二次函数的图像和性质讲义

1、- 1 - 二次函数图象和性质【知识点归纳】1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 2、二次函数的图象及性质：（1）二次函数 y=ax2(a 0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当 a0时，抛物线开口向上，顶点是

2、最低点；当a0 时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大（2）二次函数cbxaxy2的图象是一条对称轴平行y 轴或者与 y 轴重合的抛物线顶点为（2ba，244acba） ，对称轴 x=2ba；当 a0 时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x2ba，y 随 x 的增大而增大，x2ba，y 随 x 的增大而减小；当a0 时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x2ba，y 随 x 的增大而减小， x2ba，y 随 x 的增大而增大（3）当 a0 时，当 x=2ba时，函数有最小值244acba；当 a0 时，当 x = 2ba时，函数有最大值244acba3、图象的平移：将二次函数

3、y=ax2 (a 0）的图象进行平移，可得到y=ax2c，y=a(x h)2，y=a(x h)2k 的图象 将 y=ax2的图象向上 (c 0）或向下 (c 0）平移 |c| 个单位，即可得到y=ax2c 的图象其顶点是（ 0,c ）形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同 将 y=ax2的图象向左 （h0）或向右 (h 0）平移 |h| 个单位， 即可得到 y=a(x h)2的图象 其顶点是（ h，0） ，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同 将 y=ax2的图象向左（ h0) 或向下 (k0) 平移|k| 个单位，即可得到y=a(x h)2 +k 的图象，其顶点是（

4、h，k） ，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同记住规律：左加右减，上加下减4、 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay- 2 - 【典型例题】例 1、二次函数 y=ax2bx2c 的图象如图所示， 则 a 0，b 0，c 0（填“”或“” ）例 2、二次函数y=ax2bxc 与一次函数y=axc 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）例 3、在同一坐

5、标系中，函数y=ax2bx 与 y=xb的图象大致是图中的（）例 4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=00225x209x10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？例 5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2（ ac）xc 与一次函数y=axc的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）例 6、抛物线 y=ax2bxc 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是例 7、已知二次函数y=（m 2）x2（ m 3）xm 2 的图象过点（ 0，5）（1）求 m的值，并写出二次函数的表达式

6、；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴例 8、 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40 只， 且每日生产的产品全部售出已知生产 x 只玩具熊猫的成本为r （元） ，每只售价为p （元） ，且 r， p 与 x 的表达式分别为r=50030 x，p=1702x（1）当日产量为多少时，每日获利为1750 元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？- 3 - 训练题 a：1抛物线 y=2x26x1 的顶点坐标为，对称轴为2如图，若a0，b0，c0，则抛物线y=ax2bxc 的大致图象为（）3已知二次函数y=41x225x6，当 x= 时，y最小= ；当 x 时，y 随

7、 x的增大而减小4抛物线y=2x2向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线表达式为5二次函数y=ax2bxc 的图象如图所示，则ac 0 （填“”、 “”或“ =”） 。6已知点（ 1，y1） 、 （ 321，y2） 、 （21，y3）在函数 y=3x26x12 的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）ay1y2y3 by2y1y3 cy2y3y1 dy3y1y27二次函数y=x2bxc 的图象的最高点是（1， 3） ，则 b、c 的值是（）ab=2，c=4 b b=2，c=4 c b=2，c=4 d b=2，c=4 8如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2bxc 的图象，则下

8、列式子能成立的是（）aabc0 babc0 cbac d2c3b 9函数 y=ax2bxc 和 y=axb 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（）10已知抛物线y=ax2bxc 经过点 a （4，2）和 b（5，7） 且过点 c(0,3) （1）求抛物线的表达式；（2）用描点法画出这条抛物线11如图，已知二次函数y=21x2bxc，图象过 a（ 3，6） ，并与 x 轴交于 b（ 1，0）和点 c，顶点为 p（1）求这个二次函数表达式；（2）设 d为线段 oc上的一点，且满足dpc= bac ，求 d点坐标12已知矩形的长大于宽的2 倍，周长为12，从它的一个点作一条射线将矩形分成一个三角形

9、和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21设梯形的面积为s，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x 的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围- 4 - 训练题 b：1抛物线 y=a（x2） （x5）与 x 轴的交点坐标为2已知抛物线的对称轴是x=1，它与 x 轴交点的距离等于4，它在 y 轴上的截距是6，则它的表达式为3若 a0，b0，c0， 0，那么抛物线y=ax2bxc 经过象限4抛物线 y=x22x3 的顶点坐标是5若抛物线y=2x2（ m 3）xm 7 的对称轴是x=1，则 m= 6抛物线 y=2x28xm与 x 轴只有一个交点，则m= 7已知抛物线y=ax2bxc 的系数有 abc=0，则这条抛物线经过点8二次函数y=kx23x4 的图象与 x 轴有两个交点，则k 的取值范围9抛物线 y=x22axa2的顶点在直线y=2 上，则 a 的值是10抛物线 y=3x25x 与两坐标轴交点的个数为（）a3 个b2 个c1 个d无11如图 1 所示，函数y=ax2bxc 的图象过（ 1，0） ，则bacacbcba的值是（）a 3 b3 c21d2112已知二次函数y=ax2bxc 的图象如图2 所示，则下