《中考课件初中数学总复习资料》第07讲 角的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一、相似三角形的性质 1. 两个三角形相似，对应角相等；2. 两个三角形相似，对应边成比例； 2. 两个三角形相似，对应线之比（高线、角平分线、中线）等于相似比； 3. 两个三角形相似，周长比等于相似比； 4. 两个三角形相似，面积比等于相似比的平方.二、一线三等角 1. 如图1，若acb=d=e=90°，若ac=bc，即acb为等腰直角三角形，则有acdcbe； 2. 如图2，若acb=d=e=90°，此为一线三直角，也称“k字型”，则有acdcbe； 3. 如图3，若acb=d=e，此为一般的一线三等角，则有acdcbe. 图1

2、 图2 图3一、构造一线三等角 1. 当出现特殊角度45°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图4有acdcbe；图4 2. 当出现特殊角度30°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图5有acdcbe；图5 3. 当出现时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图6有acdcbe；二、构造子母型相似 bacbea ba2=bc·be则 bd2+ad2=bc·be 三、整体旋转法如图，已知点，将点a绕原点o顺时针旋转45°角，求其对应点a的坐标. 解题： 【例题1】如图，在平面直角坐标系中，经过点a的双曲线y（x0）同时经过点b，且点

3、a在点b的左侧，点a的横坐标为，aoboba45°，则k的值为【解析】过a作amy轴于m，过b作bdx轴于d，直线bd与am交于点n，如图所示：则odmn，dnom，amobna90°，aom+oam90°，aoboba45°，oaba，oab90°，oam+ban90°，aomban，在aom和ban中，aomban（aas），ambn，oman，od+，bd，b（+，），双曲线y（x0）同时经过点a和b，（+）（）k，整理得：k22k40，解得：k1±（负值舍去），k1+；故答案为：1+【例题2】（2018武汉模拟）如图

4、，在矩形abcd中，ab6，ad12，e为边ab上一点，ae2，p、q分别为边ad、bc上的两点，且peq45°，若epq为等腰三角形，则ap的长为【解析】（1）如图1，当pepq时，作qfad，则四边形abqf是矩形，可得qfab6apfqepq90°，ape+qpf90°，ape+aep90°，aepqpf，pepq，aepfpq（aas），apfq6；（2）如图2，当qeqp时，作pfbc，则四边形abfp是矩形，可得pfab6，同法可得：beqfqp（aas），befq4，bqfp6，apbf10；（3）如图3，当epeq时，作pmpe交eq的延

5、长线于点m，作mfad于点f，mf交bc于点hepeq，bemh，同法可得aepfpm（aas），综合（1）、（2）、（3）可知：ap6或ap10或故答案是：6或10或4+2【例题3】如图，在平面直角坐标系xoy中，直线yx+m分别交x轴，y轴于a，b两点，已知点c（2,0）（1）当直线ab经过点c时，点o到直线ab的距离是；（2）设点p为线段ob的中点，连结pa，pc，若cpaabo，则m的值是【解析】（1）当直线ab经过点c时，点a与点c重合，当x2时，y2+m0，即m2，所以直线ab的解析式为yx+2，则b（0，2）oboa2，ab2设点o到直线ab的距离为d，由soaboa2abd，得

6、42d，则d故答案是：（2）作odoc2，连接cd则pdc45°，如图，由yx+m可得a（m，0），b（0，m）所以oaob，则obaoab45°当m0时，apcoba45°，所以，此时cpa45°，故不合题意所以m0因为cpaabo45°，所以bpa+opcbap+bpa135°，即opcbap，则pcdapb，所以，即，解得m12故答案是：12【例题4】如图，已知点a（2，3）和点b（0，2），点a在反比例函数y的图象上，作射线ab，再将射线ab绕点a按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点c，则点c的坐标为【解析】

7、解法一：如图所示，过a作aex轴于e，以ae为边在ae的左侧作正方形aefg，交ab于p，根据点a（2，3）和点b（0，2），可得直线ab的解析式为yx+2，由a（2，3），可得of1，当x1时，y+2，即p（1，），pf，将agp绕点a逆时针旋转90°得aeh，则adpadh，pdhd，pgeh，设dex，则dhdpx+，fd1+2x3x，rtpdf中，pf2+df2pd2，即（）2+（3x）2（x+）2，解得x1，od211，即d（1，0），根据点a（2，3）和点d（1，0），可得直线ad的解析式为y3x3，解方程组，可得或，c（1，6），故答案为：（1，6）解法二：如图，过a作

8、ady轴于d，将ab绕着点b顺时针旋转90°，得到a'b，过a'作a'hy轴于h，由abba'，adbbha'90°，bada'bh，可得abdba'h，bhad2，又ob2，点h与点o重合，点a'在x轴上，a'（1，0），又等腰rtaba'中，baa'45°，而bac45°，点a'在ac上，由a（2，3），a'（1，0），可得直线ac的解析式为y3x3，解方程组，可得或，c（1，6），故答案为：（1，6）解法三：如图，过b作bfac于f，过f作fdy

9、轴于d，过a作aedf于e，则abf为等腰直角三角形，易得aeffdb，设bda，则efa，点a（2，3）和点b（0，2），df2aae，odobbd2a，ae+od3，2a+2a3，解得a，f（，），设直线af的解析式为ykx+b，则，解得，y3x3，解方程组，可得或，c（1，6），故答案为：（1，6）【例题5】如图1，平面直角坐标系中，直线yx+1与抛物线yx2+bx+c交于a，b两点，点a在y轴上，点b的横坐标为，点p是直线ab上方的抛物线上的一动点（不与点a，b重合），作pcab于点c（1）求抛物线的解析式；（2）设点p的横坐标为m用含m的代数式表示pc的长；求pc长的最大值；（3）如

10、图2，连接pa，若pab45°，求点p的坐标【解析】（1）将x0代入yx+1得：y1，a（0，1）将x代入yx+1得：y，b（，），把a、b两点坐标代入yx2+bx+c得到，解得，抛物线的解析式为yx2+4x+1；（2）如图1，作pfx轴于f，交ab于e，直线ab交x轴于d把y0代入yx+1得：x+10，解得x2，d（2，0）设p（m，m2+4m+1），则e（m，m+1），点p在直线ab上方，pem2+4m+1（m+1）m2+m，oa1，od2，ad，pfoa，daodefpec，aodpce90°，pcedoa，即pc（m2m），pc（m2m）（m）2+，0，m时，pc有

11、最大值，最大值为；（3）如图2所示，过点a作acx轴，交抛物线与点c，作cdy轴交ab与点d，将acd旋转90°得到aef，延长ef交ap与点g，连结gd将y1代入抛物线的解析式得：x2+4x+11，解得：x0或x4点c的坐标为（4，1）将x4代入直线ab的解析式得：y3，点d的坐标为（4，3）由旋转的性质可知：afac4，efdc2，aead点e的坐标为（2，5）在aeg和adg中，aegadgegdg设点d的坐标为（x，y），由两点间的距离公式可知：（x+2）2+（y5）2（x4）2+（y3）2，整理得：y3x+1直线ag的解析式为y3x+1将y3x+1代入yx2+4x+1得：3

12、x+1x2+4x+1，整理得：x2x0，解得：x0或x1点p的横坐标为1将x1代入y3x+1得：y4点p的坐标为（1，4）1（2018龙岗区一模）如图，已知反比例函数y（x0）的图象经过点a（3，4），在该图象上面找一点p，使poa45°，则点p的坐标为 【解析】作aey轴于e，将线段oa绕点o顺时针旋转90°得到oa，作afx轴于f，则aoeaof，可得ofoe4，afae3，即a（4，3）反比例函数y（x0）的图象经过点a（3，4），所以由勾股定理可知：oa5，4，oa5，k12，y，aa的中点k（，），直线ok的解析式为yx，由，解得或，点p在第一象限，p（2，），故

13、答案为（2，）2（2017孝感）如图，在平面直角坐标系中，oaab，oab90°，反比例函数y（x0）的图象经过a，b两点若点a的坐标为（n，1），则k的值为【解析】作aex轴于e，bfx轴于f，过b点作bcy轴于c，交ae于g，如图所示：则agbc，oab90°，oae+bag90°，oae+aoe90°，aoegab，在aoe和bag中，aoebag（aas），oeag，aebg，点a（n，1），agoen，bgae1，b（n+1，1n），kn×1（n+1）（1n），整理得：n2+n10，解得：n（负值舍去），n，k；故答案为：3（2017

14、新区一模）（1）如图1，已知abc，以ab，ac为边分别向abc外作等边abd和等边ace，连结be，cd，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：becd；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形abcd中，ad3，cd2，abcacbadc45°，求bd的长（3）如图3，四边形abcd中，cab90°，adcacb，tan，cd5，ad12，求bd的长【解析】（1）如图1，分别以点a、b为圆心，以ab为半径画弧，交于点d，连接ad、bd，再分别以a、c为圆心，以ac为半径画弧，交于点e，连接ae、ce，则abd、ace就是所求作的等边三角

15、形；证明：如图1，abd和ace都是等边三角形，adab，acae，dabeac60°，dacbae，dacbae（sas），becd；（2）如图2，过a作aead，使adae3，连接de、ce，由勾股定理得：de3，eda45°，adc45°，edceda+adc90°，acbabc45°，cab90°，cab+dacead+dac，即eacdab，aead，acab，dabeac（sas），ecbd，在rtdce中，ec，bdec；（3）如图3，作直角三角形dae，使得dae90°，deaacb，连接ec，容易得到dae

16、bac，即，daebac90°，dae+dacbac+dac，即eacdab，eacdab，在dce中，adcacb，edaabc，edc90°，ad12，ae9，dae90°，de15，ce5，由eacdab，bd4（2019成都一模）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）a（1）求反比例函数的解析式；（2）若点p是该双曲线第一象限上的一点，且aop45°，填空：直线op的解析式为yx；点p的坐标为（，）【解析】（1）由图知，点a（1，3），点a（1，3）在反比例函数y图象上，k1×33，反比例函数的解析式为y；（2）如图，过点o作oa

17、的垂线oe，取x轴上点（3，0），记d，则d（3，0），od3，过点d作bdx轴，交oe于b，op于c，易知，b（3，1），oaob，aop45°，bocaobaop45°aoc，ococ，aocboc（sas），acbc，设c（3，m），a（1，3），b（3，1），ac，bcm+1，m+1，m，c（3，），设直线op的解析式为ykx，3k，k，直线op的解析式为yx，故答案为：yx；由知，直线op的解析式为yx（），由（1）知，反比例函数解析式为y（），联立（）（）解得，或（由于点p在第一象限内，所以，舍去），p（，），故答案为：（，）5如图，已知抛物线yx2+bx+c经

18、过点a（0，3），c（3，0）；过a作abx轴交抛物线于点b，连接ac、bc，点p为抛物线上动点（1）求抛物线解析式；（2）当pabbca时，求点p的坐标；（3）当点p在抛物线上bc两点之间移动时，点q为x轴上一动点，连接ap、aq，使得tanpaq2，且ap交bc于点g，过g作ghaq交aq于点h，设点h的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式 【解析】（1）将a（0，3），c（3，0）代入得：，解得b2，c3抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）如图1中，当点p在抛物线上bc两点之间时，连接pa交bc于e，作bmoc于m，enbm于npabacb，abeabc，abecba，ab2be

19、bc，bebc4，bc，be，enmc，bn，en，e（，），a（0，3），直线ae的解析式为yx+3，由解得或，a（0，3），p（，），根据对称性直线ap关于直线ab的对称的直线ap的解析式为yx+3，由解得或，p（，），综上所述，满足条件的点p坐标为p（，）或（，）；（3）如图2中，作hmoa于m，gnmh于nahgh，ahg90°，由ahmhgn，tangah2，h（m，n），hn62n，gn2m，g（62n+m，2m+n），直线bc的解析式为y3x+9，点g在直线bc上，2m+n3（62n+m）+9，nm+6（2018成都模拟）如图1，平面直角坐标系中，抛物线yax24ax+

20、c与直线ykx+1（k0）交于y轴上一点a和第一象限内一点b，该抛物线顶点h的纵坐标为5（1）求抛物线的解析式；（2）连接ah、bh，抛物线的对称轴与直线ykx+1（k0）交于点k，若sahb，求k的值；（3）在（2）的条件下，点p是直线ab上方的抛物线上的一动点（如图2），连接pa当pab45°时，）求点p的坐标；）已知点m在抛物线上，点n在x轴上，当四边形pbmn为平行四边形时，请求出点m的坐标【解析】（1）抛物线yax24ax+c与直线ykx+1交于y轴上一点aa（0，1），即c1抛物线yax24ax+ca（x2）24a+c顶点坐标为（2，c4a）c4a5a1抛物线解析式yx2

21、+4x+1（x2）2+5（2）抛物线与直线相交kx+1x2+4x+1x10，x24kb点横坐标为4k点b在第一象限4k0即k4sahbhk×（4k）（52k1）×（4k）解得：k1，k2（不合题意舍去）（3）如图：将ab绕b点顺时针旋转90°到bc位置，过b点作bdx轴，过点c点作cdbd于d，过a点作aebd于ek，b（，）a（0，1），b（，）ae，be旋转bcab，abc90°cab45°，cbd+abe90°且cbd+dcb90°abedcb且abbc，daeb90°abebcdaebd，becdc（，）设

22、ac解析式ybx+1b+1b3ac解析式y3x+1p是直线ac与抛物线的交点3x+1x2+4x+1x10，x21p（1，4）如图2：设pm与bn的交点为h四边形pbmn为平行四边形phnh，bhmh设点m坐标为（x，y）y（x2）2+5解得：x1，x2点m坐标为（，），（，）7（2014白银）如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为m的抛物线是由抛物线yx23向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点a，点b在该抛物线上，且横坐标为3（1）求点m、a、b坐标；（2）连接ab、am、bm，求abm的正切值；（3）点p是顶点为m的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设po与x正半轴的夹角为，当ab

23、m时，求p点坐标【解析】（1）抛物线yx23向右平移一个单位后得到的函数解析式为y（x1）23，顶点m（1，3），令x0，则y（01）232，点a（0，2），x3时，y（31）23431，点b（3，1）；（2）过点b作beao于e，过点m作mfao于m，ebea3，eabeba45°，同理可求famfma45°，abeamf，又bam180°45°×290°，tanabm；（3）过点p作phx轴于h，y（x1）23x22x2，设点p（x，x22x2），点p在x轴的上方时，整理得，3x27x60，解得x1（舍去），x23，点p的坐标为（

24、3，1）；点p在x轴下方时，整理得，3x25x60，解得x1（舍去），x2，x时，x22x2×，点p的坐标为（，），综上所述，点p的坐标为（3，1）或（，）8（2018宿迁三模）如图，二次函数yx2+2x+3的图象与x轴交于点a、b，与y轴交于点c（1）求顶点d的坐标；（2）若点p（0，t） （t1）是y轴上的点，将点q （5，0）绕着点p按顺时针方向旋转90度得到点e，当点e恰好落在该二次函数的图象上时，求t的值；（3）在（2）的条件下，连接ad、ae，若m是该二次函数图象上的一点，且daemcb，求点m的坐标【解析】（1）二次函数的表达式为：yx2+2x+3（x1）24，所以顶点

25、d的坐标为（1，4）；（2）如图1，过点e作ehy轴于点h，pqo+opq90°，opq+hpe90°，hpepqo，由旋转知，pqpe，在eph和pqo中，ephpqo（aas），ehopt，hpoq5e（t，5+t）当点e恰好在该二次函数的图象上时，有5+tt22t+3解得t12，t21（由于t1所以舍去），（3）设点m（a，a2+2a+3）若点m在x轴上方，如图2，过点m作mny轴于点n，过点d作dfx轴于点feabocb45°，daemcbmcndafmcndaf，即a1，a20（舍去）m（ ，），若点m在x轴下方，如图3，过点m作mny轴于点n，过点d作

26、dfx轴于点feabocb45°，daemcbmcnadfmcnadf，即a14，a20（舍去）m（4，5）综上所述，m（ ，）或m（4，5）9（2009武汉）如图，抛物线yax2+bx4a经过a（1，0）、c（0，4）两点，与x轴交于另一点b（1）求抛物线的解析式；（2）已知点d（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点d关于直线bc对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接bd，点p为抛物线上一点，且dbp45°，求点p的坐标【解析】方法一：解：（1）抛物线yax2+bx4a经过a（1，0）、c（0，4）两点，解得，抛物线的解析式为yx2+3x+4；（2）点d（m，m+

27、1）在抛物线上，m+1m2+3m+4，即m22m30m1或m3点d在第一象限点d的坐标为（3，4）由（1）知ocobcba45°设点d关于直线bc的对称点为点ec（0，4）cdab，且cd3ecbdcb45°e点在y轴上，且cecd3oe1e（0，1）即点d关于直线bc对称的点的坐标为（0，1）；（3）方法一：作pfab于f，debc于e，由（1）有：oboc4obc45°dbp45°cbdpbac（0，4），d（3，4）cdob且cd3dcecbo45°deceoboc4bc4bebccetanpbftancbd设pf3t，则bf5t，of5

28、t4p（5t+4，3t）p点在抛物线上3t（5t+4）2+3（5t+4）+4t0（舍去）或tp（，）；方法二：过点d作bd的垂线交直线pb于点q，过点d作dhx轴于h，过q点作qgdh于g，pbd45°，qddb，qdg+bdh90°，又dqg+qdg90°，dqgbdh，qdgdbh，qgdh4，dgbh1由（2）知d（3，4），dh4，oh3hgoh3，qgdh4，qfqggf431q（1，3）b（4，0）直线bq的解析式为yx+，解方程组，得，点p的坐标为（，）方法二：（1）略（2）点d（m，m+1）在抛物线上，m+1m2+3m+4，即m22m30m1或m3

29、点d在第一象限点d的坐标为（3，4）b（4，0），c（0，4），lbc：yx+4，d，e关于bc对称，debc，de与bc的交点f为de的中点，kde×kbc1，kbc1，kde1，lde：yx+1，lbc：yx+4，lde与lbc的交点f（，），fx，fy，e（0，1）（3）过点d作直线bf的垂线，垂足为h，设点h（a，b），dbp45°，dhb为等腰三角形，点b可视为点d绕点h顺时针旋转90°而成，将点h平移至原点得点h，则点d（3，4）平移后为d（3a，4b），将点d顺时针旋转90°，则点b（4b，a3），将h平移至h，则b平移后即为点b（4+ab

30、，a+b3），b（4，0），4+ab4，a+b30，ab，h（，），p在直线bh上，kbh，lbh：yx，点p的坐标为（，）10（2020青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，对称轴为直线x2，点a的坐标为（1，0）（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；（2）点p为抛物线上一点（不与点a重合），联结pc当pcbacb时，求点p的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点d，点p的对应点为点q，当oddq时，求抛物线平移的距离【解析】（1）对称轴为直线x2，点a的坐标为（1，0），点b

31、的坐标是（3，0）将a（1，0），b（3，0）分别代入yx2+bx+c，得解得则该抛物线解析式是：yx24x+3由yx24x+3（x2）21知，该抛物线顶点坐标是（2，1）；（2）如图1，过点p作pnx轴于n，过点c作cmpn，交np的延长线于点m，con90°，四边形conm是矩形cmn90°，comn、yx24x+3，c（0，3）b（3，0），oboc3cob90°，ocbbcm45°又acbpcb，ocbacbbcmpcb，即ocapcmtanocatanpcm故设pma，mc3a，pn3ap（3a，3a），将其代入抛物线解析式yx24x+3，得（

32、3a）24（3a）+33a解得a1，a20（舍去）p（，）（3）设抛物线平移的距离为m，得y（x2）21md（2，1m）如图2，过点d作直线efx轴，交y轴于点e，交pq延长线于点f，oedqfdodq90°，eod+ode90°，ode+qdp90°eodqdftaneodtanqdf，解得m故抛物线平移的距离为11（2017咸宁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，其对称轴交抛物线于点d，交x轴于点e，已知oboc6（1）求抛物线的解析式及点d的坐标；（2）连接bd，f为抛物线上一动点，当fabedb时，求点f的坐标；（3）平行于

33、x轴的直线交抛物线于m、n两点，以线段mn为对角线作菱形mpnq，当点p在x轴上，且pqmn时，求菱形对角线mn的长【解析】（1）oboc6，b（6，0），c（0，6），解得，抛物线解析式为yx22x6，yx22x6（x2）28，点d的坐标为（2，8）；（2）如图1，过f作fgx轴于点g，设f（x，x22x6），则fg|x22x6|，在yx22x6中，令y0可得x22x60，解得x2或x6，a（2，0），oa2，则agx+2，b（6，0），d（2，8），be624，de8，当fabedb时，且fgabed，fagbde，即，当点f在x轴上方时，则有，解得x2（舍去）或x7，此进f点坐标为（7，）；当点f在x轴下方时，则有，解得x2（舍去）或x5，此进f点坐标为（5，）；综上可知f点的坐标为（7，）或（5，）；（3）点p在x轴上，由菱形的对称性可知