高等数学课件：第1章集合与函数

1、1高等数学高等数学2 经济应用数学基础（一）经济应用数学基础（一） 微积分微积分（第三版）赵树（第三版）赵树嫄嫄主编主编. 中国中国 人民大学出版社人民大学出版社. 2011 . 5教材教材参考书参考书高等数高等数学学简明教程简明教程郭游瑞等主编郭游瑞等主编. 复旦大学出版社复旦大学出版社. 2014 . 83 在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论论简单的量的关系简单的量的关系，尤其只讨论，尤其只讨论常量和固定图常量和固定图形形，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家后法国数学家笛卡尔笛卡尔(R.Desc

2、artes 1596-1650)(R.Descartes 1596-1650)把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家生。这主要归功于英国数学家牛顿牛顿(I.Newton (I.Newton 1643-1727)1643-1727)和法国数学家和法国数学家莱布尼兹莱布尼兹(G.W.Leibniz 1646-1716)(G.W.Leibniz 1646-1716)。这就是今

3、后要学习。这就是今后要学习的课程。的课程。高等数学高等数学4学习目的学习目的v掌握微积分的基本概念掌握微积分的基本概念,基本理论基本理论, 基基本运算技能本运算技能(三基三基);v培养抽象思维能力培养抽象思维能力,逻辑推理能力逻辑推理能力,空间空间想象能力及自学能力想象能力及自学能力;即独立分析问题即独立分析问题和解决问题的综合能力和解决问题的综合能力.51.预习；听课；复习；作业；小结。预习；听课；复习；作业；小结。2.复习中学数学（三角函数恆等式）。复习中学数学（三角函数恆等式）。3. 注意连贯性（后边章节用到前边章节内容）。注意连贯性（后边章节用到前边章节内容）。4.多做习题，独立做（不

4、要抄），逐步积累。多做习题，独立做（不要抄），逐步积累。5.抓紧时间，自己管理自己。抓紧时间，自己管理自己。学习方法学习方法6高等数学的基本内容高等数学的基本内容微分学应用微分学应用导数与微分的概念与计算导数与微分的概念与计算极限的直观定义与计算极限的直观定义与计算一元函数微分一元函数微分一元函数积分一元函数积分多元函数多元函数简单微分方程简单微分方程偏导数偏导数重积分重积分不定积分不定积分定积分概念与计算定积分概念与计算积分学应用积分学应用无穷级数无穷级数利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质7交作业时间：交作业时间： C班每星期一班每星期一 D班每星期

5、四班每星期四 注意注意按时交作业，用小作业本或单行按时交作业，用小作业本或单行页页1.1 集合集合1.2 函数函数1.3 常用经济函数常用经济函数第一章第一章 集合与函数集合与函数第一章第一章 集合与函数集合与函数 一一. . 集合的概念集合的概念 集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体是指具有某种特定性质的事物的总体,通常用通常用A, B,C等表示等表示. 组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素,通常用通常用a,b, c等表示等表示. 1.1 集合集合例例1 几个集合几个集合(1) 2014年在广州市出生的的人年在广州市出生的的人. (2) 全体奇数全体奇数.

6、(3) 直线直线x- -y=0上所有的点上所有的点.(4) 一个班所有的同学一个班所有的同学.9P5集合的性质集合的性质:确定性确定性:一个元素是否属于一个集合是确定的一个元素是否属于一个集合是确定的.互异性互异性:集合中的相同元素只算作一个集合中的相同元素只算作一个. 有限集合有限集合:由有限个元素组成的集合由有限个元素组成的集合. 如例如例1中中(1)(4)无限集合无限集合:由无限个元素组成的集合由无限个元素组成的集合. 如例如例1中中(2)(3) 若若a是集合是集合A的元素的元素,则称则称a属于属于A,记为记为aA.否则否则就称就称a不属于不属于A,记为记为a A集合的表示方法集合的表示

7、方法:1 描述法描述法: 用语言描述出集合是由满足什么样属性的元素组用语言描述出集合是由满足什么样属性的元素组成的成的.102 列举性列举性: 将集合的元素一一列举出来将集合的元素一一列举出来,并写在大括号内并写在大括号内.例例2 下列集合都是用描述法表示的下列集合都是用描述法表示的:(1)全班的男同学组成的集合全班的男同学组成的集合. (2)坐标系中坐标系中x轴上的点轴上的点. (3)一个电影放映厅中所有的座位一个电影放映厅中所有的座位. 例例3 用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合: (1)不超过不超过10的自然数的自然数 的集合的集合A; (2)方程方程x2- -1=0的实根的集合的

8、实根的集合B. 解解 (1) A=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. (2) 方程方程x2- -1=0的实根为的实根为x1=- -1, x2= 1，故，故B=- -1, 1 113 概括法概括法: 在大括号中画一条竖线在大括号中画一条竖线, 在竖线左侧写出集合代在竖线左侧写出集合代表元素的名称表元素的名称, 右侧写集合元素满足的共同属性右侧写集合元素满足的共同属性, 即即x|x满足的属性满足的属性 例例4 用概括法写出下列集合用概括法写出下列集合: (1)全体负数的集合全体负数的集合; (2)全体偶数的集合全体偶数的集合. 解解 (1) x|x0,称集合称集合x

9、|x- -x0|0,称集合称集合x|0|x- -x0|为点为点 x0 的的 去去心邻域心邻域,记为记为 . x0称为去心邻域的称为去心邻域的中心中心, 称为去心称为去心邻域的邻域的半径半径.o0(, )U x o00000(, )(,)(,)U xxxxx 有时为方便称有时为方便称(x0- - ,)为为x0 的的左邻域左邻域,而称而称(,x0+ )为为x0的的右邻域右邻域.22P9习题习题1-11; 2; 3; 5;X0=a1.2 函数函数定义定义5 设设D为非空数集为非空数集. 如果存在一个法则如果存在一个法则, 使得对使得对D中每个元素中每个元素x, 按法则按法则, 都有唯一确定的实数都有

10、唯一确定的实数y与之对应与之对应, 则称为定义在则称为定义在D上的一个上的一个函数函数, 记作记作f:DR,通常简通常简记记作作 y=(x).称称 x 为为自变量自变量, y 为为因变量因变量; D 为为定义域定义域,记记作作Df;全体函数值的集合全体函数值的集合 Rf=y|y=f(x),xD称为称为值域值域.一一. . 函数的概念函数的概念2. 函数概念的五因素函数概念的五因素:自变量、定义域、因变自变量、定义域、因变量、对应法则、值域量、对应法则、值域.定义域定义域对应法则对应法则23P9例例1 判断下列各对函数是否相同判断下列各对函数是否相同 .2(1) ( )ln,( )2lnf xx

11、g xx22(2) ( )1,( )sincosf xg xxx2(3) ( ) |,( )f xxg xx24（1）不）不同同（2）相同相同（3）相同相同P10例例2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域321(1) ( )4156xf xxxx 247(2) ( )log log logf xx 例例3 已知已知 ,求求2(1)1f xxx( )f x25P10函数的定义域就是函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值自变量所能取的使算式有意义的一切实数值 33)(3)1(3)1( 3)1(312 1)1(2222 xxxfxxxxxxxxf1)公式法公式法(解析法解析法) 将

12、自变量将自变量x与因变量与因变量y间的函数关系间的函数关系用一个关于用一个关于x的公式来表达的公式来表达. 特点是特点是:每给一个自变量每给一个自变量x, 根据函数关系的公式就可计算出对应的因变量根据函数关系的公式就可计算出对应的因变量y. 二二. . 函数的表示方法函数的表示方法322,41,yxyx26xxxf22cos1sin)( 解解24221)1()(xxxxff )1sin()(2 xxf )sin(sin)(xx P112)图象法图象法 绘出所有自变量与对应的因变量组成的数对绘出所有自变量与对应的因变量组成的数对之集合之集合(x,y)|xD,y=f(x)在在xy坐标平面中对应的点

13、坐标平面中对应的点,这这些点的集合就是函数的图象些点的集合就是函数的图象 . 3yxx的图象的图象 : 如如 3)表格法表格法 在表格中列举出每一个自变量在表格中列举出每一个自变量x及与其对应及与其对应的因变量的因变量y . 1yx如定义在如定义在D=1,2,3,n 上的上的 可表示为可表示为 :274)表述法表述法 用语言描述自变量用语言描述自变量x与因变量与因变量y之间的函数关之间的函数关系系. 如因变量如因变量y与自变量与自变量x成正比例关系成正比例关系. 1)有界性有界性 存在存在m,M, 对任意的对任意的xD, m(x)M则称(x)在D上有界. 有界有界 无界无界三三. . 函数的几

14、种特性函数的几种特性28P1121011x29P12数数证明下列函数是有界函证明下列函数是有界函1)1(22 xxy P32EX28习题习题301)2(2 xxy证证11)1(22 xxy有界有界函数函数122 xxy分母大于分子分母大于分子12 xxy12 xxxx2 21 有界有界函数函数12 xxy, 0)1()2(2 x, 0122 xx ,212xx xx21 2 分母变小，分式变大分母变小，分式变大2)单调性单调性xyO2x1x1()f x2()f xy= (x)2x1()f x2()f xy= (x)Oxy1x单调增加单调增加单调减少单调减少31P1233222121212121

15、()()()()f xf xxxxxxx xx22221123()()024xxxxx222121()()(1)(1)f xf xxx22121212()()xxxxxx32P12)()()(,21212121xxxxxfxfxx 3)奇偶性奇偶性 对称性对称性: 奇函数的图形关于奇函数的图形关于原点原点对称对称,偶函数的图偶函数的图形关于形关于y轴轴对称对称.34)()()(,21212121xxxxxfxfxx P122222(1)(1)1lnln11xxxxxxxx 22()ln( ()1)ln(1)fxxxxx xx(x,(x)(x,(x)xyoxx(x,(x)(x,(x)xyo偶函数

16、关偶函数关于于y轴轴对称对称奇函数关于奇函数关于原点原点对称对称35212ln(1)ln(1)( )xxxxf x 所以所以,f(x)为为奇函数奇函数.P134)周期性周期性36 从几何直观来看从几何直观来看, 如如果一个函数是周期函数果一个函数是周期函数, 则其图象在相等的间隔中则其图象在相等的间隔中重复出现重复出现. P1337P13()(1)f xkTf xkTT(1) )()( )f xkTf xTf x()()(1) )f xkTf xkTTf xkT() )( ).f xkTk Tf x 一个函数的周期不唯一一个函数的周期不唯一. 如果周期函数的所有正如果周期函数的所有正周期中有一

17、个最小的周期中有一个最小的, 则称其为函数的则称其为函数的最小正周期最小正周期. 38P13四四. .分段函数分段函数例例13 常用分段函数常用分段函数(1) 绝对值函数绝对值函数 ( ) |f xx,0,0,xxxx39P14(2) 符号函数符号函数 1,0,( )sign( )0,0,1,0,xf xxxx(3) 取整函数取整函数 40P14为正整数为正整数，当当nnnxnxxf)1,)( 五五. .反函数与复合函数反函数与复合函数1.1.反函数反函数41P154231)1()( yxfP1543P152.2.复合函数复合函数44P16452)(xaxg 六六. .初等函数初等函数1.1.

18、基本初函数基本初函数46P164748)( ln)( ,)( ,71828. 2自然对数自然对数，指数函数指数函数无理数无理数xyeyex sin正弦函数:yxcos余弦函数:yxtan正切函数:yx49cot余切函数:yx1seccos正割函数:yxx1cscsin余割函数:yxx50arcsin反正弦函数:yxarccos反余弦函数:yx51arctan反正切函数:yxarccot反余切函数:yx522.2.函数变换函数变换53543.3.函数运算与初等函数函数运算与初等函数5522)( lnlog)( ,)( ,71828. 2,2sinh自然对数自然对数，指数函数指数函数无理数无理数x

19、xeeeexexxx 58)(ln ,lnlnlnlnln叫幂指函数叫幂指函数有有令令xxxxxxuuxxxeexxueeueexx 4.4.函数模型函数模型59P23(1)(2)( )(30)Rrrr xr21291 2222x 3021107 374 182 4 (分分)1(千万元千万元). 显然显然, 对此人来说先第二种方式是对自己最有利的对此人来说先第二种方式是对自己最有利的. 60P2461P24 askssm0 ,)(解解 根据已知条件可得根据已知条件可得saaskka ),(5462, 0,2)(axcxbxaxp P24P24 习题习题1-21（2）; 2 （2）; 3 ; 1

20、0（1）;11（1）（）（3）; nmnmaaalogloglog)1 ,logloglog)2nmnmaaa ,loglog)3mnmana 01ln, 01log)4 a1ln, 1log)5 eaa,log)6logxaaxxaa 基础知识基础知识1、对数、对数nmnmlnlnln nmnmlnlnln mnmnlnln xeexx lnln63xxxxeexxlnln sincostancotseccsc1222222sincos1tan1seccot1csc sincsc1cossec1tancot1sintancoscoscotsin2、三角函数、三角函数64函函数数0010101

21、010sincostan6432122232322212333 65三角函数值三角函数值2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx 66常用三角公式常用三角公式 22sincos2cos cossin22sin 22cos1sin2 22cos1cos2 223322abababababaabb十字相乘法十字相乘法 3、因式分解、因式分解)33()(32233babbaaba bxxaxxxxxxxxxxxxbaxx 212121212212, )( )(67 00aa

22、aaa)0( a4、绝对值绝对值绝对值的性质绝对值的性质0, )8( )7( )6( )5( )4( )3(0 )2( )1(2 yyxyxyxxyyxyxyxyxxxxxxxxx),( 00000 xxxxxxx点点x0的的邻域邻域 或 , MM xM xMxMxMx 68一一. . 单利与复利单利与复利 1.3 常用经济函数常用经济函数1(1)sprppr2(1)(12 )sprrppr(1)nspnr第一年末的本利和为第一年末的本利和为第二年末的本利和为第二年末的本利和为第第n年末的本利和为年末的本利和为1(1)rspnprn 单利情形下单利情形下, 一年内多次付息与一年末一次付息一年内

23、多次付息与一年末一次付息, 所得年末的本利和是相同的所得年末的本利和是相同的. 69P25)1(nrpsn 1. 单利计算公式单利计算公式1000(1)(1)sss rsrpr22111(1)(1)sss psrpr111(1)(1) .nnnnnsssrsrpr1.mrspm 复利情形下复利情形下, 一年内多次付息与一年末一次付息相一年内多次付息与一年末一次付息相比比, 所得年末的本利和相差较大所得年末的本利和相差较大. 70nnrps)1( rss11 71)1(nrpsn nnrps)1( 二二. . 需求函数需求函数 需求函数反映的是在某一特定时期内需求函数反映的是在某一特定时期内,

24、市场上某市场上某种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因种商品的各种可能的购买量和决定这些购买量的诸因素之间的数量关系素之间的数量关系. 72P26apbpfQd )(73三三. . 供给函数供给函数 供给函数反映的是在某一特定时期内供给函数反映的是在某一特定时期内, 市场上某种市场上某种商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素商品的各种可能的供给量和决定这些供给量的诸因素之间的数量关系之间的数量关系. 74P27dcppfQs )(75四四. . 市场均衡市场均衡 在线性需求函数和线性供给下在线性需求函数和线性供给下,市场均衡价格为市场均衡价格为 *bdpac76P26cadbp

25、dcpapbQQdcppfQapbpfQsdsd *)()(五五. . 成本函数成本函数 77P2778120020 ,(0,150Cxx平均单位成本函数为平均单位成本函数为120020,(0,150CCxxx79例例4 某工厂生产某产品某工厂生产某产品, 每日最多生产每日最多生产150单位单位. 它的日它的日固定成本为固定成本为1200元元, 生产一个单位产品的可变成本为生产一个单位产品的可变成本为20元元. 求该厂日总成本函数及日平均单位成本函数求该厂日总成本函数及日平均单位成本函数. 80六六. . 收入与利润函数收入与利润函数 P27812130020000,0400,2( )( )(

26、 )60000 100 ,400. xxxL xR xC xxx82P29 习题习题1-3 3 6831.集合集合集合的定义集合的定义:有限集合有限集合;无限集合无限集合;集合的表示法集合的表示法列举法：列举法：A=2,3 A=2,3 描述法：描述法：A=x|x2-5x+6=0集合是指具有特定性质的一些事物的总体集合是指具有特定性质的一些事物的总体. .组成组成这个集合的事物称为该集合的元素这个集合的事物称为该集合的元素. . Aa 子集子集AB 全集全集 U U 本章内容小结本章内容小结集合运算集合运算:集合的并：集合的并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合的交

27、：集合的交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合的差：集合的差：A A- -B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 空集空集84区间区间闭区间：闭区间：a,b=x|axba,b=x|axb开区间：开区间：(a,b)=x|axb(a,b)=x|axb左闭右开区间：左闭右开区间：a,b)=x|axba,b)=x|axb左开右闭区间：左开右闭区间：(a,b=x|axb(a,b=x|axb无无限限区区间间是符合是符合某些条件某些条件实数集合实数集合a, + a, + )=x|ax)=x|ax(- (- ,b=x|xb ,b=x|xb(- (- ,b)=x|xb ,

28、b)=x|xb(a, +(a, +)=x|ax)=x|ax无无限限区区间间85实数集实数集(- (- ,+ ,+)=x | - )=x | - x+ x+ 邻域邻域(a,)=x| |x-a|=x|a-xa+=(a-,a+)点点a的的邻域邻域点点a的的空心邻域空心邻域o( a , )= x | 0|x-a| = x | a- xa 或或 axa+ =(a- , a)U(a , a+)符合符合某些条件某些条件实数集合，也实数集合，也是是区间区间开区间开区间两个集合的并两个集合的并862.函数函数函数的特性函数的特性)(xfy ),( DxxfyyZ 值域值域定义域定义域:自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数的两要素函数