微积分极限法所依赖的极限在导数点根本不存在

1、 微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析 沈卫国 （西北工业大学前逻辑与人工智能研究所，西安 710072）摘要：为了解决牛顿、莱布尼兹求导法所产生的贝克莱悖论问题，微积分极限法（标准分析）被提出。但后者成立的前提是这个极限必须存在。笔者经分析得到结论，增量比值函数在0点的极限与函数值一样，也不存在。于是极限法并没有也不可能解决根本问题。此问题的解决，必须要有新的思想。关键词：微积分；标准分析；极限；增量比值函数；贝克莱悖论；导数 一、以二次函数为例对传统微积分极限法求导过程的分析 微积分极限法（标准分析）的提出是为了解决（而且通常也被“主流”看法认为已经解决）牛顿、莱布尼兹求导法产生的贝克

2、莱悖论的。在极限存在的前提下，单纯从逻辑上讲，这没有问题。但极限法的全部合理性，彻底依赖于这个极限在0点的存在性。过去包括笔者在内的所有文献，均未见对此提出异议。但在此文中，笔者经分析发现，增量的比值函数在0点的极限根本就不存在，于是极限法赖以成立的依据就不存在了。以往那种本来就很牵强的以极限值（尽管还是永不可达的）取代增量比值函数在0点本无定义的函数值（为0/0）的做法也随之彻底不能成立了。 笔者在【文献4】围绕该文中的公式11也就是下面的公式1，已经对此进行了讨论，实际上几乎已经得到正确的结论了，但可惜尚未明确。下面详细分析这个问题。 上面公式1就是极限法求二次函数=2的导数的最经典的式子

3、。由此式右数第二个等号两边可知，当x趋于0时，其自身也就是x本身的极限明确等于0。由此上式中左数第一个等号的右边项，只能等于0/0。因为同理，当x趋于0时，此项无论分子还是分母中的x的极限均为0，也就是当x趋于0时，整个比式的极限为0/0，也就是没有“有意义”的极限或极限值不定。即该比式在x=0时根本就不存在有意义的极限值。这从两个极限之比的极限存在的必要条件为分母的极限不能为0的极限运算法则也可印证。当然，有教科书中也有一条规定（也算极限运算“法则”之一）：“对于0/0型的极限，因式分解约去分母上的零因子后求解”。但此“规定”或“法则”在一句话中就前后自相矛盾：先是得到“0/0型极限”也就是

4、极限为0/0，而后马上又令消去分子分母上的共同的“零因子”而“求解”出另一个非0/0型的极限。而这个所谓的“约去”，不过是对分母上为0的因子进行相除，也就是0除以0（即0/0）于是上面的这条“规定”不能不变成“对于0/0型的极限，因式分解后进行0/0类型的相除操作，然后求出非0/0型的极限”。显然，这个对原式本质上自相矛盾的加工、改动后求出的“极限”只能是一个新的脱离原式而等于加工后的式子的极限（有意义的一个数），而非原式的极限（0/0），否则只有自相矛盾。此外，一个分式，哪怕分子、分母中有共同因子，也没有必须相除（无论有没有共同因子）成为非分式的道理，始终保持分式形式无任何问题。如此，即使在

5、零点函数根本没有定义（函数的定义域不包括零点），也可以有极限值0/0，尽管此时它无意义也罢。同时，分子、分母相除“以约去分母上的零因子”，其本质就是零除以零后还要等于1，即0/0=1，这根本就不合理。退一步说，就算该比值函数的定义域一开始就不包括零点（事先规定、定义的），或者由于在零点出现0/0型函数值和极限值因此被“认为”定义域不应包括零点（由因果关系导致的），此时虽然可以分子、分母相除了（分母不为0了。相除后自然可以得到一个有意义的非0/0型极限）。但前已论及，这种“相除”不是必须的，因此极限不能排除、也就是完全可以仍旧是0/0。如此，这种定义域不包括0点的分母上为自变量的比值函数，根据分

6、子、分母的相除与不相除（当然都可以），竟然可以分别得到两个逻辑上都说的通的、不同的、而且直接矛盾的结果（极限值），一个是0/0型的，一个是非0/0型的。这本质上仍就是一个隐性的贝克莱悖论。其根本原因是：人为“规定”函数在=0点无定义本身是有问题的。因为前已述及此时虽然函数本身在该点无定义，但在该点却可以有极限0/0（尽管是无意义的极限），从而也应该可以定义函数值0/0（按连续函数的性质）。同理，对非0/0型极限也可得到一个非0/0型的函数值。于是不但这两个结果之间互相矛盾，而且我们一开始把=0点从函数的定义域中排除变得没有什么意义和道理（反倒得到在该点可以有函数值的结果）。可见，前述有些教科书

7、中对“0/0型极限”的“求解”得到有意义极限值的方法、规定根本就不能成立，也就是不能确定地得到一个非0/0型的有意义的极限值，进而也就不能最终排除一个0/0型的并无意义（仅在此意义上，它还是有其特殊的“意义”的，也就是明确知道在此点会得到这么一个“无意义的”结果，以区别于直接把该点排除在定义域之外）的极限值。此外，上面公式1中左起第一个等号的右项是导数的直接定义式，其“优先级”显然高于上式中左数第二个等号右边那项，注意：前者的原始“定义域”是包括=0那点的，也就是并没有“事先”人为地规定该比值函数不能到达=0点或在该点无值，只是“后来”无论是函数值进而还是极限值在=0点都是无意义的0/0（而这

8、正是比值函数的性质所决定的），也只有在这个结果或前提下，我们才可以说该比值函数和其极限函数在=0点无定义（无有意义的值），或其定义域不包括=0点。但这显然并不意味着在=0点（注意：此时该点是包括在定义域里面的）就不能有“无意义”的0/0型函数值进而极限值。从公式1左边优先的不成文规定可以看到，这个在=0点（此时包括在定义域中）客观存在的0/0型函数值与极限值，从逻辑上是优先的，而公式1的右边必须无条件地“服从”其本源式本身所具有的、或由此为其所限定的前提条件【二者显然必须一致，等式才能严格成立。而此处在求极限前已经事先进行了消去分母中的x操作，而如此操作只有在默许该比值函数的原始定义域并不包括

9、=0点才行（因为分母上就有本身），显然，这个额外的假设及建立在这个假设上的操作有意无意间等于人为取消了原导数定义式（公式1左起第一个等号两边）在x趋于0时在=0点（此时无论该函数还是极限函数值的定义域并没有事先人为地排斥=0这一点）根本就没有极限值（其值为0/0）的基本事实，因此就求极限而言，只能认为是无效的】。而事实上严格地说，公式1左数第二个等号根本就不成立，因为其等号两边并不严格相等，只是有条件地相等。而一个必须附加限制条件才能成立的等式，却不去或没有注明这个条件，该等式严格说是不能成立的，因此必须用“”而不是“=”来连接式子的两边。在这个具体问题上，公式1的“潜台词”不能不是：由于在=

10、0点的定义域包括该点且分母上有本身的比值函数值及其极限值都是无意义的不定式0/0，因此在该点没有有意义的也就是非0/0类型的函数值和极限值。也就是对非0/0类型的函数值和极限值而言，也可以认为该函数的定义域不包括=0点。而既然定义域不包括=0点，那么这个分母中包括本身的比值式就可以选择相除（注意：这里充其量也不过是“可以”，而绝不是“必须”。此时不去相除也完全可以，如此其在零点的极限仍为0/0），以消去分母上的，于是就可以得到一个有意义的非0/0型的极限值。显然，上述推理是错的！因为上面推理得到“有意义的非0/0型”的极限值的前提即“函数和极限函数的定义域不包括=0点”此时不是无前提的，而这个

11、前提正好就是该比值函数和极限函数在=0点恰好已经有无意义的0/0型函数值和极限值。因此再不能有非0/0型的有意义的函数值和极限值了。更何况前面已经论及，函数的定义域不包括零点，也并不就意味着一定要分子分母相除以消去分母上的。因此，公式1中的等号必不成立。依据这个思路我们可以作一个简单的证明，来证明在=0点没有有意义的非0/0型的极限值存在：设有这样的极限值存在，则必没有无意义的0/0型极限存在。但实际上由上面的分析可知这个无意义的0/0型极限是存在的，因为在=0点该比值函数的0/0类型的函数值是存在的，否则牛顿、莱布尼兹就已经解决问题了，根本不用再有什么极限法，因为0/0函数值的问题正是牛顿、

12、莱布尼兹法所产生的，也是人们寻求极限法所要解决的。而由连续函数在某点有值则必有相同极限值的原则，该点必然也有与函数值一样的0/0极限值。此外，既然比值函数是分数形式的，也就是有分子、分母，那么，其任何值及极限也应该是、起码是可以是分数形式的，哪怕这个极限是无意义的0/0形式。这是“比值函数”的性质所决定的。因此，如果一个极限不能表示为分数形式，则必不是这个分数函数的极限值。综上，由反证法，原设非0/0型极限必不存在。得证。也就是：公式1的等式如果要绝对地成立，则不但要附加上限制条件：该函数值在=0点为0/0，而且还要特别要强调：必须还要充分地“尊重”其“本源”式即公式1中左数第一个等号的右边项

13、没有有意义的极限(或极限为0/0）这一点，即必须加上在x=0时没有有意义的极限（或极限为0/0）这个限制条件（本文新发现的），等式才可成立。而如此一来，当然就得不到最后的“有意义的”极限值2x了。因此对原始意义的导函数式（公式1左边）而言，它只能是个“伪极限”。于是，皮之不存毛将焉附？极限都没有了，还有什么极限法？还有什么建立其上的“标准分析”？如果硬要说最后得到的2x是个极限值，那也是另一个函数（尽管与原增量比值函数在0点完全一样）的极限，而绝不是原增量比值函数也就是导函数的极限（式1左数第一个等号的右项）。于是传统的所谓极限法（标准分析）的本质，不过是把一个本不是原增量比值函数的“极限值”

14、，去充当根本就没有极限值（x趋于0时，为0/0）的原增量比值函数的所谓极限值。这当然不应被允许。总之，极限原式也就是公式1左数第一个等号的右边项，显然具有两个“特性”：比值特性和分子、分母共同趋0（尽管0点无有意义的值或值为0/0）特性。但公式1左数第二个等号的右边项却只剩下比值特性了（0点有有意义的非0/0型极限值），“分子、分母共同趋0特性”被有意无意地“丢失”或“隐匿”了。显然，由公式1左数第二个等号相连接的这两个式子并不等价，相较于左边而言，右边丢失了关键信息，所以等号右边不能取代左边，等号严格讲必须换成不等号。而作为导数的定义式，显然左边的比值式（分母有x）才是所有讨论必须依赖的出发

15、点。此外，我们可以再梳理一下传统微积分极限法（标准分析）在求导问题上的具体做法，以看清其运作的本质：1、 承认牛顿、莱布尼茨法会产生贝克莱悖论；2、为了解决这个悖论，传统极限法（标准分析）首先“悄悄地”或无意中消去公式1左起第二个等号左边项分母中的x，得到该等号的右边项，这就等于人为地也是武断地取消了导数的原始公式（公式1左起第一个等号的右边项）作为一个增量比值函数在x=0点既无有意义的非0/0型函数值、也无有意义的非0/0型极限值的原始属性，把两个原本不绝对相等（也可以认为由于数学中“相等”所要求的绝对性，这里根本就不相等）的数学项，用等号联系了起来（公式1左起第二个等号两边）；3、令公式1

16、中左起第二个等号的右边项中的x0（其实这里根本就不用兜什么圈子，干脆就是x=0），得到“它”的极限值2x，再一次强调，这个所谓的“极限值”不过是公式1左起第二个等号右边项的极限值，而绝对不是该等号左边项也就是导数的原始定义式的极限值，因此对此定义式而言只能认为是个“伪极限”；4、明明这个“伪极限”就是在令x=0（牛顿、莱布尼兹法）或令趋向于0的极限值0（极限法）时求出来的，却又把这个明明已经得到的“伪极限”（假设为A），只说成是“存在一个数A”，再由所谓说法“论证”这个A就是那个所需要的极限（实际是伪极限），这是典型的循环论证。与其说由法确定了极限A，还不如说正是由于有了这个伪极限A才可以有这

17、个法。同时，人们还完全有意无意地忽略了对x=0时出现的函数值0/0、以及以0/0为“极限”值时我们同样可以运用说法，也就是当x0时函数趋向于0/0，但0/0却不能被看成是有意义的极限；5、以这个“伪极限”去充当（或代替）公式1左数第一个等号的右边项也就是那个在x=0点根本就没有极限值（或说极限值为无意义的0/0）的增量比值函数在x=0点的极限值；6、令这个“伪极限值”再去充当原增量比值函数（在x=0点无函数值）在x=0点之函数值，实际上得到一个新的连续函数，已取代了原先的那个在x=0点无有意义的值（0/0）因此间断的函数；7、宣称贝克莱悖论被解决或者原先根本就不存在贝克莱悖论（认为这个悖论的存

18、在，是没有发现上述那个“伪极限”作用的缘故）。简评：可以看出，“极限法”（标准分析）声称的用增量比值函数在x=0的极限值来充当该函数在x=0点本不存在之值来消除贝克莱悖论是不行的，因为在该点既无函数值，也无极限值（都是无意义的0/0）。它实际做到的，是用前述“伪极限”来“代换”该点根本就不存在的“极限”，再用这个所谓的”极限“去”代换“该点同样不存在的增量比值函数值。如果这种做法成立，那么，牛顿直接用消去原函数中的分母中x再令这个新的式子中的x=0得到2x去充当该点的函数值的做法也没有什么理由不成立（根本无须绕个大圈子以实际上的“伪极限”来解决贝克莱悖论问题）。但显然贝克莱悖论并没有因为牛顿的

19、做法而消失，恰恰相反，正因为这种做法而产生。以上讨论可以看作是“极限法”（现在看严格讲应该是“伪极限法”）没有消除贝克莱悖论的一个证明。 二、对一个简单函数/的极限、求导问题的分析 再举一个简单但明确的例子：设有特殊的比值函数x/x，显然，这是函数y=x的导函数。它当然可以在x0的前提下分子、分母相除后等于1（因此不是所谓“恒等于1”！因其在=0点等于0/0这个无意义的值。此外，1也不是必须的，不去相除仍为/不但是“未尝不可”，而且还更“本源”一些）。显然，x/x与1是两个不同的函数。前者在=0点无值（0/0)，后者有值（仍为1）。而且按前述，我们没有权利要求当x0时只能写成1而不能写成.5/

20、5，2/2，1/1，0.1/0.1，0.01/0.01，.等等（当x趋于0时）。而且后者按这个比值函数/的定义是本源的。况且即使将其写成1，我们也必须牢记该比值函数在x=0时不但是无值的（“值”为0/0），并且其在x=0时也是没有极限值的（极限值也是0/0），除非在该点这个函数本身的值也等于1。因为其“本源”函数也就是x/x在=0点（注意，此时该函数并没有限制该点不能为其定义域中之点）的极限就是0/0，也就是没有“有意义的”极限。因此，当x趋于0时（注意：此时无论定义域包括不包括0点都无关系）函数x/x（始终不去分子、分母相除而保持分式形态）的极限与当x趋于0时1这个特殊的函数（x=0时也有值

21、且等于1）的极限当然不是一回事。后者与x其实无关（无论其为0还是不为0），因此当然还是1，而前者极限为0/0，也就是根本没有有意义的极限。我们说函数本身在x=0时无值，对应于牛顿、莱布尼茨时代的贝克莱悖论的本质；而在该点该函数也没有极限值（本文彻底阐明的），则对应于所谓极限法（标准分析）下的更为隐蔽的贝克莱悖论的本质（因此特别要强调：极限法并没有如其所愿地解决牛顿、莱布尼兹所没有解决的问题）。它们的产生或存在，正像一个悖论所通常显示的那样：说明理论在什么地方出了问题。而指出了这个问题后，悖论自然消除。具体到求导数这个问题（无论牛顿法还是极限法），悖论的产生是没有意识到不能随意地消去分母的自变量

22、x再令其为0（或者趋于0然后取极限）。所以贝克莱悖论的解决，竟是弄明白了在x=0之点，既不存在有意义的增量的比值函数值，也不存在其有意义的极限值（都是0/0），因此也就不能允许随便消去分母上的x。如此，也就没有了什么悖论，有的只是理论非常明确的错误。这是悖论产生的根源。至于如何解决所暴露出的问题，则是另一项任务了（详见文献1、4、5）。具体到这里的例子，也就是极限虽然没有，但函数y=x的导数却有，这就是1，因此，有人也许会提出疑问：这么说传统极限法根本就不应该可以求出导数的，它怎么可以的？怎么做到的？详见下文。 三、传统微积分极限法虽有问题，但却可以得到正确结果的本质原因 参见【参考文献1】中

23、的图1、图4，我们通常所说的y/x，其中无论函数的增量y还是自变量的增量x，都只涉及曲线上的两个点。这个增量是曲线上二点间的纵坐标值之差与横坐标值之差。这个增量之比y/x在数值上等于该曲线上过此二点的割线的斜率，我们令其为g/f，其中g与f，是这个割线上的任意二点间纵、横坐标值的增量。注意这里是“任意”，不受曲线上那两个点的限制，受该二点限制的是“割线段”，也就是割线与曲线的两个交点之间线段，它的“长度”是会随二点重合而为0的。但显然一般意义的割线上的二点在求斜率时不应重合成一点，因为“斜率”不可能仅仅由一个点来求得。在0时，当然有y/x=g/f，但由于在x=0时f0，也就是当曲线上的两点（与

24、割线的交点）“收缩”成一点时，原先是过曲线上二点的割线，此时变成了切线。因此，不失一般性，为明确起见我们可以就令fx，gy，于是，当x=0时虽然有y/x=0/0，无意义，但此时f0，因此g/f仍有确定的值，也就是原先是割线、现在已是切线的那根线的斜率。我们求的实际就是它，而不是通常被误解而会产生诸多逻辑问题的y/x。也就是说，当x0时，我们实际求的并不是y/x（会产生0/0)，而是g/f(不会产生0/0）。这也就是我们说极限法有逻辑问题，但却可以“歪打正着”产生正确结果的“理论”原因。简单吗？总之，在x=0时，意味着曲线上的两个点合二为一了。但增量的比值函数本身要求必须一定要有两个点，这是非0

25、增量的本质性要求，于是，在曲线上那个唯一点（由两点重合得到的）处还能够满足两个点要求的，只有过该点的切线上的两个点。也就是这个增量的比值是切线的斜率，它只涉及曲线上的一个点，也就是所求导数点。而只要涉及曲线上的两个点，无论它们靠得多近，哪怕是无穷小，也会产生问题。当然，如果仅仅涉及曲线上的一个点，而不涉及切线上的两个点，也不行（有0/0的问题）。所以尽管很多教科书中早就简单地把导数看成切线斜率了，但那只是指的数值相等，只在本身就有问题的无穷小区段或极限时才成立（所谓微分三角形），以往没人认为它会是一个普普通通的宏观量。因此，也可以本质地认为，传统微积分求导中的问题，是把导数看成是曲线上二点间的

26、割线“段”（只是整个割线的一部分）的纵、横坐标增量的比值，于是，当曲线上二点趋于一点时，这个“线段”必然趋于0，因此产生0/0的问题。但如果曲线上的二点不趋于一点，则必有误差，哪怕是无穷小；而笔者的求导，不过是只要求“过”曲线上二点的那个割线上的“任意”二点，如此涉及的点的总数，不仅仅是原先理论中的曲线与割线的两个交点了，还有割线上的另外两个任意点，也就是一共涉及4个点。于是在曲线上的二点趋于一点时，涉及的切线上的另外二点不受此限制，不会趋于一点，因此仍有求斜率的条件，也就是过曲线上一点的切线的斜率。同时，既然不过是切线的斜率，就不必一定采用这种重新被解释的“极限法”（此时仅有形式、过程本身了

27、）来求导数，笔者提出的代数法起码在理论上也可以【1】。总之，传统微积分（无论牛顿法还是“极限法”，本质一样）贝克莱悖论的产生本质，还是源于导数定义中的双点要求，同时导数又严格定义在曲线上一个点的基本事实。这两个导数的基本要素间的表观矛盾没有被澄清。如果仅仅拘泥于在曲线上，二点合一与不合一，都不行。而把问题分解到曲线上的一个点（切点，当然也是切线上的一个点）与切线上的另外两个点，则矛盾自消。事实上，我们可以将导函数看成一个特殊类型的泛函，只不过其过曲线上每点的函数，为线性且等值函数（等比函数，x/t不变，但t可以随意取值）而已。 四、芝诺“飞矢不动”悖论与微积分贝克莱悖论（即0/0问题）的关联性

28、分析及矛盾的化解 事实上，微积分求导问题中的贝克莱悖论与古希腊的芝诺悖论中的“飞矢不动”悖论是同构的。再以自函数x/x为例。都知道其有导数恒为1，按物理解释，就是速度为1。其量纲为“距离/时段”。从这个量纲也可以看出，时段x0。飞矢不动悖论，就是问的在x=0时，以恒定速度1运动（在这个具体的例子中）的“飞矢”，究竟是静止还是运动？按以往极限论的观点，x=0时，虽然没有函数值，也就是恒定速度值，但因为有这个恒定速度的“极限”，也就是令这个极限值为x=0点之值，并命名其为 “瞬时速度”。极限论者认为只要进行了这个“代换”，问题就算彻底解决了，而全然不顾在x=0时，分母为0，从速度的量纲上也可以看的

29、出来，此时这个函数值为0/0，根本就没有有意义的所谓“速度”。极限论成立的前提条件，显然是先要有这个“极限”值，但由前文分析我们现在知道，这个极限值根本就不存在（在x=0点），它与速度本身的值一样，也是0/0，无意义。因此想以这个本不存在的“极限值”去填补原速度函数在x=0点不存在的值是不能成立的。也就是它没有也不可能解决贝克莱悖论的问题。当然，对极限论的彻底分析，也有助于我们解决著名的芝诺悖论中的飞矢不动悖论。芝诺认为x=0时飞矢不动就等于速度为0，但这是错的，因为所谓“不动”可以是速度为0（指的是在时段x0时运动距离为0，而不是时段为0时的运动距离为0），也可以是时段本身就是0，也就是时刻

30、、瞬时（可以想象成理想化的、现实中不可能实现的时间的静止状态）时的飞矢状态，此时它当然没有移动。但后者不叫速度为0，而是在一个“瞬时”或时刻（不是时段，或时段为0）上，时间没有“移动”，飞矢自然也不会“移动”。但这不可能定义速度。因为它与速度的定义不符。这以在此点它的值为0/0体现出来。至于之所以会有“瞬时速度”之说，那只是一个重新定义的问题。是把本质上依赖于时段的本原的速度定义，重新定义在时刻上。是个次级定义。也必须重新解释【1】。 五、一点说明和对“甲函数、乙函数”理论的简评 1、应该强调的是：即使微积分极限论（标准分析）以至于非标准分析都无错，都成立，也不就是笔者的“增量分析理论”【1、

31、4、5】就有错、不成立。也就是，如果极限论等有问题，只有笔者这个方法可以消除其矛盾（消除矛盾依赖于笔者这个理论）；但反之，并不就是笔者这个方法依赖于极限论的错误。也就是不存在它不错笔者就错的情况。我这个增量分析方法如果无矛盾地解释了导数、微分等等，并且可以简化理论，那起码也是可以和极限论的标准分析以致非标准分析等平行的一个方法。这点提请读者注意。换言之，即使有些人仍然不认可我对极限论矛盾的揭示，那也不意味着我提出的增量分析就不对。这是两个问题。 2、有学者提出“本质上不同于极限或无穷小的道路通向微积分”的“甲函数、乙函数”的“第三代微积分理论”【6】，尽管颇有新意，但仔细分析可知：第一，并不能

32、用该理论直接求出导数，而只是借用早已得到的导数，去求证导数就是乙函数。第二、如果该理论真的不需要极限或无穷小，所涉及的曲线上的两个点就是不必互相靠近以致重合之类，但如此，二点间可以有无穷条曲线，也就是可以有无穷个乙函数，导数不定，显然不行。第三、如其不然，而乙函数又是定义在全域上的，也就是在任何点都有定义。于是【文献6】中的公式4、5中“甲函数的差商是乙函数的中间值”的那个中间值本身的乙函数是什么？怎么得到？只有该文公式4、5中的等号成立才可，于是曲线上的二点合一，三值合一。但如此，必然产生中间值分母为0的老问题，于是该文公式6的消去分母中自变量的增量的做法不再被允许，于是得不到有效的乙函数（

33、导数），而只能如传统作法一样得到一个0/0。第四、为了得到有意义的乙函数（非0/0型的），按照该理论的潜在思路及实质，唯一的做法又是不得不依赖于传统的也就是尚处于所谓“第二代”的极限理论，以这个极限去充当或定义乙函数。但极限理论的问题本文前文已经给出详尽的分析，不再重复。第五、该文的主旨就是回避极限理论的，所以在该文中并没有涉及乙函数与极限的实质上存在的隐含关系。由于前述第三、第四点表述的理由，于是该理论的完备性甚至还没有达到传统的、也就是被该文称作是“第二代微积分”的极限论也就是标准分析的水准。本质上，它只是停留在该文所称的“第一代微积分”的牛顿、莱布尼兹理论阶段，不过换了一套反而更不直观的表述形式而已。第六、由于该理论不去直接针对导数的直观定义（物理上是“瞬时速度”，几何上是“切线斜率”），想绕个弯子回避（也就是故意不去提）通常的教学难点也就是极限或无穷小概念，本质上是试图以回避矛盾的方式去解决矛盾，结果由于乙函数概念过于抽象，反而是不借助传统导数概念很难为学生理解（坦率而言，不要说学生，就是教师、专家又有多少真正把该理论的实质搞清楚了的？），这也是作者推出这个理论试图简化教学的目的显然没有达到预期的根本原因