矩阵论矩阵分解汇总PPT

1、1矩阵的分解汇总矩阵的分解汇总2345630191063619134652.D. 1321xxxoolittle分解求解方程组试用例LUA473652143121解：71231110211934130Lybyyy（ ）解(10, 1,4)Ty 得8123(2)2561037144Uxyxxx 解(3,2,1)Tx 解得：。9()m nm rrrr nrACFCGCAFG定理：设，则存在列满秩 ，(行满秩)，使得A这种分解，称为矩阵 的满秩分解101210121221332431454862810A求矩阵A的满秩分解A解 (1)将矩阵A E做行初等变换，(只能做行变换)目标是将 的前r行线性无关

2、，后面的行为零行。11121012 11221331243145148628101A E=121012 100112111000000111000000 002112121012100112111,0000001110000000021P设A=11A=A=PPFFFG GGG则A=0001311112114221P而，141011,2142F121012001121GAFG为所求的满秩分解1516,m nrBC设满足(1)B的前r行每一行至少含一个非零元， 且第一个非零元是1(2)B的后m-r行都是零行171212(3)rrBjjjj jj设 的第一行的第一个1元所在的列为 列， 第二行的第一

3、个1元所在的列为 列， 第r行的第一个1元所在的列为 列,则 12(4)rj jj , , , 构成单位阵的前r列，HermiteB称 为标准形。1812,Hermite,m nrrACABBrGAj jjFAFG定理：设通过行初等变换将化成标准形取 的前 行为的 , , , 列构成则为满秩分解。19121012122133A=2431454862810例 求满秩分解20A解：对 做行初等变换，得到121012001121A000000000000120111001121000000000000214 221112,2346FC所以，2 6212011 1001121GCAFG为所求的满秩分解

4、220012300246求A=的满秩分解0012300000解:A232 111,2FC 1 5100123GCAFG为满秩分解24010110201103022求A=的满秩分解010110003300055解：A010110001100000250100000011000003 221121,32FC2 520100000011GCAFG为满秩分解26由前面的例题可以看出，矩阵A的满秩分解不是唯一的。-1若A=FG为满秩分解，P为任意r阶可逆矩阵，则A=(FP)(P G)=FG也是满秩分解2728RARn nnA设，则 可分解为：A=QR其中，Q为正交阵， 为上三角阵。29QRA=(QD)(

5、DR)=QR其中，D为对角阵，对角元为 1A=(QD)(DR)=QR也是分解R如果限定 的对角元全正，则QR分解是唯一的。3031nuR是单位列向量，2HouseholderTHEuu矩阵称为矩阵，Householder对应的变换称为变换或者反射变换。32Householdern nHR定理：设是矩阵，1H,TH H（）是对称矩阵。2H,HE HT（ ）是正交矩阵。21,H=HTHE（3）0(4)Householder0rEnrH是阶矩阵51(1Hn（ ）的特征值为， 重），16det()1H （ ）33H()()4HEETTTTTTT证明：E-2uuE-2uu-2uu -2uuuu uu00

6、00002020rrrTTEEHEuEuuu TnnE -2uuE34()2uuuu THu= E-2uu0;uT取yspan(u)的正交补，即y()yyTHy= E-2uu1H11nn所有 是 的特征值，几何重数为代数重数也为1det()1*11nH 从而，35,Householder,|nnxRzRHHxx z定理：任意给定非零列向量任意给定单位列向量则一定存在矩阵使得,|Hxx zT证明：寻找单位向量u,H=E-2uu 使得()|Hxxxxx zTT由于E-2uu2uu=|xuxx z T所以，2u36|xx zuxx z由 的单位性，可得，u=Householder,|HHxx z这样

7、得到的矩阵满足3711,2,2 ,HouseholderTxxe例题：设用变换化 与 同方向。112133321|3|6321xexe解：|x|=3,所以，u=38Householder11331211 1 13311H从而，所求变换为1221212 ,32211可以验证，Hx=3e39031A042 ,Householder2A例题：设 =利用变换21求矩阵 的正交三角分解。11HeA11解：找，使得Ha 与 同方向，其中，a 为 的第一列。111210 ,|2|21xeuxe401211111201012211THEuu11,1411212H0421A032241,530HH 寻找使得11

8、151,3|5|10 xeuxe4221111213131010H431,34512221211H042HH1A03431212430425513455032120512R0044321HHAR11321HHAR321HHR341551434315555134155QRAAQR的正交三角分解为：4522111,GGivensijcsGsccsGivens（c,s）其中，称 为矩阵，对应的变换称为旋转变换。46ijijGG1T可以验证，（ （c,s）（c,s）,GivensijijGG xn定理：对任意给定的列向量xR一定存在旋转变换 （c,s）,使得的第j个分量为0,第i个分量为正，其余分量不

9、变。47.nT1证明：设x=, , 则1ijijnijcsGsc（c,s）48220,1,ijsccs令由于2222,jiijijcs可取2200ijijijsccs从而，491,GivensG ,G ,GGG GnxeTn112131n1n1312定理：给定x=,R 则存在变换，使得=|x|22123G,0,Tnx12证明：2221234G,0,0, .Tnx1322221231G,0,0,0,0Tnxe1n|x|503,4,5 ,Tx 1设用Givens变换将x化为与e同方向。345543( , ),551c s 12解： c=3/5,s=4/5,G505x 12G51511,5 222c

10、s1122( , )11122c s13G5 200 x1312G G52341155224315511122G1312G G34514 23 205 234515 2Gxe53031A042 ,Givens2A例题：设 =利用变换21求矩阵 的正交三角分解。1e1解：将a 化为与 同方向：540,1,cs1301G11013212G A04210-313G A将的第二列中的-3化零，利用（2，2）元素455,c -34s=55231G,4-35534555623131212G G A=04214-3550-33455212051002R57T1323GGTARQR010111010Q3455

11、43430555534055580 31A0 42 ,Schmidt2A QR例题：设 =利用正交化2 1方法求 的分解。591230310 ,4 ,2 ,212aaa 解：令123,a a a显然线性无关。111110,0 ,|1ppa qp 1112apq6022211303(,)404 ,110paa q q 3524252,|0pqp 2221121(,)5apa q qqq613331132238556455(,)(,)1022 02100paa q qa q q 4533353,|0pqp 33311322312(,)(,)22apa q qa q qqqq62123( ,)Aa

12、a a所以，123212(,) 051002q q q3455345502120051100002QR63RR(),RR,R,Rm nm nTn nAQ QEA定理：如果是列满秩的，则存在标准列正交矩阵Q以及上三角阵使得Q若规定 对角元全正，则分解是唯一的。64111100QR010001A求矩阵的分解。Schmidt解：采用正交化方法,123(,)Aa a a，12112111111,|200ppa qpp112aq65121222211211(,),120paa q qaq11621126222262,1|600pqp222112161(,)22apa q qqq6633311322(,)

13、(,)paa q qa q q111623111362123610110260110031633163333123333632|1ppqp2331231126aqqq67123( ,)Aa a a所以，123231122261(,)26q q q31162631162632662332112226126000QR68111100QR010001A求矩阵的分解。Givens解：采用变换方法112211221,11G11221122120010001G A69162201将向量化成6361223226/(),1/()cs 32362323611G70111122223211663626222132

14、336312200010000010011G G A32 33310将向量化成33122312211,G71112266263213132233122121000001G G G A112266262 3320000000R 72123100TTTRRAG G GQQQR 63116662631166621233216663122000TTTG G G73311626311626326632,000Q112266262 332RAQR74SchurSchur定理：设数定理：设数 A A为为n n阶方阵阶方阵 ，则存在正交，则存在正交矩阵（酉矩阵）矩阵（酉矩阵）Q Q，使，使120HnQ AQR

15、12,An 其中，为矩阵 的特征值。75-1AJordanA=PJP ,证明：设 的分解为PQRP,QR做矩阵 的分解， =-1-1A=J()( J),HQR QRQ R RQ则-1( J)R R为上三角阵,其对角元为A的特征值。767778定理：定理：n n阶方阵阶方阵A A，正交（酉）相似于对角阵的充要，正交（酉）相似于对角阵的充要条件是：条件是： A A为正规阵。为正规阵。 证明证明 由由SchurSchur引理：存在正交（酉）矩阵引理：存在正交（酉）矩阵U U使得使得 12,10ijHntRUAUijn 7912,An 是 的特征值120HHHjinRU AUt80HHHHHHHHRR

16、U AA URRR RR RU A AU充分性充分性: :已知已知A A为正规阵，即为正规阵，即A AHHA=AAA=AAHH，81112200ijHnjintR Rt112200ijHnjintRRt822111|HR R的( ， )元:|2211211|nHjjRRt的( ， )元:|22211121|0,2,.,njjjttjn由|83222 2|HR R的( ，)元:|222232 2|nHjjRRt的( ，)元:|22222122|0,3,.,njjjttjn由|840,1,., ,1,.,Rijtin jin 依次类推，可得到这就说明， 是对角矩阵。85必要性：已知存在正交（酉）矩

17、阵必要性：已知存在正交（酉）矩阵U U使使 1200HnU AU 86HH HHHHHHUAUUA UUA UUAUHHHHU AA UU A AUAHHA AAA所以， 为正规矩阵87说明：（说明：（1 1）不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其）不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将其对角化，例如它可逆变换将其对角化，例如1203A1023TATTAAA AA A不是正规矩阵不是正规矩阵 A A具有两个不同的特征值具有两个不同的特征值1 1，3 3 ，所以可以相似变换对角，所以可以相似变换对角化。但不能正交相似对角化。化。但不能正交相似对角化。88（2 2）实正规矩阵一般不能通过正交相似变

18、换对角化。）实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。（若特征值全为实数，则可正交相似对角化）（若特征值全为实数，则可正交相似对角化）1221A特征值为特征值为 1 12i,1-2i2i,1-2i5005TTAAA AA A是实正规矩阵，但不可能正交对角化，但是实正规矩阵，但不可能正交对角化，但可以酉相似对角化可以酉相似对角化 89（3 3）实对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。）实对称矩阵可以通过正交相似变换对角化。（4 4）实对称矩阵，复）实对称矩阵，复HermiteHermite矩阵的特征值都是实的。矩阵的特征值都是实的。,AAH证明：若A则 可以酉相似对角化，即90120HnU AU1

19、20HHnU A U,Hermiteii所以，从而矩阵的特征值都是实数91设A为正规矩阵，1nU=u ,.,u 则存在酉矩阵，使得111n=u ,.,u HHHnnuuA=U U1 1 1nuHHnnu uu称为正规矩阵的谱分解。921111 ,.,.,AUA HermiteHHnHnnnuA U Uuuu均为实数，当 实对称时， 为正交矩阵，当 为矩阵时，U为酉矩阵9394AC,m n定理：设则(1)( )()(), ( )AHHr Ar AAr A A r A表示 的秩。(2)HHAAA A和有相同的非零特征值，(3)HHAAA A和都是半正定矩阵，(4)AAHHAAA A正定行满秩，正定

20、列满秩。9500()( )HHA AxAxr A Ar A证明：(1)若与同解，则00HxAxA Ax若 满足，则一定有000HHHxA Axx A AxAx反之，若 满足()( )Hr A Ar A所以，()()( )HHr AAr Ar A同理96(2)的证明是后面一个引理的直接推论。的证明是后面一个引理的直接推论。,HermiteHHA A AA(3)显然都是矩阵，()0,HHHxx A AxAxAx对，()0HHHHHxx AA xA xA x对，,HHA A AA所以都是半正定。97,m nn mACBCABBA引理：则与具有相同的非零特征值。0000mmnnEAEAABEEBBBA

21、证明：由10000mmnnEAEAABEEBBBA即980000ABBBBA所以，相似于nm|()| |()|mnEABEAB从而，特征多项式相同0|()| |()|mnEABEAB若，则 ABBA所以，与具有相同的非零特征值。99HHAAA A由这个引理可知，与有相同的非零特征值。HHAAA A与的非零特征值一定是正数。10012120,m nHrrrrnACA A定义:设，的特征值为iiA称为矩阵 的奇异值，1.0r称为正奇异值。101120000A求的奇异值。1210012002002400TA A解：0特征值为5,0,所以奇异值为 5，102011200A求的奇异值。020112010

22、2000410TAA解：2,2,0A所以， 的奇异值为10311,0,00(,.,),.0( )m nrHrrA CmUnVU AVdiagArrank A定理:设，则存在 阶酉阵 和 阶酉阵使得其中为矩阵 的正奇异值，.1041212Hermite0,HrrrnA A证明：设半正定矩阵的特征值为120(1)00HHHnA AVA AV并设的谱分解为：105121( ,),VV VVVr设为 的前 列，2000HA AVV2112,0HHA AVVA AV106221111HHHA AVVVA AV 1111HHrVA AVE 1111()HrAVAVE11AVm r这说明，是的标准列正交矩阵

23、。111212,(,)UAVUUU U设可找使得为酉矩阵。1072200HA AVAV111122210( ,)0HHHHHUUAVU AVA V VUUAV这时,111111() ()HHUAVAVAV 21210,HHUAVUU 000HU AV所以，108A计算矩阵 的奇异值分解的方法：()HA A一计算的谱分解，形如(1);11211()( ,)VV VUAV二设，令，12()0HUxU三求的标准正交基，其列构成，120()(,)00HUU UAUVA四，为 的奇异值分解109101011000A求的奇异值分解。100101101010011011110000112TA A解：1103

24、,1,0,310TA AA的特征值为的奇异值为， ，TA A求的谱分解：1232010302101110TxA Axxxx 161121623611 ,2xxvx 取111123001000101110TxA Axxxx 1211222311 ,00 xxvx 取1121231010001101120TxA Axxx 131123313311 ,1xxvx 取11311162311162321633,100TTVV A AV所以,116211162263,10V 1142222122112220,0001UAVU 显然2222222200 ,001U所以，115000TAAUV的奇异值分解为1

25、16117主要内容：主要内容：一、单纯形矩阵的谱分解一、单纯形矩阵的谱分解二、二、正规矩阵与酉对角化正规矩阵与酉对角化三、正规矩阵的谱分解三、正规矩阵的谱分解118,YYAT称称YT是是A的属于的属于 的的左特征向量左特征向量，也称也称A的属于的属于 的特征向量为右特征向量的特征向量为右特征向量.TTYAY两端取转置得：两端取转置得：一、单纯形矩阵的谱分解一、单纯形矩阵的谱分解119设设A是是 n阶单纯矩阵，阶单纯矩阵， 1, 2, , n 是是A 的的n个不个不同特征值，同特征值，x1,x2, ,xn是是A的的n个线性无关的个线性无关的特征特征向量，向量，P=(x1,x2, ,xn),则则:

26、TTTPPAPPA11)(,这表明这表明AT也与对角矩阵相似，故也与对角矩阵相似，故AT也是单纯矩阵也是单纯矩阵ndiag,21其中其中性质性质:单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的单纯矩阵不同特征值的左右特征向量是正交的以矩阵特征值的代数重复度都为以矩阵特征值的代数重复度都为1为例加以证明为例加以证明:120,211TnTTyyyP( y1,y2, ,yn ) = (PT )-1 = (P-1 ) TIxxxyyyPPnTnTT21211从而从而TTTPPA1)(121,2122212121111IxyxyxyxyxyxyxyxyxyPPnTnTnTnnTTTnTTTjijixyjTi,

27、 0, 1即：即：1221PPATnnnTTyxyxyx222111对于单纯矩阵对于单纯矩阵A A（矩阵特征值的代数重复度都为矩阵特征值的代数重复度都为1），TnTTnnyyyxxx212121niiiniTiiiAyx11TiiiyxA 其中-矩阵矩阵A A的谱分解的谱分解即单纯矩阵即单纯矩阵A分解成分解成n个矩阵个矩阵Ai之和的形式，其系数组合是之和的形式，其系数组合是A的的谱谱（所有相异的特征值）。（所有相异的特征值）。由由123TiiiyxA ) 1 (jiojiyxTiiTjjTiiTjjTiijiyxyxyxyxAA)()(则则对于对于 有下面的性质：有下面的性质：iAjiojiA

28、i124niiniTiiAyx11TnTTnyyyxxxPPI21211（2 2）1251411A)3)(1(1411)(Af21,2121xx解解, 1, 321由由得得设设A的的左左特征向量为特征向量为TTyy21,1260, 12111xyxyTT4121,412121TTyy2141212222141211111,1TTyxEyxE213EEA则则因为因为 满足满足TTyy21,1, 02212xyxyTT可解得可解得从而从而127设单纯矩阵设单纯矩阵 的谱为的谱为 ，nnCAs,21smmm,21siCEnni, 2 , 1,则存在唯一的则存在唯一的其代数重数分为其代数重数分为 ;)

29、 1 (1siiiEA使使jiojiEEEiji,)2(siiIE1) 3(2设设n阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为阶单纯矩阵特征值的代数重复度不全为1128imiiiimiiiiiyyyYxxxX,2121设设TijmiijTiiiyxYXEi)(1对于特征值对于特征值 i i ， x x1 1i i, ,x x2 2i i, , ,x xmimii i是是A A的相应的的相应的m mi i个线性无关的右个线性无关的右特征向量，特征向量， 是是A A的相应的的相应的m mi i个线性无关的左个线性无关的左特征向量特征向量 TimTiTiiiyyy,2129TsTTsYYYPXXXP2112

30、1,TsTTmsmmsYYYIIIXXXPPAs212121121,siTiiiYX1记记从而从而siiiE1130sTsTTnXXXYYYPPI,21211sTsTsTssTTTsTTTXYXYXYXYXYXYXYXYXY212221212111再由再由jijiIXYimjTi0可得可得131TjjTiiTjjTiijiYXYXYXYXEE)()(则则jijiEi0sisiiTiiTsTTsnEYXYYYXXXPPI1121211,同时同时132例例2：求单纯矩阵：求单纯矩阵122212221A的谱分解的谱分解由矩阵由矩阵A A的特征多项式的特征多项式得得A A的特征值的特征值5, 121及

31、相应的线性无关的特征向量及相应的线性无关的特征向量为为TTTxxx1 , 1 , 1,1, 0 , 1,0 , 1, 1321设设 对应的左特征向量为对应的左特征向量为iTTTyyy321,则由则由3131313231313132311P得得31,32,311Ty)5() 1(2AE133同理得：同理得：32,31,312Ty31,31,313Ty则则TTyyxxE21211,323131313231100111323131313231313132313131111332TyxE313131313131313131从而从而215EEA134HHAAAA设设,nnCA满足满足二、二、正规矩阵与酉

32、对角化正规矩阵与酉对角化135是酉相似的。与则称，复矩阵），即是酉矩阵若BAPPPH1(是相似的。与则称使若存在可逆矩阵设BABAPPPCBAnn,1是正交相似的。与则称，实矩阵），即是正交矩阵若BAPPPT1(136,1HnnnnUUCUCA（1 1）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即）任意复方阵酉相似于一个上三角矩阵。即nHAUU*21.21的特征值为，其中An137,1TnnnnPPRPRA（2 2）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即）任意实方阵正交相似于一个上三角矩阵。即nAPP*211.21的特征值为，其中An138,22211211nnnnaaaaaaAnnnnHaaaaaa

33、A21221211,HHAAAA得依次取niaaaaaaijjiijjijinijijijnijij, 2 , 1,21121392222122222122222221121212211,nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaniijaij, 2 , 1, 0140IUUdiagAUUAAAAHnHHH),(21AAUUUUUUUUUUUUUUUUAAHHHHHHHHHHHHHHH)()(定理定理 ，则，则A A酉相似于一个对角矩阵的充酉相似于一个对角矩阵的充分必要条件是分必要条件是A A为正规矩阵，即为正规矩阵，即nnCA设证明证明 必要性必要性HUUA则则由,HHHIUU),(,21nHdiagAUU设141nHTAUU*21),(21nHdiagTAUU因此,TTTTAAAAHHHH所以由于.对角矩阵再利用引理知T142正规矩阵的性质：正规矩阵