离散型随机变量及其分布律ppt课件

1、概率论概率论 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量分布律的定义离散型随机变量表示方法离散型随机变量表示方法三种常见分布三种常见分布小结小结 布置作业布置作业概率论概率论 一、离散型随机变量分布律的定义一、离散型随机变量分布律的定义有些随机变量有些随机变量, ,它全部能够取到的不一样的值是有限它全部能够取到的不一样的值是有限个或可列无限多个个或可列无限多个, ,这种随机变量称为离散型随机变这种随机变量称为离散型随机变量量. .例如例如1 1例例2 2中的随机变量中的随机变量X X，它只能够取，它只能够取0,1,2,30,1,2,3四个值四个值,

2、 ,它是一个离散型随机变量它是一个离散型随机变量. .又如某城市的又如某城市的120120急救台一昼夜收到的呼唤的次数也是离散型随机变急救台一昼夜收到的呼唤的次数也是离散型随机变量量. .假设以假设以T T记某元素的寿命记某元素的寿命, ,它所能够取的值充溢一它所能够取的值充溢一个区间个区间, ,是无法按一定次序一一列举出来的，因此它是无法按一定次序一一列举出来的，因此它是一个非离散型的随机变量是一个非离散型的随机变量. .本节只讨论离散型随机本节只讨论离散型随机变量变量. .概率论概率论 容易知道容易知道, ,要掌握一个离散型随机变量要掌握一个离散型随机变量X X的统计规律的统计规律, ,必

3、需且只需知道必需且只需知道X X的一切能够取的值以及取每一个能的一切能够取的值以及取每一个能够值的概率够值的概率. .设离散型随机变量设离散型随机变量X X的一切能够取的值为的一切能够取的值为1,2,kxk X X取各个能够值的概率取各个能够值的概率, ,即事件即事件kXx的概率的概率, ,为为,1,2,.kkP Xxp k由概率的定义由概率的定义, ,kp满足如下两个条件满足如下两个条件: : 110,1,2,;21.kkkpkp概率论概率论 121112,11.jkkkkkkkXxXxXxXxkjPXxP Xxp是由于是必然事件，且，故，即我们称我们称(2.1)(2.1)式为离散型随机变量

4、式为离散型随机变量X X的分布律的分布律. .分布律分布律也可以用表格的方式来表示也可以用表格的方式来表示: :Xx1x2xnpkp1p2pn(2.4)(2.4)直观地表示了随机变量直观地表示了随机变量X X取各个值的概率的规取各个值的概率的规律律.X.X取各个值各占一些概率取各个值各占一些概率, ,这些概率合起来是这些概率合起来是1.1.可可以想象成以想象成: :概率概率1 1以一定的规律分布在各个能够值上以一定的规律分布在各个能够值上. .这就是这就是(2.4)(2.4)称为分布律缘故称为分布律缘故. .概率论概率论 二、三种常见分布二、三种常见分布1、0-1分布：也称两点分布分布：也称两

5、点分布设随机变量设随机变量X只能够取只能够取0与与1两个值两个值,它的分布律是它的分布律是 101 , 0,11 pkppkXPkkX01pk1-pp对于一个随机实验对于一个随机实验, ,假设它的样本空间只包含两个假设它的样本空间只包含两个元素元素, ,即即S=S=e1,e2e1,e2, ,我们总能在我们总能在S S上定义一个服从上定义一个服从(0-1)(0-1)分布的随机变量分布的随机变量概率论概率论 120,1,.eeXX eee当当来描画这个随机实验的结果来描画这个随机实验的结果. .例如例如, ,对新生婴儿的对新生婴儿的性别进展登记性别进展登记, ,检查产品的质量能否合格检查产品的质量

6、能否合格, ,某车间某车间的电力耗费能否超越负荷以及前面多次讨论过的的电力耗费能否超越负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币实验等都可以用抛硬币实验等都可以用(0-1)(0-1)分布的随机实验分布的随机实验来描画来描画,(0-1),(0-1)分布是经常遇到的一种分布分布是经常遇到的一种分布. .概率论概率论 EBernoul .011.EAAP AppP ApEnn 设试验 只有两个结果： 及 ，则称 为伯努利试验设，此时，将 独立地重复进行次，则称这一串重复的独立试验为 重伯努利试验这里“反复是指在每次实验中P(A)=p坚持不变；“独立是指各次实验的结果互不影响，即假设以Ci记第i次实验的结果，C

7、i为A或 ,1,2, .A in“独立是指独立是指 1212nnP CCCP C P CP Cn重伯努利实验是一种很重要的数学模型,它有广泛的运用,是研讨最多的模型之一.概率论概率论 例如例如,E,E是抛一枚硬币察看得到正面或反面是抛一枚硬币察看得到正面或反面.A.A表示得表示得正面正面, ,这是一个伯努利实验这是一个伯努利实验. .如将硬币抛如将硬币抛n n次次, ,就是就是n n重伯努利实验重伯努利实验. .又如抛一颗骰子又如抛一颗骰子, ,假设假设A A表示得到表示得到“1 1点点, , A伯努利实验伯努利实验. .再如在袋中装有再如在袋中装有a a只白球只白球,b,b只黑球只黑球. .

8、实验实验E E是在袋中任取一只球察看其颜色是在袋中任取一只球察看其颜色. .以以A A表示表示“取到白取到白球球,P(A)=a/(a+b).,P(A)=a/(a+b).假设延续取球假设延续取球n n次作放回抽样次作放回抽样, ,这就是这就是n n重伯努利实验重伯努利实验. .然而然而, ,假设作不放回抽样假设作不放回抽样, ,虽虽那么每次每次实验都有那么每次每次实验都有P(A)=a/(a+b)(P(A)=a/(a+b)(见第一章见第一章4 4例例5),5),但各次实验不再相互独立但各次实验不再相互独立, ,因此不再是因此不再是n n重伯努利重伯努利实验了实验了. .表示得到表示得到“非非1 1

9、点点. .将骰子抛将骰子抛n n次次, ,就是就是n n重重概率论概率论 以X表示n重伯努利实验中事件A发生的次数,X是一个随机变量,我们来求它的分布规律.X一切能够取的值为0,1,2,n,由于各次实验是相互独立的,因此事件A在指定的k(0kn)次实验中发生，在其它n-k次实验中A发生例如在前k次实验中发生，而后n-k次实验中不发生的概率为 1111n kkkn kp ppppppp 个个11n kknnknAkppqpk 这种指定的方式共有种，它们是两两互不相容的，故在 次试验中 发生 次的概率为，记，即有概率论概率论 1,0,1,2,n kknP Xkppknk 显然000,0,1,2,

10、;1.nnnkn kkkP XkknnP Xkp qpqk 2.22.3 .,.kn knknP Xkp qkpqpXn pXb n p 即满足条件，注意到刚好是二项式的展开式中出现的那一项，故我们称随机变量 服从参数的二项分布 记为特别,当n=1时二项分布化为,0,1kn kP Xkp qk这就是(0-1)分布.概率论概率论 例例2 2按规定按规定, ,某种型号电子元件的运用寿命超越某种型号电子元件的运用寿命超越15001500小时的为一级品小时的为一级品. .知某一在批产品的一级品率为知某一在批产品的一级品率为0.2,0.2,如今从中随机地抽查如今从中随机地抽查2020只只. .问问202

11、0只元件中愉有只元件中愉有k k只只(k=0,1,20)(k=0,1,20)为一级品的概率是多少？为一级品的概率是多少？解这是不放回抽样解这是不放回抽样. .但由于这批元件的总数很大但由于这批元件的总数很大, ,且抽查的元件的数量相对于元件的总数来说又很小且抽查的元件的数量相对于元件的总数来说又很小, ,因此可以当作放回抽样来处置因此可以当作放回抽样来处置, ,这样做会有一些误这样做会有一些误差差, ,但误差不大但误差不大, ,我们将检查一只元件看它能否为一我们将检查一只元件看它能否为一级品看成是一次实验级品看成是一次实验, ,检查检查2020只元件相当于做只元件相当于做2020重重伯努利实验

12、伯努利实验. .以以X X记记2020只元件中一级品的只数只元件中一级品的只数, ,那那么么,X,X是一个随机变量是一个随机变量, ,且有且有X X(20,0.2).(20,0.2).由由(2.6)(2.6)式式即得所求概率为即得所求概率为概率论概率论 20200.20.8,0,1,20kkP Xkkk将计算结果列表如下：将计算结果列表如下：为了对此题的结果有一个直观了解为了对此题的结果有一个直观了解, ,我们作出上表的图形我们作出上表的图形, ,如图如图2-32-3所示所示. .概率论概率论 从图从图2-32-3中看到中看到, ,当当k k添加时，概率添加时，概率P PX=kX=k先是随先是

13、随之添加之添加, ,直至到达最大值直至到达最大值( (本例中当本例中当k=4k=4时取到最大时取到最大值值),),随后单调减少随后单调减少, ,我们指出我们指出, ,普通普通, ,对于固定的对于固定的n n及及p,p,二项分布二项分布b(n,p)b(n,p)都具有这一性质都具有这一性质. .OkP Xk1 2 3546 7 8 9概率论概率论 例例4 4设有设有8080台同类型设备台同类型设备, ,各台任务是相互独立的各台任务是相互独立的, ,发生缺点的概率都是发生缺点的概率都是0.01,0.01,且一台设备的缺点能由且一台设备的缺点能由一个人处置一个人处置. .思索两种配备维修工人的方法思索

14、两种配备维修工人的方法, ,其一是其一是由由4 4人维护人维护, ,每人担任处置每人担任处置2020台台; ;其二是由其二是由3 3人共同维人共同维护护8080台台. .试比较这两种方法在设备发生缺点时不能试比较这两种方法在设备发生缺点时不能及时维修的概率的大小及时维修的概率的大小. .解按第一种方法。以解按第一种方法。以X X记记“第第1 1人维护的人维护的2020台中同台中同一时辰发生缺点的台数，以一时辰发生缺点的台数，以Ai(i=1,2,3,4)Ai(i=1,2,3,4)表示表示事件事件“第第i i人维护的人维护的2020台中发生缺点不能及时维修，台中发生缺点不能及时维修，那么知那么知8

15、080台中发生缺点不能及时维修的概率为台中发生缺点不能及时维修的概率为123412P AAAAP AP X概率论概率论 20,0.01Xb而，故有 101200212010.010.990.0169.kkkkP XXkk 12340.0169P AAAA即有按第二种方法按第二种方法, ,以以Y Y记记8080台中同一时辰发生缺点的台数台中同一时辰发生缺点的台数. .此此时时,Y,Yb(80,0.01),b(80,0.01),故故8080台中发生缺点而不能及时维修的概台中发生缺点而不能及时维修的概率为率为 380080410.010.990.0087kkkP Yk 我们发现我们发现, ,在后一种

16、情况虽然义务重了在后一种情况虽然义务重了( (每人平均维护约每人平均维护约2727台台),),但任务效率不仅没有降低但任务效率不仅没有降低, ,反而提高了反而提高了. .概率论概率论 3. 泊松分布泊松分布设随机变量设随机变量X X一切能够取的值为一切能够取的值为0,1,2,0,1,2,而取各个而取各个值的概率为值的概率为 ,0,1,2,!keP Xkkk 0.XX 其中是常数，则称 服从参数为 的泊松分布，记为0,0,1,2,P Xkk易知，且有0001!kkkkkeP Xkeeekk概率论概率论 2.2 , 2.3 .P Xk即满足条件参数参数的意义将在第四章阐明的意义将在第四章阐明,有关

17、服从泊松分布的有关服从泊松分布的随机变量的数学模型将在第十章中讨论随机变量的数学模型将在第十章中讨论.具有泊松分布的随机变量在实践运用中是很多的具有泊松分布的随机变量在实践运用中是很多的.例如例如,一本书一页中的印刷错误、某地域在一天内一本书一页中的印刷错误、某地域在一天内邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人邮递遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地域一个时间间隔内发生交通事故的次数、数、某一地域一个时间间隔内发生交通事故的次数、在一个时间间隔内某种放射性物质发生的、经过计在一个时间间隔内某种放射性物质发生的、经过计数器的数器的粒子数等都服从泊松分布粒子数等都服从泊松分布.泊松分布也是概泊松分布也是概率论中的一种重要分布率论中的一种重要分布.概率论概率论 对于离散型随机变量，假设知道了它的分