线性代数教学改革ppt课件

1、 线性代数 教学改革 李尚志 教授 中国科学技术大学 数学系空间为体空间为体, , 矩阵为用矩阵为用 研讨对象研讨对象-几何：线性空间几何：线性空间(向量向量) 研讨工具研讨工具-代数：矩阵运算代数：矩阵运算 向量向量 (问题问题) - modeling 矩阵言语描矩阵言语描画画 矩阵运算处理矩阵运算处理 向量向量(解答解答) 与微积分的关系与微积分的关系: 非线性非线性 -微积分微积分 线性线性 -线性代数线性代数 笼统笼统 = ? = ? 笼统笼统 = = 难得糊涂难得糊涂: : 忽略差别忽略差别, ,提取共同点提取共同点从问题出发从问题出发以处理问题为线索以处理问题为线索 展开教学内容展

2、开教学内容例例:怎样建立向量的坐标怎样建立向量的坐标 有方向和大小的量有方向和大小的量 坐标化坐标化 n n 数组数组 向量与坐标运算的对应向量与坐标运算的对应: : 依赖于加法与数乘的运算律依赖于加法与数乘的运算律(8(8条公理条公理) ) 不直接依赖于平行四边形法那么不直接依赖于平行四边形法那么 基：坐标的独一性基：坐标的独一性 线性无关线性无关, , 存在性存在性 极大无关组极大无关组 向量向量- - 坐标坐标: : 同构同构 坐标变换坐标变换 - - 数组空间中的坐标变换数组空间中的坐标变换例例: :解线性方程组解线性方程组 方程方程(向量向量)- 系数组系数组(坐标坐标) 互为线性组

3、合互为线性组合(初等变换初等变换) 同解变形同解变形(高斯消去法高斯消去法) 只用到四那么运算只用到四那么运算-数域的概念数域的概念 关于方程个数的讨论关于方程个数的讨论:方程个数有真假方程个数有真假 线性无关与线性相关线性无关与线性相关 几个方程几个方程? ? 4 4个个? ? 为何为何 只剩只剩2 2个个? ? 有假有假!-!-某方程是其他的线性组合某方程是其他的线性组合-线性相关线性相关 打假究竟打假究竟 极大无关组极大无关组 货真价实货真价实( (秩秩)2)2个个秩(方程的真正个数)的独一性 证明只依赖于运算律证明只依赖于运算律 将方程换成恣意向量将方程换成恣意向量 行列式的性质行列式

4、的性质0.20.40.60.80.20.40.60.811.20.20.40.60.80.20.40.60.81det(u,v+w)=det(u,w)+det(u,w) det(u,v)=det(u,v+au)几何变换几何变换(x,y) (x,y)x=f1(x,y), y=f2(x,y)曲线C: x=x(t),y=y(t) 曲线C: x=f1(x(t),y(t), y=f2(x(t),y(t)线性变换线性变换x=a1x+b1y, y=a2x+b2y. 由矩阵 决议 画图察看: 直线,平行,垂直,长度,角度,圆 ? 旋转旋转: : 向量方向的变化特征向量 选取特征向量为基选取特征向量为基- - 矩阵的对角化矩阵的对角化射影变换射影变换 x = x / (x-1), y= y / (x-1). 直线、相交、平行 ？ 相交于 x=1 的直线 ？ 圆(与 x=1 相离、切、交) ?相交直线变成平行直线0.511.522.53-0.50.511.522.5-6-4-2