对值等于的高斯映射象在对应点测地曲率和在 p 点的法曲率之积的绝对值

14、，即nggkkk。 （6 分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002学年第二学期）考试类别使用学生数理学院数学专业2000 本科考试时间 120 分钟表出卷时间 2002年 6 月 18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理四、填空题（ 20 分 ）1、向量函数)(txx是定向的充要条件是 . 2、光滑曲线：)(txx，t r ，若对任何的 t 有，则称为正则曲线。3、空间曲线中，弧长、和是参数变换下的不变量。4、曲线论的基本定理是。5、在下表中填上相应的曲线或曲率k 和挠率满足的条件特殊曲线曲率 k 和挠率满足的条件一般螺线贝特朗曲线k=06、若在 p点有ijijg，则

15、称 p 点为。7、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。8、曲面为可展曲面的充要条件是曲面为、和。其高斯曲率k=。9、坐标网是渐近线网的充要条件是。10、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是。11、曲面)1 ,2(),(,),(vuuvvuvuvux在的切平面方程为，法线方程为。12、若曲面上的曲线在 p 点的测地曲率为 1，在 p点的法曲率为 2，则在p点的曲率为。13、欧拉公式是。二、1、试述曲面论的基本定理2、问是否存在曲面使得1, 0,0, 12212211222121111uueeggg。（10 分）三、1、曲面上沿着一条非直线的曲线，它的从切面与曲面的

16、切平面重合，试问曲线是曲面上的什么曲线。2、求正螺面22121,sin,cosauuuuux上这类曲线的方程。（12 分）四、设曲线，*的点之间建立了一一对应，使得在对应点，曲线的切线是*的主法线，证明是平面曲线。（8 分）五、证明曲面是极小曲面 （非平面）的充要条件是率有二族互相正交的渐近曲线。（8 分）六、计算题（ 25 分）4、求曲线3231,21,tttx的曲率 k 和挠率。5、求曲面22212)()(:uddui的高斯曲率 k。6、求曲线)(syy的切线曲面主曲率，平均曲率，曲率线。七、若曲面上有两族测地线交角为定角，则曲面为可展曲面。（10分）八、设曲线为曲面上一条曲率线， p为上

17、一点，但不是抛物点。 证明：在p点的测地曲率的绝对值等于的高斯映射象在对应点测地曲率和在 p 点的法曲率之积的绝对值，即nggkkk。 （7 分）浙江师范大学微分几何考试卷（20012002学年第二学期）考试类别使用学生数理学院数学专业2000 本科考试时间 150 分钟表出卷时间 2002年 6 月 18日说明：考生应有将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理五、填空题（ 24 分 ）1、向量函数)(txx为定向的充要条件是 . 2、光滑曲线：)(txx，t r ，若对任何的 t 有，则称为正则曲线。3、在下表中填上相应的曲线或曲率k 和挠率满足的条件特殊曲线曲率 k 和挠率满足的条件一般螺线

18、贝特朗曲线4、若在 p点有ijijg，则称 p 点为。5、若二个曲面之间存在既是等积又是共形的一个映射，则这个映射一定是。6、若曲面为可展曲面的充要条件是曲面的高斯曲率 k=。7、坐标网是渐近线网的充要条件是。8、若曲面上的曲线既是渐近线又是测地线，则是。9、曲面)1 , 2(),(,),(vuuvvuvuvux在的切平面方程为，法线方程为。10、欧拉公式为。二、计算题（ 36 分）7、求曲线3231,21,tttx的曲率 k 和挠率。 （8 分）8、求曲面22212)()(:uddui的高斯曲率 k。 （6 分）9、求曲线)(syy的切线曲面：)()(sttsyx（s0，t0）的主曲率，平均曲率，第一，二基本形式，曲率线。 （12分）10、求正螺面22121,sin,cosauuuuux上测地线的方程。（10 分）三、综合题（ 10 分）a) 叙述曲面论的基