函数的单调性88818实用教案

1、函数(hnsh) y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时yxoabyxoab1）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )一、复习与引入:第1页/共15页第一页，共16页。(1)函数的单调(dndio)性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部(jb)概 念。这个区间是定义域

2、的子集。(3)单调区间：针对(zhndu)自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)0 时,函数y=f(x) 在区间(2, +)内为增函数. y 在区间(-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0f (x)0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 0,解得x1,因此,当 时,f(x)是增函数;1,)x令2x-20,解得x0,解得x3或x1,因此(ync),当 或 时, f(x)是增函数.令3x2

3、-12x+90,解得1x0得f(x)的单调递增区间;解不等式 0得f(x)的单调递减区间.)(xf )(xf 练习1:求函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间.答案:递增区间是 和 ;递减区间是(-2,1). )2,( ), 1 ( 第6页/共15页第六页，共16页。三、综合(zngh)应用:例1:确定下列(xili)函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,.cos21)(xxf 令 ,解得0cos21 x).(322322Zkkxk 令 ,解得0cos21 x).(342322Zkkxk 因此,f(x)的递增区间是: 递减区间是:);)(322

4、,322(Zkkk ).)(342 ,322(Zkkk 第7页/共15页第七页，共16页。解:函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf (2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由 即 得x1., 0)1 ( 210)( xxxf注意到函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增(dzng)区间是(1,+);由 解得-1x100,故f(x)的递减区间是(100,+)., 0)( xf说明:(1)由于f(x)在x=0处连续(linx),所以递增区间可以扩大 到0,100)(或0,100).(2)虽然(surn)在x=100处导数为零,但在写单调区间时, 都可以把100包

5、含在内.第9页/共15页第九页，共16页。例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间(q jin),试确定a的取值范 围,并求其单调区间(q jin).解:. 13)(2 axxf若a0, 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.0)( xf若a=0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. , 01)( xf若a0,则 ,易知此时f(x)恰有三个单调区间.)31)(31(3)(axaxaxf 故a1时,证明不等式:.132xx 证:设 显然f(x)在1,+)上连续,且f(1)=0.,132)(xxxf 显然,当x1时, ,故f(x)是1,+)上的增函数.0)( xf所以当x1

6、时,f(x)f(1)=0,即当x1时,.132xx 说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要(zhngyo)方法.其解题步骤是:令F(x)=f(x)-g(x),xa,其中(qzhng)F(a)=f(a)-g(a)=0,从而将要证明的不等式“当xa时,f(x)g(x)”转化为证明: “当xa时,F(x)F(a)”.练习2:已知 求证:.tan,20 xxx 第11页/共15页第十一页，共16页。类1:求函数 的值域.342 xxy解:函数的定义域是-2,+),又易得:.)4232(342282 xxxxxy当x-2时, 即已知函数在(-2,+)上是增函数., 0 y又f(-2)=

7、-1,故所求函数的值域是-1,+).类2:证明方程 只有一个根x=0.0sin31 xx证:设 则 0恒成立.xxfRxxxxfcos311)(),(sin31)( 故f(x)是R上的增函数.而f(0)=0,故原方程(fngchng)有唯一根x=0.第12页/共15页第十二页，共16页。四、小结(xioji):1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先(shuxin)要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单调区间时,除了必须确定(qudng)使导数等于 零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点.3.注意在

8、某一区间内 ()0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件.)(xf 4.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构 造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义, 证明要证的不等式.当函数的单调区间与函数的定义 域相同时,我们也可用求导的方法求函数的值域.第13页/共15页第十三页，共16页。6.利用导数(do sh)的符号来判断函数的单调区间,是导数(do sh)几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了 数形结合的思想.5.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有(jyu)单调性.则当函数f(x) 时在闭区间a,b上连续,那么单调区间可以扩大到闭 区间a,b上.第14页/共15页第十四页，共16页。感谢您的观看(gunkn)！第15页/共15页第十五页，共16页。NoImage内容(nirng)总结函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时。(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概。若函数在此区间上是增