热物理过程的数值模拟-计算传热学2

1、2迁移性传递过程的两种机制：扩散传递、对流传递两种机制在物理特上的差异：对信息或扰动的传递性质上有很大的区别扩散传递：物质分子不规则热运动所致，这种分子的不规则热运动对空间不同方向的几率是一样，所以扩扩散作用可以把发生在某一位置处的扰动影响向各个方向传递。对流传递：是流体微团的宏观定向运动，带有强烈的方向性。对流作用只能将发生在某一位置处的扰动向其下游方向传递，而不会逆向传播。图示扩散与对流作用在物理本质上的这种差异，应在其各自的差分格式中反映出来。（1）扩散项的中心差分把扰动向四周均匀传递一堆非稳态扩散方程：对于常物性差分格式（时间导数向前差分，空间导数中心差分（显示），均匀网格为简化起见，

2、假定初始时刻物理量场已均匀化，且，在某一时刻（例如第n时层），节点i处突然有一个扰动，而其余各节点的扰动均匀为零，如图所示，随着时间的推移，这一扰动传递的情形可由上述差分方程来确定，（n+1）时层：其中在这里，网格傅里叶数，按稳定性要求，对节点i+1：其中类似地有：如果取，则：时，在扩散作用下扰动的传递由图可见，在扩散作用下，n时刻发生在节点i 处的扰动，到n+1时刻均匀地向两侧传递开去。可见扩散荐的中心差分格式具有迁移特性，与扩散过程的物理本质一致。（2）对流项差分数表达式的物理特性如果对流项的某种差分格式使扰动仅沿着流动方向传递，则称此格多具有迁移特性。对流项的中心差分格式不具有迁移特性均

3、匀网格，则有类似地有：n时层，仅节点i处有扰动，则：i处扰动同时向相反的两上方向传递对流项的迎风差格式具有迁移性迎风差分：对流项中的一阶导数由该点及上游方向一个邻点的值确定。以u>0的情形来分析，n时刻，仅节点i处有扰动。i扰动仅向流动方向传递求解实际物理问题时，只注意差分格式的截差等级是不够的。*背风格式的截差与迎风格式相同，但它只能使扰动逆流而上而不是顺流而下，这就完全违背了物理规律。3-5 两个指导原则和四项基本法则不言而喻，对于数值解的总的要求应当是：1、物理真实性，即分布规律和变化趋势与实际过程一致，以物体冷却为例；热量分析，离散集总。（1）数值解有偏差；（2）离散方程（或差分

4、格式）非唯一（不同的型线选择），其所得的离散方程不相同）其数学特性和物理特性不相同，相应的数值解也不相同，随着网格节点数目，不同的离散方程将会给出相同的解，但节点数会导致内存，机时增加，是不希望的，希望在粗网格情形下，解也是真实的。所以首先保证数值解的物理真实性，然后才是提高准确性。2、总的平衡：能量、质量、动量、的平衡总量平衡是解的物理真实性的必要条件，但不是充分条件。如何确保所得到数值解满足物理真实性和总的平衡，离散方程应服从于一些什么样的约束条件？二、四项基本法则1、控制容积界面上的连续性体现总的平衡分段线性分布，界面物性参数（例如界面导热系数）2、正系数法则 CP常数的一维模型方程体现

5、物理真实性差分格式，作显式阶梯式变化式中注：满足系数和法则非均匀网格时常物性、均匀网格：如果取为隐式阶梯式变化，则有对于稳态问题，则从物理过程看，由于扩散与对流作用而使发生变化，或者呈现一定的分布；从离散方程看，某个网格节点处的值只有通过扩散及对流作用才受到相邻网格节点上的值的影响，体现扩散（和对流）作用的是节点系数，在其它条件不变的情况下，一个网格节点处值的增加，应导致相邻网格节点上值的增加而不是减少，在上述离散方程中，如果要必然导致，则必然是与有相同的符号，即离散方程中中心节点系数与各相邻节点系数的符号相同。“离散方程中所有的节点系数（及）必须总是正的”。正系数法则保证了数值解的物理真实性

6、。相邻节点间的相互作用（制约，控制），决定了变量的变化趋势和分布：节点系数值体现影响的大小体现在邻点系数和法则节点系数的符号体现影响中心节点的变化趋势真实性3、源项的负斜率线性化对物理真实性的补充，并影响到稳定性通常，S是本身的函数，所以在建立离散方程时需要知道这种函数关系，但由于采用线性代数的方法来解离散化方程，所以只能将S（t）在形式上表示成线函数的关系，即将S-T“线性化”：的常数部分，的系数（不代表节点P处的S值）控制容积积分：t-x：阶梯式分布；：隐式阶梯式分布，则离散方程的变化：由于SP项的存在，即便所有的邻点系数均为正，仍有可能为负，违背物理真实性所要求的正系数法则，解决方法：“

7、当源项线性化为时，系数SP必须0”物理意义上理解：大量实际过程中源项与变量之间确实具有负钭率关系。对于正的SP，如果没有有效的散热机构，则当，会导致物理状态不稳定；从计算方法上讲，SP>0可能导致数值解不稳定和解在物理上的不真实。导体的电阻，则SP>0。4、邻点系数和法则对总的平衡的补充，对离散方程总的平衡的检验从数学上看，如果控制方程只包含变量的导数项而不包含非导教项，（与有关的源项），则和（c是一个任意常数）均满足控制方程，这种性质应当反映在相应的离散方程中，即当和所有的都增加同一常数值时，离散方程应仍然成立：当源项S与（或t）有关时，和不有同时满足控制方程，相应离散方程的节点

8、系数不满足这一法则，如何理解？设想一个特殊情况SP=0来应用这一法则，以检验离散方程的正确性。中心节点温度是相邻节点温度的一个加权平均值。如果所有邻点温度都相等，从物理上理解，必=，从系数所代表的意义上来理解：代表中心节点与相邻节点之间的传递率（例如热导，一维时），它与函数差（）相匹配，成对出现：第四章 热传导4.1 研究对象及学习思路从本章开始，将数值方法应用于热物理过程，热物理过程由什么控制、描述？通用微分方程，它由四个部分组成，非稳态项、对流项、扩散项、源项。向量形式 传导型 扩散型直角张量形式 传导型 扩散型1、研究对象传导型方程的数值解法应研究求解此通用控制方程的数值方法。事实上：（

9、1）直接数值求解完整的通用控制方程，复杂性大，某些数值方法的思想不易理解；（2）存在一大批热物理过程与其类似的物理过程，不必用完整的通用控制方程来描述，即有缺损项，例如缺对流项：扩散型方程热传导问题：物理过程相对简单而易于理解，数学复杂性小。位势流动：涡量为零的无粘性流动称为位势流，其物理意义为流体微团仅有平动与变形而没有统其自身的旋转运动。不可压缩无粘性流动由Euler方程及连续性方程来描述：二维三个变量u、v、p，方程组封闭，为了能用比较简便的方法求解速度场，进行变换消去压力梯度项：令满足量在xoy平面上的分量，涡量。再利用连续性方程，可化为涡量守恒方程：在无粘流动中，若起始时刻流场中无涡

10、且边界上也不产生涡，则整个流场将处处无涡。对于热流：三维流动、涡矢量（旋度）为：热流则三个速度分量必定是某个标量函数的偏导数； 速度势函数对于二维问题，将速度分量代入连续性方程，得势流的速度势函数满足Laplace方程。分析二维势流时，常用流函数作为因变量，定义为： 自动满足连续性方程。代入涡量定义式且为势流（），则有流函数方程，扩散型方程可见，对于二维势流，不必直接求解Euler方程这样复杂的控制方程，而可以通过求解更简单的速度势函数或流函数的Laplace方程而获得速度场，进而利用Bernoulli方程求出各节点处的压力。从数值求解的角度看，求解流函数方程比求解速度势方程更合适：速度势仅存

11、在于势流中，对于粘性流体，不存在速度势函数，而流函数在粘性流场中也存在，其时涡量不为零，且流函数方程变人，有源项，Poisson方程势函数的边界条件对无渗透的固壁面均为第二类（齐次）：流函数方程的边界条件则是第一类的。第一类B、C下的数值计算容易收敛。扩散传质，通过多孔介质的流动、通道内的充分发展流动传导型方程的解法可直接应用。电磁场问题、热辐射的扩散模型、润滑问题亦属于传导型方程，可用传导型方程的数值方法求解。（3）传导型方程数值解法亦是流体流动计算整体方案中的一个组成部分代数方程的求解方法是相同的，修改的只是代数方程（离散方程）的内容。（4）从物理概念上看，动量传递（速度场）与热量传递（温

12、度场）有某种程度上的相似性，因此，可将热传导型方程的数值解法作为流体流动计算方案的基本组成部分，反过来亦加强了这种概念上的一致性。2、学习导热型问题数值法的思路：一维为基础、推广、扩展到多维，为什么还要讲一座。（1）一维问题的物理过程最简单，数学上的复杂性最小，数值方法中的一些基本思想很容易通过它来阐述；（2）扩散系数（）源项（S）是变量的函数时，也必诉诸数值计算。4-2 一维稳态热传导一、控制方程的一般形式一般指用于直角坐标、圆柱坐标、球坐标及变截面的一维导热情形（4-2-1）式中：x热量传导方向的空间坐标，广义坐标；A（x）传导面积或面积因子S（t）源项；导热系数，或一维导热的坐标及面积因

13、子坐标系空间变量面积因子A（x）（或面积）示意图直角x1（单位面积）圆柱rr-(以一弧度rad包含的区域为计算对象)球坐标rr2（以一球面度sr包含的区域为计算对象）直角变截面x(热流方向)传导面积A（x）凡控制方程可以在形式上写成式（4-2-1）那样的物理问题，均可称（视）为导热（扩散）型问题，并可按本章所述的方法进行数值求解。例：等厚度环助传热过程的控制方程直接利用式（4-2-1）和圆柱坐标系写出，关键在于写出S（t）的表达式w/m2？无量纲化：= 控制方程为，引入具体计算：0（常物性）-0.2-0.3变物性的处理：二、离散方程的建立采用控制容积积分法，推导式（4-2-1）的离散方程控制容

14、积P，用A（x）乘式（4-2-1）两端，并将其对P控制容容积作积分：将源项S（t）线性化为取为阶梯式分布对扩散项，取为分段线性分布，则最终可得：（4-2-2）其中（4-2-4）为东西界面的导热系数。不同的离散方式所得结果的差异就表现出在节点系数（）和常数项b的计算式上。节点系数的物理意义：单位温差下的热流量、热导，其数值大小反映了节点E对P节点温度影响的程度。热阻/w三、几点讨论1、网格间距 ，采用非均匀网格当网格间距，可以获得比较准确的数值解，但节点数目，内存，机时，所以不能笼统地采用细网格。变化平缓的区域，粗网格，coarse grid；变化陡急的区域，细网格，fine grid；合适的非

15、均匀网格的获得：试探性粗网络的初步信息合适的非均匀网格所以粗网格也应给出有物理意义的解！2、界面导热系数？，物性值存放在节点处，如何确定？（1）线性变化（4-2-5），即界面位于网格间距正中间时算术平均（4-2-6）缺点：当时，左边控制容积材料绝热：，但此时的，按此计算的界面热流，不符合实际，所以线性变化不能适应导热系数突然变化的情形，。（2）调和平均法 确定的目的在于正确给出界面热流的计算式（数值方法中的计算式）；实际热流？一维问题是一个双层平板的导热（P控容与E控容之间的一维导热）P平板（控容），材料组成E平板（控容），材料组成两层平板串联导热通过界面的传热量是多少？令，即可得 （4-2-

16、7）特例，e位于P、E点正中间时，是的调和平均值 （4-2-8）合理性？E板材料绝热，实际上两板之间无热传导，与无关，与实际相等；线性化方案：，保留了的影响，不合理；ii，而是 P板的高导热性使其温度均匀，实际导热距离，但中名义上仍用所以合理！所以因子是对方程中采用名义词距的补偿；导出的条件：无内热源、突变，一维扩广：有内热源、连续变化、多维，调和平均法仍有满意的结果这里，在推广条件下如何准确地确定，尚有待研究！3、源项线性化S（t）这里所指的线性化是局部线性化，即在某个t的附近范围内。线性代数方程组只允许形式上的线性关系出现：（4-2-9）以表示t的估计值或前一次迭代值，则有在P点处附近，S

17、随t的变化可以有多个局部线性化方案，选择的依据：；应当是的一个好的近似，如何理解“好”了？（1）S=5-4t（2）S=3+7t电热源，必须有好的散热环境！（3）S=？ 切线方程： = =试绘出线性化温度化的图象？，相同的对应的，温度变化量结论：，迭代收敛速度；在一般情况下，时的收敛速度最快，但切线方案稳妥而有效。4、非线性的处理离散方程是形式上的代数方程，当等时，控制方程将是非线性的！反映在离散过程中，节点系数与t有关：，随而变化非线性，求而又需要已知来预先确定。处理方法：迭代式解法（1）估计或猜测一个初场（，）赋初值（2）由初场确定一组临时系数（3）在这一组临时系数下，求解名义上的节点变量的

18、线性代数方程；非线性问题在每一组确定系数下进行的求解计算称为一个层次的迭代。（4）以作为新的，返回到步骤（2），并重复这一迭代过程，直至t无实质性变化为止，。收敛判据：绝对值判据 变化率判据说明：非线性问题的迭代式解法，目前尚无完整的理论来判断是否能获得收敛的解，实践表明，只要：每一层次上的代数方程的系数都满足迭代法求解的收敛充分条件；两个相邻层次间代数方程的系数变化不太大，亦即未知量的变化不太大；则多数情况下非线性问题的迭代式求解方法是可以收敛的。4-3 边界条件的处理一个热物理问题的完整描述：控制方程+单值性条件确定的解一维稳态问题，单值性条件：物理、几何、边界，有两个边界条件。控制方程的

19、离散内部节点处的变量离散方程，仅此，不足以求解而获得数值解！边界条件的处理补充边界节点方程，使代数方程封闭。要区分两种不同的离散化方法，A和B，所以它们在边界处所获得的网格结构不相同：方法A：边界节点占有半个控制容积；方法B：边界点不占有控制容积（或者控制容积的厚度=0）一、离散化方法A外节点法：先定节点，后定界面（如图）1、第一类边界条件给定边界温度，给定，无需再建立边界节点方程，温度直接进入相邻内节I的离散方程。2、第二类边界条件给定边界热流，这时，边界节点温度未知，需要建立关于边界节点（边界控制容积）的离散方程。如何建立？通过边界条件表达式而获得：将式（4-2-1）在边界半控容上积分，并

20、注意到加入热量为正。控容法：0代入上式，经整理得到：二阶截差（4-3-1）其中（4-3-2）特例：对于均匀截面，取1m2，则有热平衡法：在型线与控容法相同时，其结果一致。泰勒级数法：只能是向后差分：一阶截差，从数值计算的角度看，为了保证计算的总体准确度，边界节点离散方程的截差应力求与内部节点一致！与控容法和平衡法不同！3、第三类边界条件：给定（边界热条件），边界节点温度未知，需要补充关于边界节点温的离散方程。利用第二类边界条件时的结果，将此时的表达式代入，亦此时 控容积分结果：最终得其中（4-3-3）将第二、三类边界条件合并表示为：（4-3-4a）2ndB、C时（4-3-4b）3rdB、C时（

21、4-3-4c）于是，边界节点方程中的系数为（4-3-5）二、离散化方法B内节点法：先定界面，后定节点，且以上诸边界条件下的边界点方程仍然适用，但（界面与边界面重合）例题：等截面直肋取，则有A：方法B：分析解：数值解：方法A、B；边界节点方程：一、二阶截差解：1、方法A，三等分，四个节点：1、2、3、4，节点2： 二阶截差节点3： 二阶截差节点4：（B、C向后差分） 一阶截差 半个边界控容积分： 二阶截差格式t2t3t4t5右边界节点一阶格式0.24770.52290.8563A右边界节点二阶格式0.21680.48670.7497精确解0.22000.46480.7616B数值解0.10840

22、.33720.60350.7702精确解0.10850.33770.60480.76164-4 线性代数方程的求解内部节点离散方程：(4-4-1)(4-4-2)边界节点：统一表示为系数矩阵的非零元素集中在三条对角线性上三对角矩阵，TDMA（TriDiagonal-Matrix Algorithm）思路：通过代入消元，使每个方程只含两个节点温度，从而形成上三角系数矩阵，最后一个方程则只包含一个未知节点温度，即得到之值；然后回代，得到，即对第i个方程而言，由前一方程可得（4-4-5）代入第i个方程（4-4-3a）得解出得消元后，上三角阵元素的递推关系（4-4-6）因为，所以；因为TDMA步骤：1、

23、计算2、计算3、令4、回代计算出TDMA方便而有效，且其所需计算机内存及所耗机时仅，而不是一般的N2或N3。CTDMA 循环三对角阵算法（cycle TDMA）DTDMA 双三对角阵算法（double TDMA）4-5 一维非稳态导热与一维稳态导热相比，仅多一非稳态项，所以仅需阐明非稳态项的离散即可。着重说明非稳态项离散过程中，三种典型型线的选择及所形成的差分格式的一些特性。一、通用离散方程通用控制方程，稳态通用控制方程+非稳态项（4-5-1）在时间间隔内，将上式在控制容积P上作积分：型线tx：非稳态项中呈阶梯式分布：扩散项中呈分段线性分布；源项中为阶梯式分布（4-5-2）：有三种典型形式，即

24、显式阶跃式：内始终为间隔开始时之值，在时刻，变为隐式阶梯式:.终了C-N格式: 内，随作直线变化在这种典型型线下，温度的积分结果可以统一地表示为： （4-5-3）对均适用。式中；f是权因子，将（4-5-2）中各温度的积分用式（4-5-3）表示，并经整理，得+（4-5-4）等号右边：两种节点温差下导热量的加权和、两个温度下发热量的加权和等号左边：控制容积P的温升吸热量上述离散方程整理为：+ =注:时，邻点有其中f=0，显式：此时，邻点为和，不计热源时，对于常物性、等截面、均匀网格，且无内热源时： ， f=1, 全隐格式：此时，邻点为和，不计热源时，对于常物性、等截面、均匀网格，且无内热源时：f=

25、0.5, C-N格式： 此时，邻点为tE、tW、和， 不计热源时，对于常物性、等截面、均匀网格，且无内热源时的情形再次强调三种典型格式的图示：二、格式的稳定性概念：对于一定的差分格式，如果在某一时层上引入的误差在其后逐层的计算中能得到控制，即逐步减小，消失或保持有界，则称格式是稳定的，否则是不稳定的，简说：对扰动的控制能力！H增长矩阵，（N-1）×（N-1）三对角矩阵，实对称，其元素取决于物性、几何、换热。格式的稳定性分析：图法、矩阵分析法、傅里叶级数法矩阵分析法的结构：对于线性问题，格式稳定的充要条件是由于H的元素取决于物性、几何（网格划分）、边界换热随未知边界节点温度，所以稳定性

26、要针对具体情况具体确定。对于线性问题，在第一类边界条件和均匀网格下，一维非稳态，加权格式：展开点1、，格式无条件稳定2、，格式条件稳定非均匀网格，则任一网格的都要满足上式要求，确定出最小的（许用）三、解的物理真实性数值解与真解的一致性：分布（），变化节点值的人布与变化受相邻节点之间的作用所控制（支配），这种相互作用体现在节点系数：数值体现作用大小；符号体现变化方向和趋势物理真实性正系数法则热源与温度无关时，一般加权格式：邻点为根据正系数法则，即的系数0等截面，均匀网格时则解的物理真实性判据为：或可见：四、总量平衡与解的物理真实性前面已经提及，总量平衡只是解的物理真实性的必要条件，而不是充分条件

27、。对一维非稳态导热进行空间离散分析（集总热容分析），可以说明显格式为何会产生物理不真实的解。显格式假定相邻节点温度始终维持，看实际上怎样变化？能量平衡显格式：能量平衡所以解得对一般加权格式，真实性判据是的系数0，前一时层主节点温度的系数0意味着的变化与其初值有关。极限：，意味着的变化与其初值无关，即达到新的稳态，这就制约了的取值，第五章 多维导热与一维问题相比较，在数值计算上：1、相同的方面：建立离散方程的方法相类似，即在每一个空间坐标方向上应用局部一维化原理。2、不同方面（差异）：表现在四个方面（1）不同坐标系中的多维导热控制方程不能简单地写成同一形式，需要分别进行处理；（2）对二、三类边界

28、条件要找出有效的处理方法，以节省内存，减少机时；（3）五对角、七对角代数方程的有效求解方法，此时TDMA不能直接应用；（4）非规则区域的处理，需要设计一种简单、有效的处理方法。5-1多维非稳态导热控制方程的全隐格式推导三种典型正交坐标系中二维控制方程的差分格式，离散方程的通用化。一、直角坐标系控制方程（5-1-1）1、二维网格系统2、离散方程的建立在时间间隔内，将控制方程在控制容积P上作积分（对变量x、y），采用全隐格式为完成各项积分运算，除一维时所做的假设外，需再引入局部一维化原理：在控制容积的范围内，每个坐标方向上的传递是一维的，控制容积界面上的通量（及变量）是均匀的。非稳态项：扩散项：

29、=源项：将上各积分结果代入控制方程在控制容积积分式，经整理得到（5-1-2）其中体现主节点的热惯性，对影响的大小，控容热惯性，其温度变化减小。检验：设令源项存在，或源项与温度无关，则对于稳态问题，二、圆柱坐标系（x,r）仿上，最终可得式中三、极坐标系（,r） 仿上，可得同样形式的离散方程，但各系数的算式为四、离散方程系数的通用形式三种坐标系中，系数的主要区别在于坐标系，是无量纲的，而在x-yx-r坐标系中，x是有量纲的。可以在这一方向引入一个尺度系数（尺度因子，有点类似度规系数），从而使三个坐标系中的系数表达式统一起来，方案之一如下表所示。三种坐标系中系数的通用表达式坐标系名称直角圆柱轴对称极

30、坐标通用表达式东西坐标xxX南北坐标yrrY半径1rrR东西尺度系数11rSX东西节点间距xxr南北节点间距yrr东西导热面积yrrr南北导热面积xrxr控制体体积xyrxrrraE(aw仿此)aN(aS仿此)b*若P点不在n与s间的中点上，则R=0.5(Rn+RS)，b及项与此同。5-2多维导热问题边界条件的处理1B.C.，边界温度已知，不必补充边界节点的方程，求解区域限于内部节点。2B.C.和3B.C.：如果也能把求解区域限于内部节点，不仅可以节省内存，减少机时，而且有助于编制适合于三种（类）边界条件的通用程序。关键：如何处理第二、三类边界条件，使所得的离散方程既能正确地反映边界条件的影响

31、，又不包含未知的边界节点温度，从而将求解区域限于内部节点。附加源项法就能满足这一要求。1、附加源项法的基本思想把由第二类或第三类边界条件所规定的进入或离开（导出）计算区域的全部热量作为与边界相邻的控制容积的当量（附加）源项。从整体看：无论这部分热量是从边界上导入的还是从与边界相邻的控制容积发出的，总体热平衡不会受到影响。条件：与边界相邻的控制容积中的节点必须是内节点，从边界导入的热量全部进入了该控制容积。对象：方法仅适用于离散化方法B，如图所示。2、原理及实施步骤（2）第二类边界条件与边界相邻接的控制容积为P，考虑第二类边界条件，以进入为正。对P控制容积，可写出离散方程为了在的代数方程中不出现

32、未知的边界节点温度，这就需要利用已知的B.C.，把上式中的消去。由方法B的网格结构。代入离散方程，替换，得于是=（5-2-1）由转化而来的P控容的附加源项？根据调和平均法，（5-2-2）（2）第三类边界条件利用第二类边界条件时的结果，桥梁，？以进入为正，要使未知不出现？一维串联热路：代入式（5-2-1），得 = =所以编制程序时的实现方法：由（亦写成）确定出；然后令，则；在获得内部节点的解后，再由下式确定边界节点温度。2B.C.，3B.C.，注意：E、N、S边界的类似处理5-3 多维问题代数方程的求解导热问题从一维到多维，随之而来的重要变化是所形成的代数方程的阶数增加了一、二个数量级，如何经济

33、而有效地求解这些代数方程组就成为一个重要的问题。采用显格式：不存在此问题，但稳定性条件使时间步长取值受到较大限制；隐格式：代数方程二维时是五对角、三维时是七对角的（所有节点方程顺序按一维排列），不能直接用TDMA求解，解法？专门的差分格式：目的在于减轻代数方程求解的工作量。一、 求解方法分类分为直接解法及迭代法两大类1、 直接解法：通过有限次（步）的数值计算，可以获得代数方程真解（不计舍入误差）的解法。（1）Cramer（克莱姆）法则AZ=B，Z=A-1B由于涉及系数矩阵求逆，所以它只适用于未知数个数极少时的情形。例如未知数个数为N，则A为N×N阶方阵，该方法的运算次数与（N+1）！

34、成正比，有人曾作过估计，用每秒运算106次的CDC6600计算机，按Cramer法则来求解一个26个未知数的代数方程需要1016年的计算时间！所以，Cramer法则不能用来进行有效的数值计算。（2）Gauss消元法及其改进（GJ消元法）Gauss消元法：把系数矩阵通过消元化为上三角阵，然后逐一回代；G-J消元法：把系数矩阵通过消元化为上对角阵，不必回代而得到解。（3）其它解法：针对大型、稀疏矩阵的特点，节省内存，减少机时。分解系数矩阵法；波前法，矩阵法。2、迭代解法通过逐次逼近来获得代数方程近似解的方法。步骤：（1）估计或猜测一个初场；（2）求解代数方程，；（3）以作为新的，重复步骤（2），直

35、至收敛判据得到满足，这时就是该系数下的解。两种收敛的概念：差分方程的解对原问题精解解的逼近性能；迭代解法的结果逼近于该组系数下的“真解”的性能。无论是非线性问题的迭代式解法还是代数方程的迭代解法，只要各节点上前、后两次解偏差的绝对值或相对值小于允许值时，就认为迭代已收敛。收敛判别：变化率判据，对于相对变化率判据，3、两类方法的比较（1）Gauss消元法所用乘法的次数近似地正比于N3，当N值比较大时（例如N>50），所需内存和机时都比较可观，限制了方法的应用，上述近年来提出的，计算速度更快的算法在传热数值计算中还应用不广。（2）传热（包括流动过程）的控制方程大多是非线性的。例如是（或t）的

36、函数、源项是（或t）的函数，以及所有的对流换热问题等。此时，离散方程的系数可能都是的函数，因而整个问题的求解必然是迭代式的（回忆：什么是迭代式的？），在迭代式求解过程中，每一个层次的代数方程的系数都是临时的，如果采用直接解法，则得到的是关于这一组临时系数的解（姑且称其为真解）：临时系数下的真解，所以并非原问题的真解。所以没有必要把临时系数下的真解求出来（直接解法的内存，机时不经济），在临时系数下，如果采用迭代法，则可控制在适当时候中止迭代，以在改进代数方程系数后再求解。对非线性问题，直接解法也是不经济的。分清代数方程迭代解法与非线性问题迭代式解法是两个不同的概念！迭代解法是对一确定代数方程的一

37、种求解方法，不论其系数是固定的，还是临时的均可，对非线性问题每一层次上的求解，既可以用直接法，又可以用迭代法。（对于非稳态、非线性问题，上述讨论仅仅是一个时层（）上的求解过程。（3）迭代法程序设计相对简单；系数矩阵常常是稀疏矩阵，非零元素占的比例小，所以代数方程迭代解法在计算机内存及时间方面可望比直接解法要省，尤其对非线性问题形成的阶数很高的代数方程，采用迭代解法尤为合适，因此，它在传热问题的数值计算中得到广泛应用。（对线性问题而言，提高收敛速度仍是极为重要的）。二、求解代数方程的迭代法求解代数方程的迭代解法很多，在计算传热学中较常用的有：点迭代法、块迭代法、交替方向迭代法、强隐迭代法等。以矩

38、形区域内的导热问题为例来进行讨论。无论稳态问题还是非稳态问题的全隐格式，其离散方程可以写成同一种形式：稳态：非稳态：采用双下标表示（i,j）1、点迭代法定义：每作一次迭代计算仅改进一个节点上的值，且该值是用一个显函数形式由其余各节点的已知值来确定的，故又称为其显式迭代法，有三种实施方式：（1）Jacobi（雅可比）迭代（简称J迭代）节点上值的更新是用上一轮迭代中所获得的各邻点之值来计算的，“守旧”。带括号的上标表示迭代轮数，所谓“一轮”是指把求解区域中每一个节点值都更新一次的运算环节，特点：由于在一轮范围内，邻点值死守旧值，故迭代前进的方向（又称为扫描方向）并不影响迭代收敛的速度，“收敛速度与

39、扫描方向无关”。收敛速度很慢。一般较少采用，但对强烈的非线性问题，如果两轮迭代之间的变化过大，容易引起发散，则采用Jacobi迭代有利于改进收敛特性。（2）Gauss-Seide（高斯-赛德尔）迭代定义，节点上值的更新总是用邻点最新值来进行。若每一轮迭代按下标从小到大的方式进行，则有此前，节点（i-1,j）,(i,j-1)上的值已更新。在这种迭代方式中，扫描方向会影响收敛速度，因为这与边界条件的影响传递到区域内部的快慢有关。（3）SOR/SUR（逐次超松弛/逐次欠松弛）迭代第（n+1）轮迭代值可表示为：第n轮迭代值与第（n+1）轮迭代改变量之和，即：写成更一般的形式：式中，第n+1轮迭代中用J

40、迭代或GS迭代所得之值；松弛因子，用以调整的改变量的大小，时，SOR； SUR的选用：在迭代过程中单调变化（or）（即相邻两轮迭代值之差永远具有相同的正负号）时，采用的SOR迭代可以加速收敛过程。对非线性问题，多采用欠松弛，以减小的变化量，避免迭代发散。的确定：一般需要通过计算实践来确定矩形区域：对常物性、热源与温度无关的稳态导热情形，在一类边界条件下，采用正方形均匀网格，按下式计算：式中，m、l分别是矩形区域两个方向上两边的等分数。当m、l之值较大时（细密网格），上面的式近似为：SOR/SUR的迭代收敛速度与描述方向有关。2、块迭代法把求解（计算）区域分成若干块，每一块可由一条网格线或数条网

41、格线组成。在同一块中各节点处的值用代数方程的直接解法来获得，亦即同一块内各节点的值是以隐含的方式互相联系着的，但从一块到另一块的推进是用迭代方式进行的，故又称为隐式迭代法。作用：两方面（1）获得收敛解所需的迭代轮数大大减少；（2）但每一轮迭代内的运算次数有所增加（直接解法）。总的计算时间的变化则取决于两者的相对影响，对某种迭代有效性的评价应当把为达到收敛解所需的迭代轮数与每轮迭代所需的计算工作量结合起来考虑。一般而言，采用块迭代法后计算时间可以缩短。块迭代法中应用比较普遍的是线迭代法，即进行直接求解的块由一条网格线组成。与点迭代法的三种实施方式（J、GS、SOR）相对应，块迭代也有三种不同的实施方案：（1）Jacobi迭代，同一块上隐含联系（为同一轮节点），其余的守“旧”（前一轮）块线第（n+1）轮 迭代的计算式为： =三对角阵，TDMA求解。如此逐列向前推进行，完成全区域各列的求解后，完成一轮迭代。（2）G-S迭代 同块上各节点值取当前同一轮值，其余相邻节点值尽量取新（当前值轮）如上图，扫描方向由左向右，第（n+1）轮的计算式为： =三对角，TDMA。（3）SOR/SUR迭代型的SOR/SUR =三对角，TDMA。3、交替方向