专题一：恒成立与存在性问题

1、专题一：恒成立与存在性（精简型）一、 恒成立之常用模型及方法一：分离参数法-在指定的区间下对不等式作等价变形，将参数“a”与变量“x”左右分离开-模型 -f ( x)对一切xI恒成立f ( x) minf ( x)对一切xI恒成立f ( x)max。口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值例 1 已知 f (x)2x22ax 3，若 x1,2 , f x0 恒成立，求a 的取值范围 .例 2 已知 l nxax0 ，在定义上恒成立， 求 a 的取值范围 .二、恒成立之常用模型及方法二：（构造）函数利用函数图象（性质） 分析法-此法关键在函数的构造上，常见于两种-一分为二或和而为一

2、，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想例3已知f (x)x 2ax3a ，若x2,2, f ( x)0 恒成立，求a 的取值范围.例 4 若不等式 x2logm x0 在0, 1内恒成立，则实数m的取值范围2三、存在性之常用模型及方法：常见方法两种，一直接法同上恒成立，二间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可例 5 已知 f (x)2x22ax 3，若存在 x1,2 , 使得 f x0 成立，求 a 的取值范围 .四、其它常用模型及方法：1.设函数fx、 g x，对任意的 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，则f min xg minx2.设函

3、数 fx、 g x，对任意的 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，则fmax xgmax x3.设函数fx、 g x，存在 x1a , b ，存在 x2c , d，使得fx1g x2，则f max xg minx4.设函数fx、 g x，存在 x1a , b ，存在 x2c , d，使得fx1g x2，则f min xg maxx5.若不等式 fxgx 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yfx和图象在函数 ygx图象上方；6.若不等式fxgx 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数 yfx和图象在函数 ygx图象下方；7.设函数 fx、 g x，

4、对任意的 x1a , b ，存在 x2c , d，使得 fx=gx，则12fx 在 x1a , b 上的值域 M是 g x 在 x2c , d 上的值域 N 的子集。即： MN。8.设 函 数 f x， 对 任 意 的 xa, b ， 使 得f ( x) m恒成立，则.9.设 函 数 f x， 对 任 意 的 xa,b， 使 得f ( x1 ) f ( x2 ) m 恒 成 立 ， 则.五、巩固训练1. 设函数f ( x)2 x33(a1) x26ax 8其中 a R (1)若f ( x)在x处得极值求常数 的值3,a.若f ( x)在(,0)上为增函数求 的取值范围( 2),a2. 已知两函

5、数 f(x)=8x 2+16x-k ， g(x)=2x 3+5x2+4x，其中 k 为实数。（1）对任意 x -3 ， 3 ，都有 f （ x) g(x) 成立，求 k 的取值范围；（2）存在 x-3 ， 3，使 f （ x) g(x)成立，求 k 的取值范围；（3）对任意x1、x2-3 ， 3 ，都有 f （ x1) g(x 2) ，求 k 的取值范围。（4）存在 x1, x23,3，都有 f x1g x2，求实数 c 的取值范围；3.已知函数 f ( x)x3ax 2x 1， aR . （）讨论函数f (x) 的单调区间；（）设函数 f (x) 在区间2， 1内是减函数，求a 的取值范围3

6、34.已知是（， +）上的减函数，那么a 的取值范围是5.已知函数f(x)=(3-a)x-3 xx-6ax>7 7,数列 a n 满足an=f(n)(n*N),且数列a n 是递增数列,则实数 a 的取值范围是6. 函数F（ x ） =log2 （ 3x12a ) 在定义域上F（ x) 4 恒成立，求a 的取值范围x7.设函数f ( x)ax24x , g (x)axa , 若恒有f ( x)g( x) 成立 , 试求实数a 的取值范围 .8. 若不等式4x2x 1a 0 在 1 ，2 上恒成立，则a 的取值范围为9. 若对于任意 a 1，不等式 x2(a 4) x42a0 恒成立，求实

7、数 x 的取值范围10.f ( x) log a( x3 ax)( a>0， a 1) 在区间 1， 0上单调递增，则 a 的取值范围是211. 已知函数 f ()xax 22ln(x) （ a 为实数）1（I ）若 f ( x) 在 x1处有极值，求a 的值；（II ）若 f (x) 在 3， 2 上是增函数，求a 的取值范围。12设函数 f ( x)ln x2ax .x1（）若 x时， f (x) 取得极值，求 a 的值；2（）若 f ( x) 在其定义域内为增函数，求a 的取值范围；13设函数 f (x)(1x)22ln(1x) .（）求 f ( x) 的单调区间；（）若当 x 1

8、1,e1时，不等式 f ( x)< m恒成立，求实数m的取值范围；ex4ax32 x214. 设函数 f (x)b( xR) ，其中 a,bR （）若对于任意的a2，2，不等式f (x) 1在11， 上恒成立，求 b 的取值范围例15. 不等式 axx(4x) 在 x0,3 内恒成立，求实数a 的取值范围。1x16. 已知两函数f ( x)x 2 ， g(x)m ，对任意 x10,2 ，存在 x21,2 ，使得2f ( x1)g x2，则实数 m的取值范围为17. 设函数 h( x)axb ，对任意 a1,2 ，都有 h( x)1x10 在 x ,1 恒成立，求实数 b 的取值范围2418. 已知 f ( x)2axbln x 在 x1 与 x1处都取得极值 .函数 g(x) = x22mx+m ，1x12若对任意的 x1f (x2 ) ln x2 ，求实数 m 的取,2 ，总存在 x2 ,2 ，使得、 g (x1 )22值范围。19. 已知函数f ( x)ax1ln x (aR ) （1）讨论函数f (x) 在定义域内的极值点的个数； （ 2）若函数 f ( x) 在 x1处