选修2-1空间向量知识点归纳总结

1、第三章空间向量与立体几何1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。ob = oa + b = a + b ;ba = oa-ob= a-b ; 0p = a3(ag r)运算律：（1）加法交换律：a + b=b + a 加法结合律： +方）+ 0 =盘+ 0 +可(3) 数乘分配律:2(5+= ad + ab3 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段

2、所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量，厅平行于方，记作allb o当我们说向量万、忌共线（或a/h ）时，表示&、忌的有向线段所在的直 线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量x、b （#6）, a/b存在实数 人，使a = ah o4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量万,万不共线，戶与向量乳方共面的条件是存在实数兀,y使p-xayb .5. 空间向量基本定理：如果三个向量认不共面，那么对空间任一向量尸， 存在一个唯一的有序实数组

3、兀,y,z，使p = xa-yb + zc o若三向量心&乙不共面，我们把5,fe,c叫做空间的一个基底，a,h,c叫做基向 量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,a,b,c是不共面的四点，则对空间任一点p,都存在唯一的三 个有序实数x,y,z,使op = xoa + yob-zoc .6空间两向量的夹角：已知两个非零向量j歩，在空间任取一点0,作ob = bf 西二歩(两个向量的起点一定要相同)，则叫做向量：与歩的夹角，记作 0 = <a,b > 日 <a,b >=<b,a >,jtlo'b 平移前正确9 = 0

4、°ba0°<& <90°a5 = 90°a90。<& <180°5 = 180°规定0=<a9b >e 0,/r：7. 空间向量的直角坐标系：(1) 空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0-可少中，对空间任一点a ,存在唯一的有序实数组 (兀y,z),使= +灵+忑，有序实数组(x,y,z)叫作向量a在空间直角坐标系 o-xyz屮的坐标，记作4(x,y,z),兀叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。(2) 右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转

5、向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；(3) 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位止 交基底，用表示。（4）空间向量的直角坐标运算律：若 0 = （°卫2卫3），b = （b3），则a-b-（坷 一。2 优卫3 “3），加=（2d池。2，久。3）（2 r）， a b = a”、+ a2b2 + a3b3,a i b o a、= ah, a2 = ah2d 丄 b o a”、+ a2b2 + a3b3 = 0 o若 a(xj,z) , b(x2,y2,z2),则 ab = (x2 - xp y2 -yl9z2-zt)。(5)模长公式:若a = (al9a2

6、9a3), b = (byb2,b3),一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐 标减去起点的坐标。（6）夹角公式：叫町二面丽二抑+ 2+ j新;l +皆（7）两点间的距离公式：若您环儿召）,b（x2,y2,z2）,贝 >j | ab |= j ab j（%2 兀|）2 +（丁2 vi），+（匂一z）2 '或 % = 7（-2 -）2+（y2-al）2 +（z2-zi）2（8 ）空间线段 p（x,yvzp2（x2,y2,z2）的中点 m（x,y,z）的坐标：'州+勺m +力可+ z?、i 2 9 2 ? 2 j（9）球面方程：x2 + y2 + z

7、2 = r28. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：己知两非零向量在空间任取一点o, oa = a,ob = b ,则zaob叫做向量万与方的夹角，记作v a9b > ；且规定 0<< a.b ><7t ,显然有v&,方>=v方,&>；若<>=殳,则称q与5互相垂直，记作：&丄5。（2）向量的模：设oa = a,则有向线段鬲的长度叫做向量&的长度或模, 记作:|3|o（3）向量的数量积：已知向量订,则|a|-|-cos<a,>叫做万，方的数量 积，记作a-b ,即a b = a-b-

8、cos<a,b>0（4）空间向量数量积的性质：©5-e=|5|cos<5,?>o （2）31 方 od方=0。|a|2=3-3 = （a）2, a =（5）空间向量数量积运算律： （加）方=久方）=0（觞）。 a b=b-a （交换律）。a （b-hc） = a ba-c （分配律）9、空间向量在立体几何证明中的应用：ab =（冏,。2卫3），cd = 上2，勺）（1）证明abhcd ,即证明而而，也就是证明5=丛卫2=血2卫3=血3或s h2 by（2）证明ab丄cd,即证明而而=0,也就是证明q也+°2$+。03=0（3）证明ab/a （平面）（

9、或在面内）,即证明ab垂直于平面的法向量或证明ab 与平面内的基底共面；（4）证明ab丄q,即证明殛平行于平面的法向量或证明丽垂直于平面内的 两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面all（3 （或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的 法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面。丄0,即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在另一 个面内。10. 运用向量的坐标运算解题的步骤:（1）建坐标系，求相关点的坐标（2）求相关向量的坐标（3）运用向量运算解题11用向量方法来解决立体几何中的空间角的问题:（1）两条直线的夹角：设直线2,加的方向向量分别为,(2)直线与平面的夹角：设直线/的方

10、向向量分别为厶 平面。的法向量分别为力,(3) 二面角：o<0<7u方向向量法：ocos 0 二 cosoab-cdoabcd法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角12. 利用“方向向量”与“法向量”来解决距离问题.(1) 点与直线的距离：d = |ap|sin 0 (先求 cos < ap, a >)(2) 点到平面的距离：店垦凹.n如图ae a,空间一点p到平面a的距离为d已知平面。的一个法向量为7,且 乔与7不共线，分析:过p作只)丄a于0,连结0a.则 d=po = pa coszapo 而丄a,:丄a, :.pd

11、/ncoszapo | cospa|.ncdn ab召两|cos莎，初(3) 异面直线间的距离：已知a, b是异面直线,cd为a, b的公垂线，是直线cd的方向向量,a, b分别在肓 线 a, b _t* n-abcd=-ncl（4）其它距离问题：平行线的距离（转化为点到直线的距离） 直线与平面的距离（转化为点到平面的距离） 平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）13. 补充：（1）三余弦定理设ac是a内的任一-条直线，ubc丄ac,垂足为c,又设a0与ab所成的角 为g, ab与ac所成的角为&2, a0与ac所成的角为&贝gcos&二coscos©.（2

12、）三射线定理若夹在平面角为。的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 g&2，与二面角的棱所成的角是0 ,则有sin2 ?sin2 0 = sin2 3 +sin2 02 -2sin sing cos。.i q _ 2 $ o g 8（r _ © + $）（当且仅当&=90。时等号成立）.（3）点°到直线/距离心丄 j（|d| 创）2一（讥）2_1加（点p在直线/上，直线/的方向向量a二必，向量b= .(4) 异面直线上两点距离公式 d = v/t2 + m2 + t2mrtcos3+ nr + at 2mn cos (pd = jh2 +m2 +n2

13、 - 2mncos(ea .af(p= e-aa 一 f)（两条异面直线a、b所成的角为（），其公垂线段aa'的长度为h.在直线a、 b 上分别取两点 e、f, ae = in, af = n, ef = d）.（5）三个向量和的平方公式（a + bc）2 = a +b +c +2d5 + 2c+2ca=+庆 +c + 21 a | |引 cos,用+ 21 b-1 c|cosg,c) + 2| c| | a |cosc,a) （6）长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为厶、【2、夹角分别为 &2、则有/2 =/,2 +斥 +呂 ocos?& + cos2&2 +cos2q =1 <=> sin2 0x 4-sin2 02 +sin2 q = 2（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.（7）面积射影定理cos&（平面多边形及其射影的面积分别是s、s',它们所在平面所成锐二面角的 为&）（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是/,侧面积和体积分别是$斜棱柱侧和岭棱柱，它的直截面 的周长和面积分别是q和&，则 $斜棱柱侧=cj. v斜梭柱=以.（9）欧拉定理（欧拉公式）h + f-e = 2（简单多面体的顶点数v、棱数e和面数f）. e二各面多边形边数和的一半.特别地，若每个面的边数为斤的