高等数学课件：4-5最大值与最小值,极值的应用问题

1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 4.5 极值应用问题一、最大值与最小值 二、极值应用问题举例 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、最大值与最小值 函数的最大值、最小值与极大值、极小值 一般说是不同的 设函数yf(x)在区间a b上连续 我们说f(x0)是函数f(x)在(a b)内的极大值(或极小值) 是指x0(a b) 对x0的一个包含在(a b)内的邻域(x0 x0)中的每一点x(xx0)有 f(x0)f(x) (或f(x0)f(x) 而f(x0)是函数f(x)的最大值(或最小值) 则是指x0a b 对所有xa b有 f(x0)f(x) (或f(x0) f

2、(x) 分析首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、最大值与最小值 分析 极值是局部性局部性的概念 而最大值(或最小值)是全局性全局性的概念 最大值(或最小值)是函数在所考虑的区间上全部函数值中的最大者(或最小者) 而极值只是函数在极值点的某邻域内的最大值或最小值 一般说来 连续函数在a b上的最大值与最小值 可以由区间端点函数值f(a)、f(b)与区间内使f (x)0及f (x)不存在的点的函数值相比较 其中最大的就是函数在a b上的最大值 最小的就是函数在a b上的最小值 最值的求法 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 特殊情况下最值的确定 若函数f(x)在a,

3、 b上单调增加(减少) 则f(a)是f(x)在a, b上的最小(大)值 f(b)是f(x)在a, b上的最大(小)值首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 如果连续函数在区间(a, b)内有且仅有一个极大(小)值 而没有极小(大)值 则此极大(小)值就是函数在区间a, b上的最大(小)值 特殊情况下最值的确定 若函数f(x)在a, b上单调增加(减少) 则f(a)是f(x)在a, b上的最小(大)值 f(b)是f(x)在a, b上的最大(小)值首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解: 在4.4例2中已求得,在驻点x=1处函数 f(x)取得极小值,21) 1 (f在导数不

4、存在的点x=0处取得极大值 f(0)=0.下面计算区间端点处的函数值,易得, 0827,25) 1(ff因此, 0827)0()(max827, 1ffxfx.25) 1()(min827, 1fxfx 例 2 求函数3223)(xxxf的单调增减区间和极值 .827, 1上的最大值与最小值在区间1首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 二、极值应用问题举例 所以V(a/6)为函数 V的极大值 同时它也是函数V的最大值 解 例1 将边长为a的一块正方形铁皮 四角各截去一个大小相同的小正方形 然后将四边折起做成一个无盖的方盒 问截掉的小正方形边长为多大时 所得方盒的容积最大？ 设小正方

5、形的边长为x 则方盒的容积为 求得 V (a2x)(a6x) V 8a24x Vx(a2x)2 x(0 a/2) 当截掉的小正方形边长为a/6时 所得方盒的容积最大 令V 0 在(0 a/2)内得 xa/6 因为V (a/6)4a0 2首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 令2240VSrr 得驻点求得 3222(2)24rVVSrrr S2r22rh 例2 要做一个容积为V的圆柱形罐头筒 怎样设计才能使所用材料最省？ 因此总表面积为 因此 当罐头筒的高和底直径相等时 所用材料最省 因为S44Vr30 所以S在点r0处取得极小值 也就是最小值 这时相应的高为 解 设底半径为 r 高

6、为 h 则 Vr2h 解 设底半径为 r 高为 h 则 Vr2h 解 设底半径为 r 高为 h 则 Vr2h 2Vhr S2r22rh222Vrr r(0, ) 3222(2)24rVVSrrr 2240VSrr 得驻点302Vr 302Vr rVVVrVh222)2(332223首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 例3 某厂计划年产a台车床 分批生产 每批生产准备费为b元 每年每台库存费为c元 若平均库存量为批量的一半 问每批生产多少台 年库存费与生产准备费的和最小？设批量为x 则库存费与生产准备费的和为 xcxabcxbxaxP22)( x(0, a) 令02)(2cxabxP 得驻点02)(2cxabxP 得驻点cabx20 因为02)(3 xabxP 所以 P(x)在 x0处取得极小值 也就 02)(3 xabxP