《初中数学总复习资料》必备数学第一部分第三章第2节

1、第一部分教材梳理第三章函数第三章函数第第2节一次函数节一次函数知识梳理知识梳理概念定理概念定理 1. 一次函数的概念一次函数的概念（1）一般地，如果y=kx+b（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数一次函数.（2）特别地，当一次函数y=kx+b中的b为0 0时，y=kx（k为常数，k0）.这时，y叫做x的正比例函数正比例函数.2. 一次函数的图象：一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线.3. 一次函数图象的主要特征：一次函数图象的主要特征：一次函数y=kx+b的图象是经过经过点（点（0 0，b b）的直线）的直线；正比例函数y=kx的图象是经过原点（经过原点（0 0，0 0）的

2、直线）的直线.4. 正比例函数的性质正比例函数的性质一般地，正比例函数y=kx有下列性质：（1）当k0时，图象经过第一、三一、三象限，y随x的增大而增大增大，图象从左至右上升上升.（2）当k0时，y随x的增大而增大增大.（2）当k0时，直线与y轴交点在y轴正半轴上正半轴上.（4）当b0或axb0的解集为函数y=kxb的图象在x x轴上方轴上方的点所对应的自变量x的值；不等式kxb0的解集为函数y=kxb的图象在x轴下方的点所对应的自变量x的值.5. 一次函数的应用：一次函数的应用：一次函数的实际应用问题，一般要根据题目所给的信息列出一次函数关系式，并从实际意义中找到对应的变量的值，再利用待定系

3、数法待定系数法求出函数的解析式.中考考点精讲精练中考考点精讲精练考点1一次函数的图象和性质5年1考：2013年(选择题)典型例题典型例题1. (2017泰安)已知一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是 ( )a. k2，m0 b. k2，m0c. k2，m0 d. k0，m0a2. 关于直线l：y=kx+k(k0)，下列说法不正确的是 ( )a. 点(0，k)在l上b. l经过定点(-1，0)c. 当k0时，y随x的增大而增大d. l经过第一、二、三象限3. 一次函数y=6x+1的图象不经过 ( )a. 第一象限 b. 第二象限

4、c. 第三象限 d. 第四象限dd4. 若k0，b0，则y=kx+b的图象可能是 ( )b考点演练考点演练5. 对于函数y=2x-1，下列说法正确的是 ( )a. 它的图象过点(1，0)b. y值随着x值增大而减小c. 它的图象经过第二象限d. 当x1时，y06. 一次函数y=-2x+3的图象不经过的象限是 ( )a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限dc7. 若一次函数y=(2-m)x-2的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ( )a. m0 b. m0 c. m2 d. m28. 一次函数y=kx-k(k0)的图象大致是 ( )da考点点拨：考点点拨：本考点是广东

5、中考的高频考点，题型一般为选择题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握一次函数的图像与系数的关系. 注意以下要点：(1)当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；(2)当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；(3)当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；(4)当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小.考点考点2用待定系数法求一次函数的解析式用待定系数法求一次函数的解析式5年2考：2014年(解答题)、2016(

6、解答题)典型例题典型例题1. 设一次函数y=kx+b(k0)的图象经过a(1，3),b(0，-2)两点，试求k，b的值.解：把解：把a(1，3),b(0，-2)代入代入y=kx+b,得得 k+b=3, b=-2. 解得解得 k=5, b=-2. 故故k，b的值分别为的值分别为5，-2. 2. 如图1-3-2-1，一次函数y=kx+3的图象经过点a(1，4). (1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点b(-1，5),c(0，3),d(2，1)是否在这个一次函数的图象上. 解：解：(1)由题意，得由题意，得k+3=4. 解得解得k=1. 所以该一次函数的解析式是所以该一次函数的解析式是y=x+

7、3. (2)由由(1)知，一次函数的解析式是知，一次函数的解析式是y=x+3. 当当x=-1时，时，y=2，即点，即点b(-1，5)不在该一次函数图象上；不在该一次函数图象上；当当x=0时，时，y=3，即点，即点c(0，3)在该一次函数图象上；在该一次函数图象上；当当x=2时，时，y=5，即点，即点d(2，1)不在该一次函数的图象上不在该一次函数的图象上. 考点演练考点演练3. 已知：一次函数y=kx+b的图象经过m(0，2)，n(1，3)两点. (1)求k,b的值；(2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为a(a，0)，求a的值. 解：解：(1)由题意由题意,得得 b=2, k+b=3.

8、 解得解得 k=1, b=2. k，b的值分别是的值分别是1，2. (2)将将k=1，b=2代入代入y=kx+b,得得y=x+2. 点点a(a，0)在在 y=x+2的图象上，的图象上，0=a+2，即即a=-2. 4. 正比例函数y=kx的图象和一次函数y=ax+b的图象都经过点a(1，2)，且一次函数的图象交x轴于点b(4，0). 求正比例函数和一次函数的表达式. 解：由正比例函数解：由正比例函数y=kx的图象过点的图象过点(1，2)，得得k=2. 所以正比例函数的表达式为所以正比例函数的表达式为y=2x. 由一次函数由一次函数y=ax+b的图象经过点的图象经过点(1，2)和和(4，0),得得

9、 a+b=2, 4a+b=0. 解得解得 a= - ， b= . 一次函数的表达式为一次函数的表达式为y=- x+ .32383238考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题或者选择题，难度简单. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握待定系数法求一次函数的关系式. 注意以下要点：(1)先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；(2)将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.考点考点3一次函数与方程、不等式的关系一次函数与方程、不等式的关系(5年未

10、考)典型例题典型例题1. 如图1-3-2-2，直线y=ax+b过点a(0，2)和点b(-3，0)，则方程ax+b=0的解是 ( )a. x=2b. x=0c. x=-1d. x=-3 d2. (2017菏泽)如图1-3-2-3，函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点a(m，2)，则关于x的不等式-2xax+3的解集是 ( )a. x2 b. x2c. x-1 d. x-1d4. 如图1-3-2-4，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2交于点a，则方程组 的解是( )a. b. c. d.3. 已知直线l1：y=-3x+b与直线l2：y=-kx+1在同一坐标系中

11、的图象交于点(1，-2)，那么方程组 的解是 ( )a. b. c. d.aa考点演练考点演练5. 一次函数y=kx+b的图象如图1-3-2-5所示，则方程kx+b=0的解为 ( )a. x=2 b. y=2c. x=-1 d. y=-16. 如图1-3-2-6，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点p(1，3)，则关于x的不等式x+bkx+4的解集是( )a. x-2 b. x0c. x1 d. x1cc7. 关于x的一次函数l1：y1=k1x+b1，l2：y2=k2x+b2的图象如图1-3-2-7所示，则y1y2的解集表示在数轴上为 ( )b8. 如图1-3-2-8，以两

12、条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )c考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握一次函数与二元一次方程之间的互换. 注意以下要点：一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.考点考点4一次函数的应用一次函数的应用(5年未考)典型例题典型例题1. (2017黔西南州)赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午

13、节期间进行划龙舟比赛，从起点a驶向终点b，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y(h)与时间x(min)的对应关系如图1-3-2-9所示，请结合图象解答下列问题：(1)起点a与终点b之间相距多远？(2)哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？(3)分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；(4)甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200 m？解：解：(1)(1)由图可知，起点由图可知，起点a a与终点与终点b b之间相距之间相距3 000 m. 3 000 m. (2)(2)由图可知，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点由图可知，甲龙舟队先出发，乙龙舟队先到达终点. . (3)(3)设甲龙舟队的设甲

14、龙舟队的y y与与x x函数关系式为函数关系式为y=kxy=kx，把把(25(25，3 000)3 000)代入，可得代入，可得3 000=25k. 3 000=25k. 解得解得k=120. k=120. 甲龙舟队的甲龙舟队的y y与与x x函数关系式为函数关系式为y=120 x(0 x25). y=120 x(0 x25). 设乙龙舟队的设乙龙舟队的y y与与x x函数关系式为函数关系式为y=ax+by=ax+b，把把(5(5，0)0)，(20(20，3 000)3 000)代入，可得代入，可得 0=5a+b, 0=5a+b, 解得解得 a=200, a=200, 3 000=20a+b.

15、 3 000=20a+b. b=-1 000.b=-1 000. 乙龙舟队的乙龙舟队的y y与与x x函数关系式为函数关系式为y=200 x-1 000(5x20). y=200 x-1 000(5x20). (4)(4)令令120 x=200 x-1 000120 x=200 x-1 000，可得，可得x=12x=12. .5 5，即当即当x=12x=12. .5 5时，两龙舟队相遇，时，两龙舟队相遇，当当x x5 5时，令时，令120 x=200120 x=200，则，则x= (x= (符合题意符合题意) )；当当5x5x1212. .5 5时，令时，令120 x-(200 x-1 000

16、)=200120 x-(200 x-1 000)=200，则，则x=10(x=10(符合符合题意题意) )；当当1212. .5 5x20 x20时，令时，令200 x-1 000-120 x=200200 x-1 000-120 x=200，则，则x=15(x=15(符合题符合题意意) )；当当2020 x25x25时，令时，令3 000-120 x=2003 000-120 x=200，则，则x= (x= (符合题意符合题意) )；综上所述，甲龙舟队出发综上所述，甲龙舟队出发 min min或或10 min10 min或或15 min15 min或或 min min时，时，两支龙舟队相距两

17、支龙舟队相距200 m.200 m.35370353702. (2017长春)甲、乙两车间同时开始加工一批服装. 从开始加工到加工完这批服装甲车间工作了9 h，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止. 设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y(件). 甲车间加工的时间为x(h)，y与x之间的函数图象如图1-3-2-10所示. (1)甲车间每小时加工服装件数为_件；这批服装的总件数为_件; (2)求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；(3)求甲、乙两车间共同加工完1 000件服装时甲车间所用的时间. 808

18、01 1401 140解：解：(2)乙车间每小时加工服装件数为乙车间每小时加工服装件数为1202=60(件件)，乙车间修好设备的时间点为乙车间修好设备的时间点为9-(420-120)60=4(h). 乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与与x之间的函之间的函数关系式为数关系式为y=120+60(x-4)=60 x-120(4x9). (3)(3)甲车间加工服装数量甲车间加工服装数量y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=80 xy=80 x，当当80 x+60 x-120=1 00080 x+60 x-120=1 000时，时，x=8. x

19、=8. 答：甲、乙两车间共同加工完答：甲、乙两车间共同加工完1 0001 000件服装时甲车间所用的件服装时甲车间所用的时间为时间为8 h. 8 h. 3. a，b两地相距60 km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发，如图1-3-2-11，l1，l2表示两人离a地的距离s(km)与时间t(h)的关系，请结合图象解答下列问题：(1)表示乙离a地的距离与时间关系的图象是_(填l1或l2)；甲的速度是_km/h，乙的速度是_km/h；(2)甲出发多少小时两人恰好相距5 km？l l2 230302020解：解：(2)(2)设甲出发设甲出发x hx h两人恰好相距两人恰好相距5 km. 5 km

20、. 由题意由题意, ,得得30 x+20(x-030 x+20(x-0. .5)+5=605)+5=60或或30 x+20(x-030 x+20(x-0. .5)-5=60. 5)-5=60. 解得解得x=1x=1. .3 3或或1 1. .5. 5. 答：甲出发答：甲出发1 1. .3 h3 h或或1 1. .5 h5 h两人恰好相距两人恰好相距5 km. 5 km. 4. 某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg. 现用这两种原料生产出a，b两种产品共30件. 已知生产每件a产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件a产品可获利700元；生产每件b产品需甲种原料3 kg，乙

21、种原料6 kg，且每件b产品可获利900元. 设生产a产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产a，b两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润. 解：解：(1)(1)根据题意根据题意, ,得得 5x+3(30-x)130, 5x+3(30-x)130, 4x+6(30-x)144. 4x+6(30-x)144. 解得解得18x20. 18x20. xx是正整数，是正整数，x=18,19,20. x=18,19,20. 共有三种方案：共有三种方案：方案一方案一a a产品产品1818件，

22、件，b b产品产品1212件件; ;方案二方案二a a产品产品1919件，件，b b产品产品1111件件; ;方案三方案三a a产品产品2020件，件，b b产品产品1010件件. . (2)(2)根据题意根据题意, ,得得y=700 x+900(30-x)=-200 x+27 000. y=700 x+900(30-x)=-200 x+27 000. -200-2000 0，yy随随x x的增大而减小的增大而减小. . x=18x=18时，时，y y有最大值有最大值. . y y最大最大=-200=-20018+27 000=23 400(18+27 000=23 400(元元). ). 答

23、：利润最大的方案是方案一答：利润最大的方案是方案一, ,即即a a产品产品1818件，件，b b产品产品1212件，件，最大利润为最大利润为23 40023 400元元. .考点点拨：考点点拨：本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握建立函数模型的方法. 注意以下要点：1. 分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际. 2. 函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数. 3. 概括整

24、合(1)简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用. (2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.广东中考广东中考1. (2016广州)若一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是 ( )a. ab0 b. a-b0 c. a2+b0 d. a+b02. (2014茂名)一次函数y=x+2的图象不经过的象限是 ( )a. 一 b. 二 c. 三 d. 四3. (2014汕尾)已知直线y=kx+b，若k+b=-5，kb=6，那么该直线不经过 ( )a. 第一象限 b. 第二象限c. 第三象限 d. 第四象限cda4. (2014广州)已知正比例函数

25、y=kx(k0)的图象上两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1x2，则下列不等式中恒成立的是 ( )a. y1+y20 b. y1+y20c. y1-y20 d. y1-y205. (2015广州)某水库的水位在5 h内持续上涨，初始的水位高度为6 m，水位以每小时0.3 m的速度匀速上升，则水库的水位高度y(m)与时间x(h)(0 x5)的函数关系式为_. cy=0y=0. .3x+63x+66. (2013茂名)如图1-3-2-12，三个正比例函数的图象分别对应表达式：y=ax，y=bx，y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“”连接为_.7. (2013广州)一次函数y=(m+2

26、)x+1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是_. a ac cb bm m-2-28. (2016深圳)荔枝是深圳的特色水果，小明的妈妈先购买了2 kg桂味和3 kg糯米糍，共花费90元；后又购买了1 kg桂味和2 kg糯米糍，共花费55元. (每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米糍的售价分别是每千克多少元?(2)如果还需购买两种荔枝共12 kg，要求糯米糍的数量不少于桂味数量的2倍，请设计一种购买方案，使所需总费用最低. 解：解：(1)设桂味的售价为每千克设桂味的售价为每千克x元，糯米糍的售价为每千克元，糯米糍的售价为每千克y元，元，根据题意根据题意,得得 2x+3y=90, x

27、+2y=55.解得解得 x=15, y=20. 答：桂味的售价为每千克答：桂味的售价为每千克15元，糯米糍的售价为每千克元，糯米糍的售价为每千克20元元. (2)(2)设购买桂味设购买桂味t kgt kg，总费用为，总费用为w w元，则购买糯米糍元，则购买糯米糍(12-t)kg(12-t)kg，根据题意根据题意, ,得得12-t2t. 12-t2t. t4. t4. w=15t+20(12-t)=-5t+240w=15t+20(12-t)=-5t+240，-5-50,0,ww随随t t的增大而减小的增大而减小. . 当当t=4t=4时，时，w w的最小值的最小值=220(=220(元元) )，

28、此时，此时12-4=8. 12-4=8. 答：购买桂味答：购买桂味4 kg4 kg，糯米糍，糯米糍8 kg8 kg时，所需总费用最低时，所需总费用最低. . 9. (2016茂名)某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，下表是活动计划书的部分信息：(1)陈经理查看计划数时发现：a类图书的标价是b类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买a类图书的数量恰好比单独购买b类图书的数量少10本，请求出a,b两类图书的标价；(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，a类图书每本标价降低a元(0a5)销售，b类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？“读书节”活动计划书书本类别a类b类进价(单位：元)1812备注1. 用不超过16 800元购进a,b两类图书共1 000本；2. a类图书不少于600本；解：解：(1)(1)设设b b类图书的标价为类图书的标价为x x元，则元，则a