相对论2013期末复习

1、相对论相对论第五部分第五部分 近代物理部分近代物理部分1. 狭义相对论狭义相对论 经典力学的相对性原理经典力学的相对性原理2. 狭义相对论的两个基本原理狭义相对论的两个基本原理2. 洛洛伦兹变换伦兹变换2. 速度变换速度变换2. 同时性同时性2. 长度缩短长度缩短2. 时间膨胀时间膨胀2. 质速关系质速关系2. 质能关系质能关系2. 2. 量子物理基础量子物理基础 黑体辐射、斯特藩黑体辐射、斯特藩玻耳兹曼定律、维恩位移定律玻耳兹曼定律、维恩位移定律3. 普朗克假普朗克假设设3. 光电效应与光子光电效应与光子2. 康普顿效应及解释康普顿效应及解释2. 光的波粒二象性光的波粒二象性2. 氢原子光谱

2、的实验规律氢原子光谱的实验规律2. 玻尔氢原子理论，意义和局限性玻尔氢原子理论，意义和局限性3. 德布罗意关系德布罗意关系2. 电子衍射实验电子衍射实验3. 实物粒子的波粒二象性实物粒子的波粒二象性2. 不确不确定关系定关系3. 能量量子化、角动量量子化与空间量子化能量量子化、角动量量子化与空间量子化3. 波函数及其波函数及其统计解释统计解释2. 原子中电子运动的四个量子数及其意义原子中电子运动的四个量子数及其意义3. 泡利不相容泡利不相容原理和原子的电子壳层结构原理和原子的电子壳层结构3. 相对论相对论爱因斯坦的假设爱因斯坦的假设爱因斯坦爱因斯坦两个假设两个假设: 物理定律在一切惯性系物理定

3、律在一切惯性系 中都取相同形式。中都取相同形式。(1)(1)狭义相对性原理狭义相对性原理- 真空中的光速相对于任何真空中的光速相对于任何 惯性系沿任一方向恒为惯性系沿任一方向恒为c c，并与光源运动无关。并与光源运动无关。(2)(2)光速不变原理光速不变原理-建立新坐标变换的原则：建立新坐标变换的原则：1.1.应该是线性的应该是线性的. .v c 时时, ,应新应新旧旧相对论相对论最后得到新变换：最后得到新变换：x=a11x+a14tt=a41x+a44ty=yz=z21 vtxx221)/( xcvttyy zz 21 vtxx221)/( xcvttyy zz 洛伦兹洛伦兹正变换正变换洛伦

4、兹洛伦兹逆变换逆变换cv cv 说明几点：说明几点：(1)(1)正变换公式条件：正变换公式条件：S和和S 座标如图座标如图, ,且且t = =t =0=0时时,0,0与与0 0 重合重合. .(2)(2)一般一般S静系静系和和S 动系动系, ,S静系静系S 动系动系正变换正变换( (vxx轴正方向轴正方向) )S 动系动系S静系静系逆变换逆变换逆变换也可视逆变换也可视: :S 为为静静系系S为为动动系系v- -v代入代入正变换即得正变换即得) )(3)(3)只能只能S 的速度的速度vc(vc(光速光速) )物体上建物体上建S 物体速度物体速度vc(v t S看看S动钟慢了动钟慢了洛洛伦伦兹兹正

5、正变变换换21 vtxx221)/( xcvttyy zz cv 1)()( 21212 ttvxx 012 tv 1)()(212212 xxcvtt 12tt 相对论相对论Syzx0.p1 (x1,t1) (x1,t1)事件事件1 .p2(x2,t1) 事件事件2(x2, t2)v在在S看来看来,S相对相对S向向 负负x轴方向运动轴方向运动.21 vtxx221)/( xcvttyy zz cv 洛洛伦伦兹兹逆逆变变换换 12xxx 12ttt S同地同地 x2=x1S 同地同地 x =0, t 0; S看却不同地看却不同地 x 0, t t S看看S动钟慢了动钟慢了结论：结论： S同地报

6、时两次同地报时两次 t; S不同地报时两次不同地报时两次 t, 且且 t tS同地报时两次同地报时两次 t; S不同地报时两次不同地报时两次 t, 且且 t t相对相对 1)()(21212 ttvxx 012 tv 1)()(212212 xxcvtt 1 2tt Syxz0相对论相对论非相对论多普勒效应非相对论多普勒效应( (回顾回顾) ) 1842.( (奥奥) )多普勒多普勒 波源波源S与接收器与接收器( (如人耳等如人耳等) )有相对运动有相对运动, ,从而接收器接收到的从而接收器接收到的频率有变化的现象频率有变化的现象-多普勒效应多普勒效应1. 波源波源S静止静止(uS=0，人动人

7、动u人人 0)人朝向人朝向S运动运动人耳在人耳在 t内收到内收到(uu人人) t/个波长个波长0vuuuuuttv人人人人耳耳内内收收波波长长数数 人远离人远离S) ( 0自自证证人人耳耳vuuuv 5.5 相对论多普勒效应相对论多普勒效应如火车进站声频高如火车进站声频高; ;火车出站声频低。火车出站声频低。 uvu 0 声声波波频频率率，声声波波长长，设设：声声波波速速人耳人耳S 介质介质波对人耳速度波对人耳速度波对人耳速度波对人耳速度相对论相对论2.观察者静止观察者静止(u人人=0)，波源，波源S动动(uS 0)波源波源S朝向人运动朝向人运动: :由图知由图知:波长压缩了波长压缩了即：即：

8、000 vuuuvuvuuTuuuvSSS 耳耳波源波源S远离人远离人: :) ( 0自自证证耳耳vuuuvS 介质介质 SuS人耳人耳TuSTuS uST TuS uS=0的第二波的第二波3.一般情况：一般情况： coscos0vuuuuvS 人 耳耳规律：波源动规律：波源动波长变波长变;接收器动接收器动接收完整波长数变接收完整波长数变.波对人耳速度波对人耳速度波对人耳速度波对人耳速度可见：当波源或观察者在二者联线垂直方向可见：当波源或观察者在二者联线垂直方向( = = /2)上运动时，上运动时， 无多普勒效应。无多普勒效应。(见本教材力学见本教材力学p237)相对论相对论相对论多普勒效应相

9、对论多普勒效应光波传播不需介质光波传播不需介质, , 这与机械波声波完全不同这与机械波声波完全不同; ; 由光速不变原理，无论是光源向接收器运动由光速不变原理，无论是光源向接收器运动,还是接收器向还是接收器向光源波运动，对接收器来说光速都是光源波运动，对接收器来说光速都是c。 TuS因此因此,可仿声波源朝向可仿声波源朝向接收器接收器情形如图情形如图接收器接收器(不动不动)S:光源光源(运动运动)S: 光波周期光波周期T =T0, = 0 光波周期光波周期T, ,频率频率 相对论相对论, 12 TT cuS = -uST=cT- uST =(c-uS)T缩缩TuS 缩缩接收频率为：接收频率为：0

10、 11)( TucccS缩缩光源与接收器在连线上光源与接收器在连线上SuSx接收器接收器无介质无介质相对论相对论光源与接收器不在连线上光源与接收器不在连线上接收器接收器uS光源光源将将v 投影到连线上投影到连线上: :uScos = (c -uS cos) T,缩缩接收频率为：接收频率为： )cos(TucccS 缩缩相对论相对论 , 1 2 TT cuS , 10 T 1)cos(2TuccS )cos1(102v 11 00vv 11 0vv 光源相对接收器迎来光源相对接收器迎来频率增加频率增加光源背对接收器远离光源背对接收器远离频率减少频率减少光源光源或或接收器接收器在二者联线垂直方向上

11、运动在二者联线垂直方向上运动 1 202vv 注：在互垂直方向上注：在互垂直方向上, 机械波声波等无多普勒效应机械波声波等无多普勒效应,而光波有。而光波有。相对论相对论5.6 相对论速度变换公式相对论速度变换公式Syxz0Syzx0.p (ux , uy , uz) v质点质点(ux , uy , uz) 建立建立(ux , uy , uz) (ux , uy , uz) 关系式关系式质点质点P P在空间运动在空间运动, ,其速度在其速度在各惯性系下不同各惯性系下不同由洛伦兹变换由洛伦兹变换21 vtxx221)/( xcvttyy zz cv 21 vdtdxxd221)/( dxcvdtd

12、tdyyd dzzd dtdxux dtdyuy dx)c/v(dtvdtdx2 x2xu )c/ v (1vu dx)c/v(dt1dy22 u)c/v(11ux22y dt dz uz dx)c/v(dt1dz22 u )c/ v(11ux22z 相对论相对论xxxucvvuu21 11 22xyyucvuu 11 22zxzucvuu 相对论速度正变换公式相对论速度正变换公式v c vuuxx yyuu zzuu 伽利略正变换伽利略正变换x2xx ucv1v uu ucv11 uux22yy ucv11 u ux22zz 相对论速度逆变换公式相对论速度逆变换公式vuuxx yyuu z

13、uuz伽利略逆变换伽利略逆变换易证：易证：2222222cuuuuuuzyxzyx 这表明这表明S系中的光速变换到系中的光速变换到S中仍是光速中仍是光速c c，反之亦然。反之亦然。各惯性系中光速不变各惯性系中光速不变 v 0vtvc不合光速不变原理不合光速不变原理质量质量m变变vm时间足够长时间足够长外力作用外力作用并且并且 v m vc如果：如果：因此，狭义相对论要求因此，狭义相对论要求: vm 且且 v m 质速关系质速关系 1 220cvmm 相对论质速关系式：相对论质速关系式：相对论相对论质能关系质能关系式：式： E = mc2 Ek末末 = mc2 - m0c2 相对论相对论 能量动

14、量关系能量动量关系狭义相对论中动量定义仍为：狭义相对论中动量定义仍为：p = mv目的：找出能量与目的：找出能量与动动量的关系式量的关系式相对论相对论质能关系质能关系 E = mc2)(12220cvcm )1 (4202242cmcvcm 相对论相对论能量动量关系能量动量关系式式: : 42022422cmpccmE 应用应用:若微观粒子以光速若微观粒子以光速v 运动运动(如光子如光子), 其静止质量其静止质量m0=0。 由质速关系式由质速关系式 mccEp 光子动量为：光子动量为： 0)(10220mcvmm 只能只能m0=0才才 00型型相对论相对论 斯特藩斯特藩-玻尔兹曼定律玻尔兹曼定

15、律黑体的总辐射本领与绝对温度的四次方成正比即黑体的总辐射本领与绝对温度的四次方成正比即:40)(TTE =5.67010-8W/(m2.K4)-斯特藩斯特藩-玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数T E0剧增剧增 维恩位移定律维恩位移定律在任何绝对温度在任何绝对温度T下下, ,黑体辐射本领的峰值波长黑体辐射本领的峰值波长m m与与T成反比成反比即即:bTm b = 2.89810-3m.K-维恩常数维恩常数T m向短波方向移动向短波方向移动应用：遥感和红外追踪，应用：遥感和红外追踪，测量太阳等星体表面的温度测量太阳等星体表面的温度, , 或炉体或炉体内温度内温度应用：应用：降低飞机、坦克、军舰等表面温度降低

16、飞机、坦克、军舰等表面温度, ,以防红外导弹攻击。以防红外导弹攻击。相对论相对论 普朗克量子假设普朗克量子假设19001900年年( (德德) )普朗克采用普朗克采用: :短波取维恩公式短波取维恩公式长波取瑞利公式长波取瑞利公式两者拟合成曲线两者拟合成曲线内插法内插法找到了与实验曲线吻合的经验公式：找到了与实验曲线吻合的经验公式：1e1hc2)T,(rkThc520 c-光速光速k-玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数h-普朗克普朗克常数常数由实验曲线吻合情况来确定普朗克常数由实验曲线吻合情况来确定普朗克常数 h=6.62610-34J.s普朗克注意到普朗克注意到: 公式中指数项的重要性公式中指数项的重要

17、性 2111xxx玻尔兹曼统计规律玻尔兹曼统计规律(见热学教材见热学教材p67-69)普朗克量子假设普朗克量子假设: :谐振子与辐射场交换的能量只能是某个基本单元的整数倍即：谐振子与辐射场交换的能量只能是某个基本单元的整数倍即： = 0, 2 0, 3 0, , n 0 ,是划时代的是划时代的能量不连续能量不连续21相对论相对论爱因斯坦论文指出：爱因斯坦论文指出：光子理论光子理论: : :不仅在发射和吸收时，光的能量是一份一份的，不仅在发射和吸收时，光的能量是一份一份的，而且光本身就是由一个个集中存在的、不可分割而且光本身就是由一个个集中存在的、不可分割的能量子组成，其能量为的能量子组成，其能

18、量为h . .对于时间平均值即统计的平均现象对于时间平均值即统计的平均现象,光表现为波动光表现为波动但对于瞬时值即涨落现象但对于瞬时值即涨落现象,光却表现为粒子光却表现为粒子爱因斯坦认为这是爱因斯坦认为这是 “非常革命非常革命” 的。的。波粒二象性波粒二象性: :光的光的22光子理论光子理论肯定了在微观领域里能量守恒仍然成立肯定了在微观领域里能量守恒仍然成立 动量守恒仍然成立动量守恒仍然成立康普顿效应重要意义康普顿效应重要意义: :肯定了肯定了光子理论正确光子理论正确,光子概念遍及整个电磁波光子概念遍及整个电磁波相对论相对论当时物理学家往往习惯用力学方法处理问题当时物理学家往往习惯用力学方法处

19、理问题久无结果！久无结果！1884年年6月月25日瑞士一位中学数学教师日瑞士一位中学数学教师巴耳末巴耳末打开了突破口打开了突破口 波波长长：波长波长 A6562.262337 .3645 30222 n A4860.932447 .3645 40222 n A4340.122557 .3645 50222 n A4101.412667 .3645 60222 n谱线谱线H H H H 可见，与实测值吻合很好！可见，与实测值吻合很好！6562.104860.744340.14101.2 2 222 nnB . 6 , 5 , 4 , 3,A7 .3645 ,0 nB23相对论相对论1890年年(

20、瑞典物理学瑞典物理学)里德伯波数公式里德伯波数公式 1211 22 nRH m101.0967758 41-7 BRH自证自证里德伯常数里德伯常数, 6 , 5 , 4 , 3 n波数波数:推广有广义巴耳末公式：推广有广义巴耳末公式： 111 22 nmRH nm m =1 莱曼系莱曼系: : 2,3,4, , 1111 22 nnRH m =3 帕邢系帕邢系: m =5 普丰德系普丰德系: : 4,5,6, , 1311 22 nnRH m =4 布拉开系布拉开系: : 5,6,7, , 1411 22 nnRH (紫外区紫外区,1906)(近红外区近红外区,1908)(红外区红外区,192

21、2)(远红外区远红外区,1924) 2,HmRm (极限波长极限波长) 6,7,8,n , n151R1 22H 24相对论相对论玻尔三个基本假设玻尔三个基本假设(1913(1913年年):):定态假设定态假设 chEEv nmmnnm 跃迁假设跃迁假设量子化条件量子化条件- 原子处在不辐射原子处在不辐射也不吸能量的定态也不吸能量的定态1、定态、定态2、相应能量相应能量E1 、E2、 原子从原子从En高能定高能定态跃迁到态跃迁到Em低能定态时辐射出一低能定态时辐射出一个光子个光子, ,其辐射频率公式：其辐射频率公式： 定态电子绕定态电子绕 核园周运动的角动量量子化：核园周运动的角动量量子化：

22、1,2,3, , nnmvrE1E2E3定态定态1定态定态2定态定态3( (基态基态) )( (第一激发态第一激发态) )( (第二激发态第二激发态) )EmEn吸收吸收辐射辐射 nm nm原子核原子核电子运动电子运动轨道轨道n=1n=2n=3能量不连续能量不连续 2h 25相对论相对论莱曼系莱曼系巴耳末巴耳末系系帕邢系帕邢系布拉开系布拉开系( (基态基态) )( (第一激发态第一激发态) )( (第二激发态第二激发态) )( (第三激发态第三激发态) ) n=1 n=2 n=3 n=4 n= E1E2E3E40-13.6-3.39-1.51-0.850En/eV 巴巴=370nm 莱莱=?

23、帕帕=? 布布=?氢原子能级与光谱图氢原子能级与光谱图注：对于不同元素，其原子能级与光谱图不同。注：对于不同元素，其原子能级与光谱图不同。26相对论相对论 玻尔理论的局限性玻尔理论的局限性玻尔理论有如下不可磨灭的贡献：玻尔理论有如下不可磨灭的贡献：找到了一条将量子理论运用于原子结构的通道；找到了一条将量子理论运用于原子结构的通道；是经典物理学到量子力学的一个好过渡；是经典物理学到量子力学的一个好过渡；从理论确定出了原子的大小玻尔半径；从理论确定出了原子的大小玻尔半径；玻尔的定态假设和跃迁假设至今仍然广泛应用。玻尔的定态假设和跃迁假设至今仍然广泛应用。玻尔理论的局限性玻尔理论的局限性不能解释稍复

24、杂原子的光谱线规律不能解释稍复杂原子的光谱线规律;无法说明氢原子光谱线强度和线宽无法说明氢原子光谱线强度和线宽;理论本身缺乏和谐性理论本身缺乏和谐性(经典物理与量子假设混用经典物理与量子假设混用)结论：有必要探索一个能说明众多原子现象的崭新理论。结论：有必要探索一个能说明众多原子现象的崭新理论。27相对论相对论实物粒子与光子一样实物粒子与光子一样, ,也具有波粒二象性也具有波粒二象性, ,其能量其能量E和动量和动量p为：为：能量能量: : hE E kp 或或 2 20kk (波矢波矢)E、p-粒子性物理量粒子性物理量 、 -波动波动性物理量性物理量波粒二象性波粒二象性式中式中： 2 h (约

25、化普约化普朗克常朗克常数数)( (德布罗意的博士论文中德布罗意的博士论文中) )(2)德布罗意物质波假设德布罗意物质波假设动量动量: : hp 28相对论相对论自然得到玻尔第三假设自然得到玻尔第三假设量子化条件量子化条件干涉相消干涉相消电子绕核作园周运动电子绕核作园周运动传播一周后波应传播一周后波应光滑衔接光滑衔接(否则，干涉相消如虚线否则，干涉相消如虚线) 2 r = n 电子角动量电子角动量r/ = n/2 hrprmvr 这正是玻尔的量子化条件这正是玻尔的量子化条件德布罗意物质波理论的推论如下：德布罗意物质波理论的推论如下： 2nhn 29相对论相对论(2)波动性：波动性：“可叠加性可叠

26、加性”，“干涉干涉”，“衍射衍射”，“偏振偏振”；具有频率和波矢；具有频率和波矢；不是经典的波，不是经典的波，不代表实际物理量振动的传播不代表实际物理量振动的传播。微观粒子的微观粒子的波粒二象性不是经典的波和粒子波粒二象性不是经典的波和粒子的简单组合。的简单组合。(1)粒子性：粒子性：具有能量和动量具有能量和动量不是经典的粒子；不服从牛顿力学规律，不是经典的粒子；不服从牛顿力学规律，抛弃了抛弃了“轨道轨道”的概念！的概念！30相对论相对论关于微观粒子总结如下：关于微观粒子总结如下： 微观粒子确实具有波动性和粒子性微观粒子确实具有波动性和粒子性;不能将微观粒子的波动性和粒子性相互归属不能将微观粒

27、子的波动性和粒子性相互归属;微观粒子的运动没有轨道，只能用概率描述微观粒子的运动没有轨道，只能用概率描述; ;微观粒子和观察仪器之间存在不可预测性。微观粒子和观察仪器之间存在不可预测性。31相对论相对论量子力学量子力学 导出不确定关系式导出不确定关系式19271927年年( (德德) )海森伯由量子力学严格证明了不确定关系为：海森伯由量子力学严格证明了不确定关系为：; 2 xpx; 2 ypy 2 zpz结论：结论：不确定关系是由微观粒子的波粒二象性所决定的；不确定关系是由微观粒子的波粒二象性所决定的；不确定关系是微观粒子本身的固有性质；不确定关系是微观粒子本身的固有性质；微观粒子不存在坐标和

28、相应动量同时完全确定的状态。微观粒子不存在坐标和相应动量同时完全确定的状态。式中：式中： 2h 称其为约化普朗克常数称其为约化普朗克常数32相对论相对论经典描述适用性判据经典描述适用性判据不确定关系式不确定关系式: x px h y py h z pz h适用于适用于微观粒子微观粒子宏观物体宏观物体经典描述适用性判据如下：经典描述适用性判据如下：当一个物理系统的作用量数值当一个物理系统的作用量数值与与h可比拟时可比拟时，不确定关系起重要作用，须用量子力学处理系统行为不确定关系起重要作用，须用量子力学处理系统行为；当一个物理系统的作用量数值当一个物理系统的作用量数值h 或可视或可视h0时时，不确

29、定关系微不足道，用经典力学处理系统行为即可不确定关系微不足道，用经典力学处理系统行为即可.估计微观系统的主要特征估计微观系统的主要特征有了不确定关系有了不确定关系, 有时无需知道系统详情有时无需知道系统详情, 就能估计系统的特征。就能估计系统的特征。相对论相对论波函数的统计诠释波函数的统计诠释(玻恩玻恩1926): 描述粒子运动状态的波函数描述粒子运动状态的波函数 (x,y,z,t)，则，则表示粒子在时刻表示粒子在时刻t,t,在在x, y,z附近单位体积内出现的概率附近单位体积内出现的概率. . *=概率密度概率密度波函数波函数 代表微观粒子的概率波代表微观粒子的概率波(概率幅概率幅)重要重要

30、!意义：意义： 把粒子的波动性和粒子性统一起来了把粒子的波动性和粒子性统一起来了 *大的地方大的地方, ,粒子出现概率大粒子出现概率大, ,衍射花样强度大衍射花样强度大; ; 由波函数由波函数 可计算出微观粒子的平均物理量可计算出微观粒子的平均物理量 如平均能量、平均动量和平均位置等如平均能量、平均动量和平均位置等反之亦然。反之亦然。 这个波函数这个波函数 (x,y,z,t)应该具有什么性质呢？应该具有什么性质呢？34相对论相对论对波函数的要求对波函数的要求波函数一般是复数函数波函数一般是复数函数证明如下：若波函数是余弦规律，不妨设证明如下：若波函数是余弦规律，不妨设 (x,t)=Acos (

31、x,t)则则概率密度概率密度= *=A2cos2 (x,t)=是时间的函数是时间的函数这表明不可能出现稳定的干涉条纹这表明不可能出现稳定的干涉条纹,与双缝电子衍射实验不合。与双缝电子衍射实验不合。波函数允许乘以任意常数波函数允许乘以任意常数 因为概率分布是相对概率分布因为概率分布是相对概率分布, ,如空间如空间x1 1点和点和x2 2点的相对概率为点的相对概率为22212221)()()()(xxxcxc c 与与 是完全一样的概率波是完全一样的概率波波函数是有限、单值和连续波函数是有限、单值和连续( (包括其一阶导数连续包括其一阶导数连续) )的的1* d(归一化条件归一化条件)表明该粒子一

32、定出现表明该粒子一定出现35相对论相对论 态叠加原理态叠加原理量子力学中，量子力学中，波函数波函数决定系统状态决定系统状态 态函数态函数 量子力学中的量子力学中的态叠加原理态叠加原理：若系统具有一系列互异的若系统具有一系列互异的可能状态可能状态 1 , 2, ，其中其中 2iC正比于系统处在正比于系统处在 )t ,(ir 态的概率。态的概率。 叠加原理对波函数成立，干涉、衍射后形成新叠加原理对波函数成立，干涉、衍射后形成新的波函数，平方后形成粒子的分布概率。的波函数，平方后形成粒子的分布概率。则则 2211CC 也是该系统的可能状态。也是该系统的可能状态。若物理量若物理量A 在在 1态为态为a

33、1, 2态为态为a2, 在在 中测量：中测量： 或或a1，或或a2，但不会是其它值，但不会是其它值; a1，a2出现的出现的概率概率与与C1，C2有关有关 36相对论相对论222121CCC 22221221222121aCCCaCCCa 2：222122CCC ：测量值测量值：宏观测量值是微观取值的统计平均值宏观测量值是微观取值的统计平均值 1：总概率总概率 1微观态微观态 A取值取值 概率概率a1a2薛定谔猫？薛定谔猫？n21nnaCA 一般有一般有37相对论相对论能能量平均值量平均值dEEE 0 zyxtiddd 采用同样的方法有：采用同样的方法有： 找出非自由粒子的薛定谔方程找出非自由

34、粒子的薛定谔方程能量空间波函数能量空间波函数由粒子的能量与动量的关系由粒子的能量与动量的关系UpmE 221对两边取平均值有对两边取平均值有dEE zyxdpdpdpmp 22 zyxtzyxUddd),( zyxtiddd zyximddd 212 zyxtzyxUddd),( 能量算符能量算符0ddd ),(2 22 zyxtzyxUmti ),(2 22 tzyxUmti 非自由粒子非自由粒子的薛定谔方程的薛定谔方程2222222zyx 相对论相对论定态薛定谔方程定态薛定谔方程若若 U(r,t) =U(r) (即不含时间即不含时间t ), 则可令则可令 (r,t) = (r) f(t)

35、代入薛定谔方程并整理有：代入薛定谔方程并整理有： )()()(2)(1d)(d)(22rrUrmrttftfi =E等式左右两边分别是独立变量等式左右两边分别是独立变量t、r的函数的函数 E是常量是常量 )()( tEfdttdfi tiECetf )( )()()()(2 22rErrUrm -定态薛定谔方程定态薛定谔方程tiCe / E 若若 U(r,t) =U(r) (即不含时间即不含时间t ), 则薛定谔方程的解中则薛定谔方程的解中:tiEertr )(),( (注：注：C在在 (r)相对论相对论说明几点：说明几点： 由德布罗意关系由德布罗意关系E=h 知，知，E是粒子总能量。粒子系统处是粒子总能量。粒子系统处 于定态时，其能量于定态时，其能量E具有确定值。具有确定值。 U(r,t) =U(r) 解解定态薛定谔方程定态薛定谔方程求出波函数和能量求出波函数和能量 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 )()()(2 22rErrUm pip 作替换作替换UpmH 221哈密顿算符哈密顿算符UpmH 221哈密顿量哈密顿量 )()( rErH 本征方程本征方程E称为算符称为算符H的本征值的本征值 称为算符称为算符H本征值为本征值为E的本征函数的本征函数利用界面连续、有限、利用界面连续、有限、单值、归一化条件求