2022年01第一节二次型及其矩阵

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载第五章二次型在解析几何中,为了便于争论二次曲线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ax2的几何性质,可以挑选适当的坐标旋转变换bxycy21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载把方程化为标准形式x x cosy x siny sin y cos精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mx 2cy 21 .这类问题具有普遍性,在很多理论问题和实际问题中常会遇到,本章将把这类问题一般化,争论 n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节二次型及其矩阵内容分布图示二次型的定义二次型的矩阵形式例 1例 2例3线性变换例 4例

2、6例5矩阵的合同内容小结习题 5-1返回精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载内容要点：一.二次型的概念定义 1 含有 n 个变量x1、 x2 、222、 xn 的二次齐次函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f x1、 x2 、 xn a11 1a222a nn n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxx2a12 x1 x 22a23 x 2 x32an1、n xn2a1n x1 xn 2a 2 n x 2 xn1x n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称为 二次型 . 当 aijyyy222只争论实二次型.为复数时,f 称为复二次型；当aij为实

3、数时,f 称为实二次型.在本章中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载只含有平方项的二次型fk1 1k 22k nn称为 二次型的标准型或法式 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.二次型的矩阵精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2取 a jiaij、就 2aij xi x jaij xi x ja ji x j xi 、 于为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2f x1、 x 2 、 x n a11 1a12x1 x 2a1nx1x n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xna 21 x2 x1a222a 2 nx 2 x n精品学习资

4、料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a n1 x n x1nan 2 x n x 2ann x 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载i、 jaij x i x j1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1 a11 x1 x 2 a21x1a12 x 2a22 x2a1n xn a2n xn 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x n an1 x1an2 x 2a11 x1a12 x2ann xn a1n x

5、n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1、 x2 、 xn a21 x1a22 x2a2 n xn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1、 x2 、 xn an1x1a11 a21an2 x2a12 a22a1n a2nann xnx1 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1a11x t ax .a12an1a1 nan2annxn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2其中x、aa21a22a2n.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

6、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xnan1an2ann精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称 f xx t ax 为 二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵a 称为该二次型的矩阵.二次型f 称精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为实对称矩阵a 的二次型 . 实对称矩阵a 的秩称为二次型的秩. 于为,二次型f 与其实对称矩阵 a 之间有一一对应关系.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.线性变换定义 2 关系式x1c11 y1x2c21 y1c12 y c22 yc1n yn c2n yn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

7、 - - 欢迎下载xncn1 y1cn 2 ycnn yn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称为由变量x1、 x2 、 xn 到y1、 y2 、 yn 的线性变换 . 矩阵精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c11 c 21cc12 c22c1n c2n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cn1cn 2cnn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载称为线性变换矩阵. 当 | c |0 时,称该线性变换为可逆线性变换.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于一般二次型f x x t ax、我们的问题为：

8、寻求可逆的线性变换xcy 将二次型精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载化为标准型,将其代入得f x x t axcy t acy y t c t acy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载这里,yt c t ac y为关于y1 、 y2 、 yn的二次型,对应的矩阵为c t ac .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注: 要 y t ct acy为标准型,即要c t ac为对角矩阵；由上章实对称矩阵对角化的方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法,可取 c 为正交变换矩阵p .对于简洁的二次型,也可以用用配方法解之.精品学习资料精选学习资料 - - -

9、 欢迎下载四.矩阵的合同定义 3设 a、b 为两个 n 阶方矩阵 、假如存在 n 阶非奇特矩阵c、使得c t acb、 就称矩阵精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 合同于矩阵b、或 a 与 b 合同 、记为 ab.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载易见 、 二次型f x1 、 x2 、 x n x t ax的矩阵 a 与经过非退化线性变换xcy 得到的二精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载次型的矩阵bct ac 为合同的 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载矩阵的合同关系基本性质:

10、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 反身性对任意方阵a、aa;由于 e t aea ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 对称性如 ab、 就 ba;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(3) 传递性如 ab、 bc 、 就 ac.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题选讲：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1 1f x、 y x 23xyy 2 为一个含有2 个变量的实二次型.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) f x、 y、 z3x 22xy2 xzy 24 yz5 z2为一个 3 个变量的实二次型

11、.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xxx4123(3) f x1 、 x2 、 x 3 、 x 4 222x2 为一个含有4 个变量的实二次型.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4f x1 、 x2 、 x 3 、 x 4 x1 x22x1 x34x1 x43x 2 x4 为一个含有4 个变量的实 二次型 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5f x、 yx 2xyy 25 x1 不为一个实二次型、 由于它含有一次项5x 及常数项1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x16f x1 、 x 2 、 x 3 3x1x 2x1 x 3 不为一个实二

12、次型、 由于它含有3 次项x3 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7型.f x、 y x 2iy 2 i1) 不为一个实二次型、 由于 i 为虚数 、 但它为一个复二次精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2 写出以下实二次型相应的对称阵.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) f x、 yx 23 xyy 2x 23 xy23 xy2y 2 、其相应的对称矩阵为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13 / 23/ 2.1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) f x、 y、 z3x 23 x22xy xy32 xz2 xz21y

13、 2xy 2 / 24 yzy 25 z22 xy2 xz22 yz5z2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相应的实对称阵为112.2 / 225精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x13f x1 、 x2 、 x 3 、 x 4 2222xx4x、23相应的实对称阵为一个对角阵:1000010000100001.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4f x1 、 x2 、 x3 、 x 4 x1 x202 x1 x31 / 24x1 x 4123x 2 x 4 相应的实

14、对称阵为1 / 2003 / 21000.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载23 / 200110精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3 设有实对称矩阵a1001 / 21 / 2 、22求 a 对应的实二次型.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1例 4 讲义例 1 二次型x1 x2x1 x32 x23x2 x3的矩阵为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀学习资料欢迎下载01/ 21 / 2a1 / 223 / 2 ;1 / 23 / 2001/ 21/ 2反之 、 对称矩阵a1/ 223 / 2 所对应的二次型为1/ 23 / 2001/ 21/ 2x1x t axx 、 x、 x 1/ 223 / 2xx xx x2 x 23x x .1/ 23 / 20x 312321213223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5 讲