力学基础：第11章 平 面 弯 曲

1、第第11章章 平平 面面 弯弯 曲曲1 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图4 弯矩、剪力和分布载荷集度的关系弯矩、剪力和分布载荷集度的关系5 弯曲正应力弯曲正应力6 弯曲剪应力弯曲剪应力7 梁的强度计算梁的强度计算8 非对称截面梁的平面弯曲非对称截面梁的平面弯曲 弯曲中心弯曲中心9 梁的位移梁的位移 刚度条件刚度条件10 梁的挠曲线微分方程及其积分梁的挠曲线微分方程及其积分11 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形12 简单超静定梁及其解法简单超静定梁及其解法13

2、提高承载能力的一些措施提高承载能力的一些措施1、平面弯曲的概念及梁的计算简图、平面弯曲的概念及梁的计算简图一、梁的平面弯曲弯曲是工程实际中常见的种基本变形形式。工程实例： pp 图(a) 吊车横梁 图(b) 车轴工程实例： pp 图(a) 吊车横梁 图(b) 车轴计算简图如下：1p2ppp工程实例： pp 图(a) 吊车横梁 图(b) 车轴 共同特点：它们都可简化为一根直杆，在通过轴线的平面内，受到垂直于杆件轴线的外力(横向力)或外力偶作用。这种变形形式称为弯曲变形。以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。纵向对称面 通过梁轴线和截面对称轴的平面。 平面弯曲 梁弯曲变形后轴线所在平面与载荷所在的纵

3、向平面在同一平面内的弯曲称为平面弯曲。纵 对 称 轴梁 变 形 后 的 轴 线对 称 轴ABARBR1P2P二、梁的载荷和约束二、梁的载荷和约束作用在梁上的外力，包括载荷和支反力，可以简化为下面三种类型。（1） 集中力 ；单位：牛顿（N） （2） 分布载荷；单位：牛顿/米（N/m）q 均布力均布力 集中力集中力P（3） 集中力偶 ；单位：牛顿米（Nm）M 集中力偶集中力偶构件的支承方式：固定铰支座 ：2个约束，1个自由度。构件的支承方式：可动铰支座 ： 1个约束，2个自由度。固定端 ： 3个约束，0个自由度静定梁 梁的支座反力能由静力学平衡 方程全部求出。超静定梁 由静力学方程不可求出支反 力

4、或不能求出全部支反力。工程实际中常见的静定梁有以下三种形式：(1)简支梁： (2)悬臂梁： (3)外伸梁：梁在两个支座间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长或跨度。常见的静定梁多是单跨的。 2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩一、截面法求梁的内力 当梁上所有外力均为已知时，即可用截面法来确定梁任意横截面上的内力。如图(a)所示简支梁AB，现分析距A端为x处的横截面m-m上的内力。yaeMAB2p1p3pxmm（1）求支座反力）求支座反力 、（2）求内力）求内力 截面法截面法ABRR2p3pMQBRMxQ1peMyaxAR0yaxeMmmAB2p1p3p这里的矩心o点是截面m-m的形心。0Y 1

5、AQRP得：(a)0oM 1()AeMR xP xaM得：(b)yaxeMmmAB2p1p3pya1peMQMxxAR02p3pMQBR同理：可取右段梁为研究对象求出截面m-m上的内力QM、它们与上面取左段梁为研究对象时求得的 Q和M，大小相等但方向(或转向)相反。剪力和弯矩的符号作如下规定：剪力Q: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。Q(+)Q()Q()Q(+)M(+)M(+)M()M()弯矩M：使微段梁产生上弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。按此规定，在图中所示的横截面m-m上的剪力Q和弯矩M均为正值。对（a） 、（b）式进行分析，可得：（1）某一横截面上的剪力在数值上等于该截面左边（或

6、右边）梁上所有横向力的代数和。左边梁上向上的力（或右边梁上向下的力）产生正值剪力；反之产生负值剪力。（2）某一截面上的弯矩在数值上等于作用在该截面左边（或右边）梁上所有外力对 于该截面形心的力矩的代数和。例1 如图所示外伸梁，求横截面11、22上的内力。ABq11222M=qacDcRDRaaaqa解：（1）支座反力。平衡方程（2）截面内力截面11：以左段梁为研究对象， 截面22：以右段梁为研究对象， 0CM0DM2.5DRqa0.5CRqa1Qqa 210.50.5Mqaaqa 22.51.5DQqaRqaqaqa 22222MqaaMqaqaqa ABq11222M=qacDcRDRaaa

7、qa3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图一、剪力方程和弯矩方程一、剪力方程和弯矩方程 （5-1）( )QQ x( )MM x内力与横截面位置坐标（x）间的函数关系式。二、剪力图和弯矩图以x为横坐标，以Q或M为纵坐标，分别绘制Q(x)和M(x)的图线。简称Q图、M图。由此可确定梁上剪力和弯矩的最大值及其所在横截面的位置。例2 如图(a)所示悬臂梁,在自由端受到集中力P作用,试列出该梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图、弯矩图。AyBl(a)(b)(c)xxQMRx( )Q xP( )()M xP Lx 0 xL0 xL（2）作剪力图和弯矩图xp解：（1）求剪力方

8、程和弯矩方程 利用外力叠加法ARAM(a)(b)AyBl(a)(b)(c)xxQMRxxpARAM 式(a)表明，梁各横截面上的剪力均相同，其值为 P， 所得到的剪力图是一条位于x轴上侧且平行与x轴的直线，如图(b)所示。 由式(b)可以知道弯矩为x的线性函数，因而弯矩图为一条( )Q xP( )()M xP Lx 0 xL0 xL(a)(b) 倾斜直线。只需确定其上两点，例如x=0处M=-PL，X=L处M=0，就能够将弯矩图绘制出来，如图(c)所示。由图(b) (c)可见，在梁的各个横截面上，剪力都相同；在固定端截面处，弯矩为最大，且maxMPLAyBl(a)(b)(c)xxQMRxxpAR

9、AM例3 如图(a)所示简支梁，受均布载荷q的作用。 求剪力和弯矩方程并作剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力2BqlR 2AqlR qyAxB(a)1xlBRAR（2）求剪力方程和弯矩方程( )2qlQ xqx2( )22qlqxM xx0 xl0 xl(a)(b)qyARAx1xBRlB(a)( )2qlQ xqx2( )22qlqxM xx0 xl0 xlQ(b)(c)2qlx2qlMx4l34l2232ql2232ql28ql（3）作剪力图和弯矩图 剪力图是一条倾斜直线，知其上两个点即可会出 弯矩图为一条二次抛物线，( )2qlQ xqx2( )22qlqxM xx0 xl0 xl0

10、x 0M /4xl23/32Mql/2xl2/8Mqlxl0M 弯矩图为一条二次抛物线，qyARAx1xBRlB(a)Q(b)(c)2qlx2qlMx4l34l2232ql2232ql28qlmax/2Qql2max/8Mql( )2qlQ xqx2( )22qlqxM xx0 xl0 xl 由剪力图和弯矩图可以得qyARAx1xBRlB(a)Q(b)(c)2qlx2qlMx4l34l2232ql2232ql28ql 例4 如图(a)所示简支梁，受集中力P的作用。求剪力和弯矩方程并作剪力图和弯矩图。由平衡条件 和 求得 0BM0AMAbRPlBaRPlyxABlpBRC解： （1）求支座反力(

11、)()ARab（2）求剪力方程和弯矩方程1( )PbQ xl11( ) PbM xxl 在AC段取距原点为x1的任意截面在CB段取距原点为x2的任意截面2()PaQ xl 22 ()()PaM xlxlyxABlpBRCARab1x1(0)xa1 (0)xa2() axl2()axlMpablxPbLPaLx（3）作剪力图和弯矩图ab/2abl在集中力作用处，剪力发生突变，突变值等于集中力的数值papbabPlllyxABlpBRCARab2x1xmaxQ/Pb lmaxM/Pab lmaxM/4PlQP例5 如图(a)所示简支梁，受集中力偶Me的作用。求剪力和弯矩方程并作剪力图和弯矩图。l1

12、xcabABBReM(a)AR( )eMQ xl ( )x ( )() eeMM xlMM xlxl 解 （1）求支座反力由平衡方程可得 , eAMRleBMRl(0)xl(0)xa（2）求剪力方程弯矩方程()axl（3）作剪力图和弯矩图 在集中力偶的作用处，弯矩发生突变，突变值为该集中力偶矩的值eMlMeblMealeabl1xcABARBRM()eeeMMabbaMlll 且在集中力偶作用两侧弯矩方程不同，应分段写出，弯矩图也应该分段绘制。eM4 弯矩弯矩,剪力和分布载荷集度的关系剪力和分布载荷集度的关系22d( )( )dMxq xx 剪力、弯矩与分布荷载间的关系：剪力、弯矩与分布荷载间

13、的关系： ddQ xq xxd( )( )dM xQ xxq(x)分布载荷集度q(x)是x的连续函数，并规定向上为正。0yxxdx(a) qq xM(x)Q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ(x) q x根据静力平衡条件，0Y ( )( ) ( )( )0Q xq x dxQ xdQ x( )( )dQ xq xdx0oM ( )( )( )( )( )02dxM xQ x dxq xdxM xdM x整理后得到 （5-3）将（5-3）式带入（5-2）式得 （5-4）( )( )dM xQ xdx2( )( )2d M xq xdx弯矩弯矩剪力剪力载荷集度载荷集度（降幂）（降幂）载荷集度

14、以向上为正，x轴以向右指向为正,并且要求在讨论的区间内剪力Q(x)和弯矩M(x)都是x的连续函数，即在该区间既没有集中力也没有集中力偶。简支梁Pa/4P/ 2Pa/ 2a/ 2aqqa2/ 8qa/ 2m/ 2ma/ 2a/ 2m/ a荷载形式、剪力图和弯矩图之间的关系荷载形式、剪力图和弯矩图之间的关系均布力 qq = 0FS = 0M = CFS 0FS 0q b）。lABxARBRyCabp1x2xl解：（1）求弯矩方程根据分段规律，列出弯矩方程为AC：CB：( ),( )ABbaRPRPll1111()(0)bMxPxxal22222()(),()bMxPxP xaaxllABxARBR

15、yCabp1x2xl（2）求转角方程和挠曲线方程对于AC段111()bEIvxPxl21111()2bEIxPxClq31111 11()6bEIv xPxC xDl111()bMxPxl对于CB段2222()()bEIvxPxP xal22222221()()22bEIxPxP xaClq3322221()66bEIvPxP xaC xDl111()bMxPxl根据连续性条件：可得 再利用边界条件 和 ，可得1212( )( ),( )( )aa v av aqq1212,CC DD1(0)0v2( )0v l 2212120,()6PbDDCClbl ABxARBRyCabp1x2xlAC

16、段转角方程和挠曲线方程分别为222111( )(3)6PbEIxlbxlq 223111()6PbxEIvlbxl ABxARBRyCabp1x2xlCB段转角方程和挠曲线方程分别为ABxARBRyCabp1x2xl2222223()() 6PblEIxlbxalbq 223322222()()() 6PblEIvxlbxxxalb （3）确定最大挠度和最大转角由挠曲线的大致形状可知，最大转角应在A或B两个端面处。因为 ，则 为最大转角。12()()(0),( )66ABPab lbPab lalEIlEIlqqqq ABxARBRyCabp1x2xlabBq此梁的最大挠度应在此梁的最大挠度应

17、在 处。处。AC段，由段，由 得得 (a)因因 ，可见，可见 。说明。说明 在在AC段段 (b)2()( )6BPab lalEIlqq0vq*11()0 xq22*1(2 )33lba abxab*1xa/0vq*22 3max11()()9 3Pbvv xlbEIl1()(0)6APab lbEIlqq 讨论简支梁最大挠度的近似计算问题。先求出上述梁跨度中点D的挠度 (c) 由 可见，b越小，则 越大。说明载荷越靠近右支座，梁的最大挠度点离中点越远。当b值很小，以致 与 相比可以忽略不计时，分别由(b)、(c)两式可得22(34)48DPbvlbEI 2b2l2max0.0642PblvE

18、I 20.0625DPblvEI 1x22*13lbx 在这种极端情况下，最大挠度和中点挠度也相差很小(相对误差不到3)。 对于简支梁不论其受何种载荷，只要其挠曲线不出现拐点，则可用梁跨长中点的挠度代替其最大挠度，并不引起很大的误差。 当梁的受载情况比较复杂时，梁的弯矩方程必须分段写出，则各段梁的挠曲线微分方程也将不同。由每段梁的微分方程积分时，都将出现两个积分常数。确定这些积分常数要同时用到边界条件和连续性条件。5-11叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形求解挠度和转角时，可应用叠加原理。分别求出每载荷单独作用下的挠度和转角，将各个载荷单独引起的挠度和转角分别代数相加，就得到多个载荷共同作用下的

19、挠度和转角。这就是计算弯曲变形的叠加法。 例 如图所示简支梁受集中力P和均匀分布载荷q的作用，求中截面C的挠度和转角。pABC2l2lqq解：P单独作用下q单独作用下P和q共同作用下ABCp2l2lq(a)pABq(c)( )CfqAB( )Cf(b)pq31()48CPPlfEI 425()384CqqlfEI 12()()CCPCqfff34548384PlqlEIEI 5-12 简单超静定梁及其解法简单超静定梁及其解法一、超静定梁的概念对维持梁的平衡来说多余的约束，称为多余约束，相应的约束反力称为多余约束反力。此时支反力的数目将多于平衡方程的数目，仅由平衡方程已不能求解。这种梁称为超静定

20、梁（或静不定梁）。超静定梁的基本解法求图示的梁的支反力。解：（1）选取静定基。撤除多余约束，超静定梁变成了静定梁。这个静定梁称为原超静定梁的静定基。以支座B为多余约束，相应的支座反力为多余约束反力。lBqAlBqBRABl（2）找变形条件。加上原来的均布载荷和多余约束力，受力情况和原超静定梁完全相同。载荷q和多余约束反力共同作用下满足B点挠度等于零的变形条件。即 上式称为变形谐调条件。AMlARABqBRABlq()()0BBB qBRfff(a)（3） 建立补充方程求解多余约束力。载荷q和多余的约束反力在B点分别产生的挠度为 它们表示了力与位移之间的关系，称为物理条件。AMlARBRABqA

21、Blq43()8()3BBqBBRqlfEIR lfEI (b)将（b）式代入（a）式得 （c）这就是补充方程。由此得（4）求其余支反力。然后用静力平衡方程求得其余支反力为43083BqlR lEIEI38BRql58ARql218AMqlAMlARABq去掉固定端的转动约束，相应约束力偶 ,得到新的静定基。变形协调条件A处的转角为零，即而载荷和约束力偶在A点分别产生转角为联合解得AMlABqAM()()0AAAqAMqqq3()24AqqlEIq ()3AAAMMEIq218AMql解题方法：解题方法： 先选取适当的静定基先选取适当的静定基; 通过原超静定梁与静定基的变形进行比较通过原超静定

22、梁与静定基的变形进行比较找出变形谐调条件；找出变形谐调条件； 利用力与位移的物理关系得到补充方程，利用力与位移的物理关系得到补充方程，从而求得多余约束力；从而求得多余约束力； 由平衡条件求其余支反力。由平衡条件求其余支反力。这种求解超静定梁的方法称为这种求解超静定梁的方法称为变形比较法变形比较法。5.13 提高承载能力的一些措施提高承载能力的一些措施由弯曲正应力强度条件知，提高梁的弯曲强度主要从两个方面来考虑：一方面是降低梁内最大弯矩值；另一方面是提高梁横截面的抗弯截面模量值。1.合理安置梁的支座 合理安置梁的支座，能降低梁内的最大弯矩，提高梁的弯曲强度。maxMzW如图所示简支梁，受均布载荷q作用，梁内的最大弯矩为2max18Mqlql28ql若将两支座内移 ，则最大弯矩减少到即仅为前者的 。 0.2l2max140Mql15q0.2l0.6l0.2l240ql250ql在静定梁上增加支座数目，成为超静定梁，也可以降低梁内最大弯矩，提高弯曲强度。2、合理布置载荷如图所示简支梁，在跨