算法策略实用教案

1、4.1 迭代(di di)算法迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题(wnt)的方法。迭代算法一般用于数值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础应用。利用迭代算法策略求解问题(wnt)，设计工作主要有三步： 1）确定迭代模型 2）建立迭代关系式 3）对迭代过程进行控制第1页/共25页第一页，共25页。4 41 11 1 递推法 【例1】兔子(t zi)繁殖问题问题描述：一对兔子(t zi)从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子(t zi)。小兔子(t zi)到第三个月又开始生下一代小兔子

2、(t zi)。假若兔子(t zi)只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子(t zi)，问一年中每个月各有多少只兔子(t zi)。问题分析：因一对兔子(t zi)从出生后第三个月开始每月生一对小兔子(t zi)，则每月新下小兔子(t zi)的对儿数(用斜体数字表示)显然由前两个月的小兔子(t zi)的对儿数决定。则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 第2页/共25页第二页，共25页。算法(sun (sun f)1f)1： main( )main( ) int i,a=1,b=1; int i,a=1,b=1; print(a

3、,b); print(a,b); for(i=1;i for(i=1;i=10;i+)=10;i+) c=a+b; c=a+b; print (c); print (c); a=b; a=b; b=c b=c； 数学(shxu)(shxu)建模：y1=y2=1y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2yn=yn-1+yn-2，n=3n=3，4 4，5 5，。第3页/共25页第三页，共25页。算法(sun (sun f)2f)2： 表4-1 4-1 递推迭代(di di)(di di)表达式1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9a b c=a+b a=b+c b=a+

4、c c=a+b a=b+c b=a+c a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b a=b+c b=a+c 由此归纳出可以用“c=a+b; a=b+c; b=c+a;”“c=a+b; a=b+c; b=c+a;”做循环“不变式”。算法2 2如下： main( ) main( ) int i,a=1,b=1; int i,a=1,b=1; print(a,b); print(a,b); for(i=1; i for(i=1; i=4;i+)=4;i+) c=a+b; a=b+c; b=c+a; print(a,b,c); c=a+b; a=b+c; b=c+a; print(a,b,

5、c); 算法2 2，最后输出(shch)(shch)的并不是1212项，而是2+32+3* *4 4共1414项。 第4页/共25页第四页，共25页。 表4-2 4-2 递推迭代表达式1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9a b a=a+b b=a+b a=a+b b=a+b a b a=a+b b=a+b a=a+b b=a+b 由此归纳出可以用“a=a+b; b=a+b;”“a=a+b; b=a+b;”做循环(xnhun)“(xnhun)“不变式”，从而得到以下算法3:3:main( )main( ) int i,a=1,b=1; int i,a=1,b=1;

6、 print(a,b); print(a,b); for(i=1; i for(i=1; i=5;i+)=5;i+) a=a+b; b=a+b; print(a,b); a=a+b; b=a+b; print(a,b); 第5页/共25页第五页，共25页。【例2 2】求两个整数的最大公约数。数学建模：辗转相除法是根据递推策略设计的。不妨设两个整数abab且a a除以b b商x x余c c；则a-bx=ca-bx=c，不难看出a a、b b的 最 大 公 约 数 也 是 c c 的 约 数 （ 一 个 数 能 整 除 等 式 左 边 就 一 定(ydng)(ydng)能整除等式的右边），则a a

7、、b b的最大公约数与b b、c c的最大公约数相同。同样方法推出b b、c c的最大公约数与，直到余数为0 0时，除数即为所求的最大公约数。算法设计：循环“不变式”第一次是求a a、b b相除的余数c c，第二次还是求“a”“b” “a”“b” 相除的余数，经a=b,b=ca=b,b=c操作，就实现了第二次还是求“a”“b” “a”“b” 相除的余数，这就找到了循环不变式。循环在余数c c为0 0时结束。 第6页/共25页第六页，共25页。算法(sun f)(sun f)如下：mainmain（） int a, b; int a, b; input(a,b); input(a,b); if(

8、b=0) if(b=0) print( print(“data errordata error”);); return; return; else else c = a mod b; c = a mod b; while c0 while c0 a=b; a=b; b=c; b=c; c=a mod b; c=a mod b; print(b); print(b); 第7页/共25页第七页，共25页。4.1.2 4.1.2 倒推法 所谓倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从 后向前推解问题的方法。如下面(xi mian)(xi mian)的例题，因不同方面的需求而采用了倒推策略。例

9、1 1在不知前提条件的情况下，经过从后向前递推，从而求解问题。即由结果倒过来推解它的前提条件。又如例2 2由于存储的要求，而必须从后向前进行推算。另外，在对一些问题进行分析或建立数学模型时，从前向后分析问题感到比较棘手，而采用倒推法（如例3 3），则问题容易理解和解决。下面(xi mian)(xi mian)分别看这几个例子：第8页/共25页第八页，共25页。【例1 1】猴子吃桃问题一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个，到第1010天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？数学模型：每天的桃子数为：a10=1, a9=(1+a10)a10=1, a9=(1+a10)* *2, a8=(

10、1+a9)2, a8=(1+a9)* *2,a10=12,a10=1， 递推公式(gngsh)(gngsh)为：ai=(1+ai+1)ai=(1+ai+1)* *2 I = 9,8,7,612 I = 9,8,7,61算法如下 ： main( ) main( ) int i,s; int i,s; s=1; s=1; for (i=9 ;i=1;i=i-1) for (i=9 ;i=1;i=i-1) s=(s+1) s=(s+1)* *2 2 print (s) print (s)； 第9页/共25页第九页，共25页。【例2 2】 输出如图4-14-1的杨辉三角形（限定用一个一维数组完成）。数

11、学模型：上下层规律较明显，中间的数等于上行左上、右上两数之和。问题分析：题目中要求用一个一维数组即完成。数组空间一定是由下标从小到大利用(lyng)(lyng)的，这样其实杨辉三角形是按下图4-24-2形式存储的。若求n n层，则数组最多存储n n个数据。1 11 11 11 2 11 2 11 3 3 11 3 3 11 14 6 4 14 6 4 1图4-2 4-2 杨辉三角形存储(cn ch)(cn ch)格式 算法(sun f)(sun f)设计： A1 = Ai=1A1 = Ai=1Aj = Aj + Aj-1 j=i-1Aj = Aj + Aj-1 j=i-1，i-2i-2，2 2

12、i i行 i-1i-1行 i-1i-1行第10页/共25页第十页，共25页。算法(sun f)(sun f)如下：main( )main( ) int n,i,j,a100; int n,i,j,a100;input(n); input(n); print(print(“1 1”); print(); print(“换行符”););a1=a2=1;a1=a2=1;print(a1,a2); print(print(a1,a2); print(“换行符”););for (i=3;i=n;i=i+1)for (i=3;i1j1，j=j-1) j=j-1) aj=aj+aj-1; aj=aj+aj-

13、1; for (j=1;j=i;j=j+1) print(aj); for (j=1;j=i;j=j+1) print(aj); print( print(“换行符”);); 第11页/共25页第十一页，共25页。【例3 3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越10001000公里的沙漠。吉普车的总装油量为500500加仑，耗油率为1 1加仑/ /公里。由于沙漠中没有(mi yu)(mi yu)油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮油量。 问题分析： 1 1）先看一简单问题：有一位探险家用5 5天的时间徒步 横穿A A、B B两村，

14、两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3 3天的食物和水，那么(n me)(n me)这个探险家至 少雇几个人才能顺利通过沙漠。 第12页/共25页第十二页，共25页。 A A城雇用一人与探险家同带3 3天食物同行一天，然后被雇 人带一天食物返回，并留一天食物给探险家，这样探险 家正好有3 3天的食物继续(jx)(jx)前行，并于第三天打电话雇B B城 人带3 3天食物出发，第四天会面他们会面，探险家得到一 天的食物赴B B城。如图4-34-3主要表示了被雇用二人的行程。 A B A B 图4-3 4-3 被雇用二人的行程 2 2）贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达(dod)

15、(dod)终 点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0 0。这样只 能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。第13页/共25页第十三页，共25页。数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段讨论。第一段长度为500500公里且第一个加油点贮油为500500加仑。第 二 段 中 为 了 贮 备 油 ， 吉 普 车 在 这 段 的 行 程 必 须 有 往 返(wngfn)(wngfn)。下面讨论怎样走效率高：1 1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。2 2）每次向前行进时吉普车是满载。3 3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。第14页/共25页第十四页，共25页。

16、下图是满足以上条件的最佳方案，此段共走3 3次：第一、二次来回耗油2/32/3贮油1/31/3，第三(d sn)(d sn)次耗油1/31/3贮油2/32/3，所以第二个加油点贮油为10001000加仑。由于每公里耗油率为1 1加仑，则此段长度为500/3500/3公里。第三(d sn)(d sn)段与第二段思路相同。下图是一最佳方案此段共走5 5次：第一、二次来回耗油2/52/5贮油3/53/5，第三(d sn)(d sn)、四次来回耗油2/52/5贮油3/53/5，第五次耗油1/51/5贮油4/54/5，第三(d (d sn)sn)个加油点贮油为15001500加仑。此段长度为500/55

17、00/5。 500/5 500/5公里 第二 第三(d sn)(d sn) 终点贮油点（500500）贮油点（10001000）贮油点（15001500）图4-4 4-4 贮油点及贮油量示意第15页/共25页第十五页，共25页。综上分析，从终点开始分别间隔 500 500，500/3500/3，500/5500/5，500/7500/7，（公里）设立贮油点，直到总距离超过10001000公里。每个贮油点的油量为500500，10001000，15001500，。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决(jiju)(jiju)（只是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决(jij

18、u)(jiju)。变量说明：disdis表示距终点的距离，1000- dis1000- dis则表示距起点的距离，k k表示贮油点从后到前的序号。第16页/共25页第十六页，共25页。desertdesert（ ） int dis int dis，k k，oil,k;oil,k; dis=500;k=1;oil=500; dis=500;k=1;oil=500; do do p r i n t (p r i n t (“ s t o r e p o i n ts t o r e p o i n t” , k , k , ”d i s t a n c ed i s t a n c e”, 1 0

19、 0 0 -, 1 0 0 0 -dis,dis,”oilquantityoilquantity”,oil),oil)； k=k+1;k=k+1; dis=dis+500/(2 dis=dis+500/(2* *k-1);k-1); oil= 500 oil= 500* *k;k; while ( dis1000) while ( dis1000) oil=500*(k-1)+(1000-dis)*( 2*k-1); print(print(“storepointstorepoint”,k,k,”distancedistance”,0,0,”oilquantityoilquantity”,oi

20、l),oil)； 第17页/共25页第十七页，共25页。4.1.3 4.1.3 迭代法解方程迭代法解方程迭 代 法 解 方 程 的 实 质 是 按 照 下 列 步 骤 构 造 一 个 序 列x0,x1,xn,x0,x1,xn,来逐步逼近方程f(x)=0f(x)=0的解： 1 1）选取适当的初值x0 x0； 2 2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0f(x)=0改 写为x=(x)x=(x)的等价形式； 构造序列x0 x0，x1x1，xnxn，即先求得x1=(x0)x1=(x0)，再求 x2=(x1) x2=(x1)，如此反复迭代，就得到一个数列x0 x0， x1 x1，xnxn

21、，若这个(zh ge)(zh ge)数列收敛，即存在极值，且函数 (x) (x)连续，则很容易得到这个(zh ge)(zh ge)极限值 x x* *就是方程f(x)=0f(x)=0的根。 第18页/共25页第十八页，共25页。【例1 1】迭代法求方程组根算法说明(shumng)(shumng)：方程组解的初值X=X=（x0 x0，x1x1，xn-1xn-1）, ,迭代关系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,n-1),wxi=gi(X)(i=0,1,n-1),w为解的精度, ,则算法如下： for (i=0;in;i+) for (i=0;in;i+) xi= xi=初始近似根; ; do

22、 k=k+1; do k=k+1; for (i=0;in;i yi=xi; for (i=0;in;i yi=xi; for (i=0;in;i+) xi=gi(X); for (i=0;in;i+) xi=gi(X); for (i=0;in;i+) c=c+fabs(yi-xi) for (i=0;iw and kw and kmaxn )； for (i=0;in;i+) for (i=0;in;i+) print(i print(i，“变量的近似根是”，xi)xi)； 第19页/共25页第十九页，共25页。【例2 2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速

23、度，如图4-54-5所示。首先, , 选择一个接近函数f(x)f(x)零点的x0, x0, 计算相应的f(x0)f(x0)和切线斜率f(x0)f(x0)（这里(zhl)f (zhl)f 表示函数f f的导数）。然后我们计算穿过点(x0,f (x0)(x0,f (x0)且斜率为f (x0)f (x0)的直线方程为：和x x轴的交点的x x坐标, , 也就是求如下方程的解：)()(000 xxxfxfy0000)()(xxxfxf图4-5 4-5 牛顿迭代法示意图第20页/共25页第二十页，共25页。迭代公式可化简为：此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f是连续的, 并且待求的零点(ln

24、 din)x是孤立的, 那么在零点(ln din)x周围存在一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。 第21页/共25页第二十一页，共25页。main( ) float a , b, c, d, fx; print(输入系数(xsh) a,b,c,d:); input(a,b,c,d); fx=f(a,b,c,d); p r i n t f ( 方 程 的 根 为 ：,fx);第22页/共25页第二十二页，共25页。 令a0,b0=a,ba0,b0=a,b，c0=(a0+b0)/2c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0f(c0)=0，则c0c0为方 程 f ( x ) = 0f ( x ) = 0 的 根 ； 否 则 ， 若 f ( a 0 )f ( a 0 ) 与 f ( c 0 )f ( c 0 ) 异 号 ， 即 f(a0)f(a0)* *f(c0)0f(c0)0，则令a1,b1=a0,c0a1,b1=a0,c0；若f(b0)f(b0)与f(c0)