《中考课件初中数学总复习资料》类型二 阶梯费用类问题（解析版）

1、类型二类型二 阶梯费用类问题阶梯费用类问题例 1某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80元经市场调查，每天的销售量 y(kg)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：售价 x(元/kg)506070销售量 y(kg)1008060(1)求 y 与 x 之间的函数表达式；(2)设商品每天的总利润为 w(元)，求 w 与 x 之间的函数表达式(利润收入成本)；(3)试说明(2)中总利润 w 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】 （1）y2x200(40 x80)；（2）w=2x2280

2、x8 000(40 x80)；（3）当 x70 时，利润 w 取得最大值，最大值为 1 800 元【解析】(1)根据题意，设 ykxb，其中 k，b 为待定的常数，由表中的数据得50kb100，60kb80，解得k2，b200，y2x200(40 x80)；(2)根据题意得 wy (x40)(2x200)(x40)2x2280 x8 000(40 x80)；(3)由(2)可知：w2(x70)21 800，当售价 x 在满足 40 x70 的范围内，利润 w随着x的增大而增大； 当售价在满足 70 x80的范围内， 利润w随着 x的增大而减小 当 x70 时，利润 w 取得最大值，最大值为 1

3、800 元例 2襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品已知研发、生产这种产品的成本为 30 元/件，且年销售量 y(万件)关于售价 x(元/件)的函数表达式为：y2x140（40 x60） ，x80（60 x70）.(1)若企业销售该产品获得的年利润为 w(万元)， 请直接写出年利润关于售价 x(元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价 x(元/件)为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？(3)若企业销售该产品的年利润不少于 750 万元，试确定该产品的售价 x(元/件)的取值范围【答案】 （1）w2x2200 x4 200（40 x60） ，x21

4、10 x2 400（60 x70） ；（2）800 万（3）45x55.【解析】(1)w2x2200 x4 200（40 x60） ，x2110 x2 400（60 x70） ；(2)由(1)知，当 40 x60 时，w2(x50)2800.2600，w 最大值为 800 万元答：当该产品的售价定为 50 元/件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为 800 万元；(3)当 40 x60 时，令 w750，得2(x50)2800750，解得 x145，x255.由函数 w2(x50)2800 的性质可知，当 45x55 时，w750，当 60 x70 时，w 最大值为 600750.答：要使企

5、业销售该产品的年利润不少于 750 万元，该产品的销售价 x(元/件)的取值范围为 45x55.例 3荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销售 旺 季 的 80 天 里 ， 销 售 单 价 p( 元 /kg) 与 时 间 第 t 天 之 间 的 函 数 关 系 为 p 14t16（1t40，t 为整数） ，12t46（41t80，t 为整数） ，日销售量 y(kg)与时间第 t 天之间的函数关系如图 331 所示(1)求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式？(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于 2 400

6、元？(4)在实际销售的前 40 天中，该养殖户决定每销售 1 kg 小龙虾，就捐赠 m(m7)元给村里的特困户在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 t 的增大而增大，求m 的取值范围【答案】 （1）y2t200(1t80，t 为整数)； （2）w(p6)y（3）21 天（4）5m7.【解析】 (1)根据函数图象，利用待定系数法求解可得；(2)设日销售利润为 w，分 1t40 和 41t80 两种情况，根据“总利润每千克利润销售”列出函数表达式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；(3)求出 w2 400 时 x 的值，结合函数图象即可得出答案；(4)依据(2)中相等关系列出函

7、数表达式，确定其对称轴，由 1t40 且销售利润随时间 t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案解：(1)设函数表达式为 yktb，将(1，198)，(80，40)代入，得198kb，4080kb，解得k2，b200，y2t200(1t80，t 为整数)；(2)设日销售利润为 w，则 w(p6)y，当 1t40 时，w14t166(2t200)12(t30)22 450，当 t30 时，w最大2 450；当 41t80 时，w12t466(2t200)(t90)2100，当 t41 时，w最大2 301，2 4502 301，第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2 450 元；(3)由

8、(2)得当 1t40 时，w12(t30)22 450，令 w2 400，即12(t30)22 4502 400，解得 t120，t240，由函数 w12(t30)22 450 的图象(如答图)可知，当 20t40 时，日销售利润不低于2 400 元，图 331第 3 题答图而当 41t80 时，w最大2 3012 400，t 的取值范围是 20t40，共有 21 天符合条件；(4)设日销售利润为 w，根据题意，得w14t166m(2t200)12t2(302m)t2 000200m，其函数图象的对称轴为 t2m30，w 随 t 的增大而增大，且 1t40，由二次函数的图象及其性质可知 2m3

9、040，解得 m5，又m7，5m7.例 4小慧和小聪沿图 332中景区公路游览小慧乘坐车速为 30 km/h 的电动汽车，早上 7：00 从宾馆出发，游玩后中午 12：00 回到宾馆小聪骑车从飞瀑出发前往宾馆，速度为 20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午 10：00 小聪到达宾馆图中的图象分别表示两人离宾馆的路程 s(km)与时间 t(h)的函数关系试结合图中信息回答：图 332(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？(2)试求线段 ab，gh 的交点 b 的坐标，并说明它的实际意义；(3)如果小聪到达宾馆后，立即以 30 km/h 的速度按原路返回，那么返回途中

10、他几点钟遇见小慧？【答案】 （1）7:30（2）如下（3）11:00【解析】(1)小聪从飞瀑到宾馆所用的时间为 50202.5(h)，小聪上午 10：00 到达宾馆，小聪从飞瀑出发的时刻为 102.57.5，即 7：30.答：小聪早上 7：30 从飞瀑出发；(2)设直线 gh 的函数表达式为 sktb，由于点 g 的坐标为12，50，点 h 的坐标为(3，0)，则有5012kb，03kb，解得k20，b60，直线 gh 的函数表达式为 s20t60，又点 b 的纵坐标为 30，当 s30 时，得20t6030，解得 t32，点 b 的坐标为32，30.答：点 b 的实际意义是上午 8：30 小

11、慧与小聪在离宾馆 30km(即景点草甸)处第一次相遇；(3)方法一：设直线 df 的函数表达式为 sk1tb1，该直线过点 d 和 f(5，0)，由于小慧从飞瀑回到宾馆所用时间为 503053(h)，小慧从飞瀑准备返回时 t553103(h)，即点 d 的坐标为103，50.则有103k1b150，5k1b10，解得k130，b1150.直线 df 的函数表达式为 s30t150，小聪上午 10： 00 到达宾馆后立即以 30 km/h 的速度返回飞瀑，所需时间为 503053(h)如答图，hm 为小聪返回时 s 关于 t 的函数图象，第 4 题答图点 m 的横坐标为 353143，m143，

12、50，设直线 hm 的函数表达式为 sk2tb2，该直线过点 h(3，0)和 m143，50，则有50143k2b2，03k2b2，解得 k230，b290.直线 hm 的函数表达式为 s30t90，由 30t9030t150，解得 t4，即 11：00.答：小聪返回途中上午 11：00 遇见小慧；方法二：如答图，过点 e 作 eqx 轴于点 q，由题意，可得点 e 的纵坐标为两人相遇时距宾馆的路程，又两人速度均为 30 km/h，该路段两人所花时间相同，即 hqqf，点 e 的横坐标为 4.答：小聪返回途中上午 11：00 遇见小慧例 5月电科技有限公司用 160 万元，作为新产品的研发费用

13、，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为 4 元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 y(万件)与销售价格 x(元/件)的关系如图 333 所示，其中 ab 为反比例函数图象的一部分，bc 为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为 w(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损记做下一年的成本)图 333(1)请求出 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式(2)求出第一年这种电子产品的年利润 w(万元)与 x(元/件)之间的函数关系式， 并求出第一年年利润的最大值(3)假设公司的这种电子产品

14、第一年恰好按年利润 w(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 x(元)定在 8 元以上(x8)，当第二年的年利润不低于 103 万元时，请结合年利润 w(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，求销售价格 x(元/件)的取值范围【答案】 （1）y160 x（4x8） ，x28（8x28） ；（2）当每件的销售价格定为 16 元时，第一年的年利润的最大值为16 万元 （3）当 11x21 时，第二年的年利润 w 不低于 103 万元【解析】 (1)求 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式，结合图象，是一个分段函数，已知点坐标，运用待

15、定系数法可求；(2)根据“年利润年销售量每件的利润成本(160万元)”， 可求出年利润w(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，但要注意的是和第(1)问一样是分段函数，根据每段的函数特征分别求出最大值，再比较这两个数值的大小，从而确定第一年的年利润的最大值；(3)根据条件“第二年的年利润不低于 103 万元”， 可得 w103， 这是一个一元二次不等式，观察年利润 w(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，从而得出结果解：(1)当 4x8 时，设 ykx，将 a(4，40)代入，得k440160.y 与 x 之间的函数关系式为 y160 x.当 8x28 时， 设 ykxb， 将 b(8

16、， 20)， c(28， 0)代入， 得8kb20，28kb0.解得k1，b28.y 与 x 之间的函数关系式为 yx28.综上所述，得 y160 x（4x8） ，x28（8x28） ；(2)当 4x8 时，w(x4)y160(x4)160 x160640 x.w 随着 x 的增大而增大，当 x8 时，wmax640880.当 8x28 时，w(x4)y160 (x4)(x28)160 x232x272(x16)216.当 x16 时，wmax16.1680，当每件的销售价格定为 16 元时，第一年的年利润的最大值为16 万元(3)第一年的年利润为16 万元16 万元应作为第二年的成本又x8，

17、第二年的年利润 w(x4)(x28)16x232x128，令 w103，则x232x128103，解得 x111，x221.在平面直角坐标系中，画出 w 与 x 的函数示意图如答图，观察示意图可知：当 w103时，11x21.当 11x21 时，第二年的年利润 w 不低于 103 万元例 6某水果店在两周内，将标价为 10 元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1 元/斤，并且两次降价的百分率相同(1)求该种水果每次降价的百分率；(2)从第一次降价的第 1 天算起， 第 x 天(x 为正数)的售价、 销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示已知该种水果的进价为 4.1 元/斤，设销售该水

18、果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y 与 x(1x15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间 x(天)1x99x15x15售价(元/斤)第 1 次降价后的价格第 2 次降价后的价格销量(斤)803x120 x储存和损耗费用(元)403x3x264x400(3)在(2)的条件下，若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元，则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元？【答案】 （1）10（2）10（3）0.5 元【解析】 (1)设该种水果每次降价的百分率为 x，则第一次降价后的价格为 10(1x)，第二次降价后的价格为 10(1x)2，进而可得方程；(2)分两种情