利用空间向量求空间角训练题

1、利用空间向量求空间角训练题一、题点全面练1.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，已知 M，N 分别是 BD 和 AD的中点，则 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为()A.C.30303010B.D.30151515为 2，则 B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)， B1M (1，1，2)，  D1N (1,0，2)，解析：选 C建立如图所示的

2、空间直角坐标系设正方体的棱长| B1M · D1N | B1M |·| D1N | B1M与D1N所 成 角 的 余 弦 值 为    114×   14  10|14|30.2如图，已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中，ADAA11，AB3，E1为线段 AB 上

3、一点，且 AE3AB，则 DC1 与平面 D1EC 所成角的正弦值为()A.3 3535B.2 77C.33D.24 DC1 (0,3,1)，   D1E (1,1，1)，  D1C (0,3，1)解析：选 A如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C1(0,3,1)，D1(0,0

4、,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，设平面 D1EC 的法向量为 n(x，y，z)，ìïn·0，D1Eïîn·0，则íD1Cìïxyz0，即íîï3yz0，取 y1，得 n(2,1,3)cos  DC1 ·n  3   35         

5、35DC1 ，n              ，| DC1 |·|n|3 35DC1 与平面 D1EC 所成的角的正弦值为 35.3在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA12，二面角 B AA1 C1 的大小为 60°，点 B 到平面 ACC1A1

6、的距离为 3，点 C 到平面 ABB1A1 的距离为 2 3，则直线 BC1 与直线 AB1 所成角的正切值为()A. 7C. 5B. 6D2则 AB1 · BC1 ( BB1  BA )·( BB1  BC )4，| AB1 |2   2，| BC1

7、0;|4，解析：选 A由题意可知，BAC60°，点 B 到平面 ACC1A1 的距离为 3，点 C 到平面ABB1A1 的距离为 2 3，所以在三角形 ABC 中，AB2，AC4，BC2 3，ABC90°，AB1 · BC    2AB1 ， BC1       4AB1

8、0;， BC1    7.cos故   | AB1 |·| BC |  ，4.如图，正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长都相等，E，F，G 分别为AB，AA1，A1C1 的中点，则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为()A.35B.56C.3   3D. 3   61010解析

9、：选 A设正三棱柱的棱长为 2，取 AC 的中点 D，连接 DG，DB，分别以 DA，DB，DG 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B1(0， 3，2)，F(1,0,1)，0÷，G(0,0,2)，æEç1，è23  ö2   øB1F    1，  &#

10、160;3，1)， EF ç  ，  (   æ1     3  ö  ，1÷， GF (1,0，1)2è2ø设平面 GEF 的法向量 n(x，y，z)，ìï1xìï EF ·n0，则íïî GF&#

11、160;·n0，3yz0，即í2 2ïîxz0，取 x1，则 z1，y 3，故 n(1， 3，1)为平面 GEF 的一个法向量，13135×   5所以 cosn， B1F 5，3所以 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为5.5在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点

12、，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为()A.12B.23C.    3D.    232则 A1(0,0,1)，Eç1，0， ÷，D(0,1,0)， A1D (0,1，1)，A1E ç1，0， ÷，解析：选 B以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，设棱长为 1，æ

13、;1öè2ø æ1öè2ø设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1，y，z)，ìïn ·0，1A1Dïîn ·0，ïî  2则í1 A1Eìïyz0，即í  11 z0，ìïy2，íîïz2，n1(1,2,2)又平面 ABCD&

14、#160;的一个法向量为 n2(0,0,1)，22  cosn1，n23×13.2即平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为3.6如图，菱形 ABCD 中，ABC60°，AC 与 BD 相交于点 O，AE平面 ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线 OF 与平面 BED 所成的角为 45°，a)， OF (1,0,3)， DB

15、 (0,2   3，0)，   EB (1，   3，则 AE_.解析：如图，以 O 为坐标原点，以 OA，OB 所在直线分别为 x 轴，y 轴，以过点 O 且平行于 CF 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系设 AEa，则 B(0， 3，0)，D(0， 3，0)，F(1,0,3)，E(1,0，a)设平面

16、60;BED 的法向量为 n(x，y，z)，ìïn· DB 0，则íïîn· EB 0，ì2 3y0，即íîx 3yaz0，n· OF      a3cosn， OF            a21×&

17、#160;  10则 y0，令 z1，得 xa，n(a,0,1)，|n| OF |直线 OF 与平面 BED 所成角的大小为 45°，.2|a3| 2  ，a21× 10解得 a2 或 a  (舍去)，AE2.OE (1，1,0)， OF (0，1,1)，12答案：27.如图，已知四棱锥 PABCD 的底面 

18、ABCD 是等腰梯形，ABCD，且 ACBD，AC 与 BD 交于 O，PO底面 ABCD，PO2，AB2 2，E，F分别是 AB，AP 的中点，则二面角 FOEA 的余弦值为_解析：以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，由题知，OAOB2，则 A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，

19、E(1，1,0)，F(0，1,1)，设平面 OEF 的法向量为 m(x，y，z)，ìïm· OE 0，则íïîm· OF 0，ìïxy0即íîïyz0.令 x1，可得 m(1,1,1)则 cosm，n   m·n|m|n|  3易知平面 OAE 的一个法向量为 n(0,0,1)，3.由图知

20、二面角 F OE A 为锐角，所以二面角 F OE A 的余弦值为33.答案：    3(2)以 D 为坐标原点，   DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示AM (2，1,1)， AB (0,2,0)， DA (2,0,0)38(2018·全国卷)如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平

21、面与半圆弧 C D 所在平面垂直，M 是 C D 上异于 C，D 的点(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)当三棱锥 M ABC 体积最大时，求平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值解：(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.因为 BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，又 DM平面&

22、#160;CMD，所以 BCDM.因为 M 为 CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BMC.因为 DM平面 AMD，所以平面 AMD平面 BMC.的空间直角坐标系 D xyz.当三棱锥 M ABC 的体积最大时，M 为 CD 的ABCM中点由题设得 D(0,0,0)， (

23、2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (0,1,1)，设 n(x，y，z)是平面 MAB 的法向量，ìïn· AM 0，则íïîn· AB 0，ìï2xyz0，即íîï2y0.可取 n(1,0,2)，又 DA 是平面 MCD 的一个法向量，n· DA    

24、;5所以 cosn， DA          ，sinn， DA    .|n| DA |2 555所以平面 MAB 与平面 MCD 所成二面角的正弦值是   .所以 POAC，且 PO2   3.连接 OB，因为 ABBC   

25、 2 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB  AC2.(2)以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空AP (0,2,2   3)取平面 PAC 的一个法向量 OB (2,0,0)设 M(a,2a,0)(0a2)，则 AM (a,4a,0)2 559(2018·全国卷)如图，在三棱锥 P

26、0;ABC 中，ABBC2 2，PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点(1)证明：PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C 为 30°，求 PC 与平面 PAM所成角的正弦值解：(1)证明：因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点，212所以 PO2OB2PB2，所以 POOB.又因为 OBACO，所以

27、 PO平面 ABC.间直角坐标系 O xyz.由已知得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2 3)，设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z)，ìï AP ·n0，由íïî AM ·n0，ì2y2 3z0，得íîax  a y0，令 y 3a，得 

28、za，x 3(a4)，所以平面 PAM 的一个法向量为 n( 3(a4)，3a，a)，所以 cos OB ，n22 3  a2a   3a2a2 .由已知可得|cos OB ，n|cos  30°  ，32所以22 3|a4|a 23a2a232，解得 a  或 a4(舍去)所以 nç &

29、#160; ，   ， ÷.又 PC (0,2，2   3)，412·   641643æ8 34 34öè333ø8 38 333所以 cos PC ，n1633934.所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为34.以 O 为坐标原点， OB ，

30、0;OC ，   OA1 的方向分别为 x 轴，y 轴， OB (1,0,0)， BB1  AA1 (0，   3，   6)，   OB1  OB  BB1 (1，   3，   6)二、专项培优练素养专练学会更学通1直观想象、数学运算 如图，四棱

31、柱 ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD 是菱形，ACBDO，A1O底面 ABCD，AB2，AA13.(1)证明：平面 A1CO平面 BB1D1D；(2)若BAD60°，求二面角 B OB1 C 的余弦值解：(1)证明：A1O平面 ABCD，BD平面 ABCD，A1OBD.四边形 ABCD 是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面 A1CO.BD平面 BB1D1D，平面 A1CO平面 BB1

32、D1D.(2)A1O平面 ABCD，COBD，OB，OC，OA1 两两垂直，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系AB2，AA13，BAD60°，OBOD1，OAOC 3，2OA1 AA1OA2 6.则 O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0， 3，0)，A(0， 3，0)，A1(0,0， 6)，设平面 OBB1 的法向量为 n(x，y，z)，ïî·n0，ìï OB ·

33、n0，则íOB1ìx0，即íîx 3y 6z0.    n，m n·m|n|·|m|   3×   7  21令 y 2，得 z1，n(0， 2，1)是平面 OBB1 的一个法向量同理可求得平面 OCB1 的一个法向量 m( 6，0，1)，121，由图可知二面角 B&#

34、160;OB1 C 是锐二面角， 二面角 B OB1 C 的余弦值为 21.则 BC (a,2,0)， PC (a,1，1)2直观想象、数学运算如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，ADC90°，ABCD，AB2CD.平面 PAD平面 ABCD，PAPD，点 E 在 PC 上，DE平面 PAC.(1)求证：PA平面 

35、;PCD；(2)设 AD2，若平面 PBC 与平面 PAD 所成的二面角为 45°，求DE 的长解：(1)证明：由 DE平面 PAC，得 DEPA，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CDAD，所以 CD平面 PAD，所以 CDPA，又 CDDED，所以 PA平面 PCD.(2)取 AD 的中点 O，连接 PO，因为

36、60;PAPD，所以 POAD，又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PO平面 ABCD，以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，由(1)得 PAPD，由 AD2 得PAPD 2，PO1，设 CDa，则 P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，设 m(x，y，z)为平面 PBC 的法向量，ïîa

37、xyz0，  令 x2，则 ya，z3a，故 m(2，a,3a)ìïm· BC 0，由íïîm· PC 0，ìïax2y0，得í由(1)知 n DC (a,0,0)为平面 PAD 的一个法向量为平面 PBC 的一个法向量， CB (2   2，2,0)， AC (2&#

38、160;  2，4,0)， PA (0，4，4)         由|cosm，n|m·n|2a|                  |m|n|a   10a24255    PCD 中，PC，由等面积法可得 DECD·PD    PC3     cosABC.21010|，解得 a，即 CD，所以在 Rt2 1553.3直观想象，数学运算如图，在三棱锥 P ABC 中，平面 PAB平面 ABC，A