初数学平行线分线段成比例定理

1、初二数学【教学进度】几何第二册第五章§5.2教学内容平行线分线段成比例定理重点难点剖析一、主要知识百1 .'平行线分4标成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2 .三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，3 .三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4 .三角形一边的平行线的性质定理2 （即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两 边的延长线）相交的直线，所截得

2、的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.二、重点剖析1.平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 例的最重要方法之一。-L1-L2L3定理的基本图形A /tEF JFqV/图卜. ABDEABDEBCEF.11/7127/13= = = BCEFACDFACDF对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对 应。为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上而所列三组比例式： ar np一=一， 可以说成“上比下等于上比下”BC EF, 可以说成“上比全等于上比全”AC DFBC FF，可以说成“下比全等于

3、下比全”等AC DF2 .三角形一边平行线的性质定理1 （即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形wordDB EC AB AC AB AC.BD 2* DC " 3图2（1）,图2 （3）称为“A”型,图2（2）称为“X”型推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3 .三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题,（1）这个定理可以用来判定两条直线平行.（2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。4 .平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直 线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行.它

4、是一个假命题，如图3,其中AB=BCDE=EF,则"="=1,但L、L2> L3不平行。BC EF5、三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）,这个 定理也叫做相似三角形预备定理 DE/BC =这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定 理也成立。图4是最基本的“A”型，课本例6中有型时常 作平行线，把所要研究的线段中，与其它线段关系不明显的线 段平移到关系明显的线段上去。典型例题例1、如图5,在AABC中，D是BC上的点，E是AC上的点，AD与BE交于点F,若AE:EC=3:4, BD:DC=2:3,求 BF:

5、EF 的值。分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身 并没有平行线，故需添加辅助线一一平行线去构造比例线段，进而求出比值。解：过E作EGBC交AD于G,则在aADC中,.AE 3.AE 3. EG 3'EC - 4AC-7" DC - 7极 EG=3X , DC=7X (X>0),贝lj2214： DB= DC = x7x = x 33314.BD_TV_14BF BD 14又 V EG/7BC, :.=FE EG 9例 2、如图 6, DEAB, EFBC, AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD。分析根据

6、条件可知BDEF为平行四边形，由EFBC,af ff应用相似三角形的预备定理，得 = 再应用比例性AB BC质，即可求出EF即BD。解：V DEAB, EF/7BCA四边形BDEF为平行四边形,AF EF又 EFBC,:.=:.BD=EFAFAB BCBDBDAF+BF BD+DC 解之，得BD=，(cm)5+3 BD+2例3、如图7, A、C、E和B、F、D分别是NO的两边上的点，且ABED、BC/FE. 求证：AF/CD分析 要证明AFCD,应推导出能使AF/CD的比例线段，由题中图形可知，应证明里=竺，而由AB/ED, OC ODBC/FE,容易得到此关系。证明：AB/ED=2 VBC/

7、FE 工丝=2£ OE ODOF OE由得 OA OD=OB OE 由得 OC OF=OB OE OA OD=OC OF则生=竺 AAF/CD OC OD点评：本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的，“公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比， 有时公比是采用乘积式的形式。例4如图8梯形ABCD中，AB/CD, M为AB的中点， 分别连结AB、BD、MD、MC,且AC与MD交于 E, DB与MC交于F,求证EF/CD分析：要证EF/CD,可根据三角形一边平行线的判定定理证明，首先观察EF、CD截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。证明：.ABCD, =

8、 又.AM=BM = Z.EF/CDAM EM MB FMEM FM点评 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：（1）首先观察欲证平行线截哪个三角形（2）再观察它们截这个三角形的哪两边 （3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可的比作为中间比当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段） 例5如图9, A1/T.U分别在AABC的三边BC、AC、AB ±求证:或其延长线上，目AA'" BB' CCA4' BBf CCf分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题, 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。证

9、明：CCr/ A4'7 =>? CCr/ BB'AA1 BA.CC CC BC AC9 BC' + 4C' t =1 ABBB'AB1AAf BB' CC证明：AE平分NBAD :.笔=器 点评对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形式，再利用平行线或相似三角ii icc9 cc9形有关性质进行求解，如本题中，要证一;+ 一-= -只需证二二+需=1,即将倒数和的形式化AAf BB' CCA4 BB为线段比的形式。例6如图10四边形ABCD中，ZBAD的平分线交BD于E,EFCD 交 BC 于 F,求证：=1 BF

10、 AB分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比， 再进行减法运算。r o在ABCD 中 V EF/CD ；=BE BF-得票噎嘿嘴.喘-奈I例7如图11, AD为ABC的角平线，BF_LAD的延长线于F, AMLAD于A交BC的延长线于M, FC的延长线交AM于E,求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可利用比例缎来证明，而由BFLAF, 可延长BF交AC延于N,构造等腰三角形，利用等腰三角形性质有BF=FN,再由BN/AM, 得比例线段，即可得出结论，证明：延长 BF 交 AC 的延长线于 NVAF1BF ，NBFA=NNFA=90° 又: ZBAF=ZNAF, AF=

11、AFAAABFAANF BF=NF BF±AF AM1AF :. BF/AM.BF FC屈一衣EN _FC- CE构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题:又 V BF=FN :. EM=AEEM AE点评（1）有和角平分线垂直线段时常把它延长, （2）利用比例证明线段相等主要有以下形式 =a = b=>n = cbh ha ca cl d >=>a = c d j = b = d b=dJa=c J例8如图12把线段AB分成2： 3两部分分析利用平行线分线段成比例定理作图作法：1.以点A为端点，作射线AM2 .在AM上顺次截AD=2a, DE=3a （a为任意长）3

12、 .连结BE,过点D作DC/BE交AB于C,则点C即为所求A 练习与测试1 .如图AABC中，D、E、F分别在AB、AC、BC上, 且 DE/BC, EF/AB, AD=9, EF=6, CF=5,则 BF=2 .直线DE分别交 ABC的边AB、AC于点D、E, 且 AD=4cm, AE=6cm、ABT 2cm, AC=那么DE/BC3 .如图 DE/BC B（第5题）CDB 3那么把=丝=EC8cD4 .如图在OABCD中，E在AD上，LRFeF且 4AE=5DE, CE 交 BD 于 F,则丝=DFGH5 .如图，梯形ABCD中，ADBC,对角线AC、BD相交于0, CE/AB交BD的延长

13、线于E, A赢扇-1若 OB=6, OD=3,则 DE=6 .如图，已知 DC/EF/GHAB,一+11AB=30, CD=6,且 DE： EG： GA=1： 2： 3, E贝lj EF=GH=7 .如图，在ZJ ABCD中，广512Oh 02、O3分别为对角线BD上三点，（第8勘且B0尸OQ2=O2O3=O3D,连结AO”并延长交BC十匕、连结ECh,并延长交AD于点F,则AD： FD=-8 .图，/|匕= BC=4CD,G - ' E若 AE=k EC > 贝lj k=59 .如图，CD是AABC的角平分线,（第1°题）点 E 在 AC 上，=-, AC=10,求

14、DEAB AC 510.如图，CD是ABC中，E为AC的中点，D为BC上的点，且BD=AB,求证： AB GD11 .已知，C是线段AB上一点，分别以AC、BC 为边，在AB的同侧作两个等边三角形ACD和BCE, AE交CD于F, BD交CG于G,求证FGAB12 .已知，BD为AABC的角平分线，DE/BC,13.交AB已知，于E,求证:如图（1）,梯形ABCD中,AD/BC, E、F分别在 AB、CD 上,且 EFBC, EF 分另lj交 BD、D(2) 一)AC 于 M、No求证ME=NF 当EF向上平移图（2）各个位置其他条件不变时, 的结论是否成立，请证明你的判断。练习与测试参考解答或提示155 21. ： 2. 18cm；34. 9： 4：5. 9：6. 10, 18；7. 9： 1：8. 2：9. 623 5AG AF RC FC10 .提示，过D作DHAC交BG于H点，则=-一，一-=一-，又AE=EC, BD=AB,即可 GD DH BD DH得