高中概率与统计复习知识点与题型

1、概率与统计知识点与题型3.1.1 1、基本概念：（1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件 S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件 S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件；（4）随机事件：在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件 S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件 S 下重复 n&

2、#160;次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现nA的次数 nA 为事件 A 出现的频数；称事件 A 出现的比例 fn(A)= n 为事件 A 出现的概率：对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P（A），称为事件 A 的概率。nA（6）频率与概率的区别与联

3、系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数 n 的比值 n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若 AB 为不可能事件，即 AB=，那么称事件 A 与事件 B 互斥；（3）若&#

4、160;AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件；（4）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 

5、;0，因此 0P(A)1；2）当事件 A 与 B 互斥时，满足加法公式：P(AB)= P(A)+ P(B)；3）若事件 A 与 B 为对立事件，则 AB 为必然事件，所以 P(AB)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1P(B)；4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A 与事件 B 在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件 A&

6、#160;发生且事件 B 不发生；（2）事件 A 不发生且事件 B 发生；（3）事件 A与事件 B 同时不发生，而对立事件是指事件 A与事件 B 有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件 A 发生 B 不发生；（2）事件 B 发生事件 A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤；求出

7、总的基本事件数；A包含的基本事件数求出事件 A 所包含的基本事件数，然后利用公式 P（A）= 总的基本事件个数3.3.11、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：构成事件A的区域长度（面积或体 积）P（A）= 试验的全部结果所构成 的区域长度（面积或体 积）；（1） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等一、随机变量.1.&#

8、160;随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若  是一个随机变量，a，b 是常数.则h = ax + b 也是一个随机变量.一般地，若  是随机变量， f 

9、;( x) 是连续函数或单调函数，则 f (x ) 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量  可能取的值为： x ,x ,L ,x ,L12i 取每一个值 x (i = 1,2, L ) 的概率 P(x = x ) = p ，则表称为随机变量  的概率分布，简称&#

10、160; 的分布列.1iiP有性质 p ³ 0, i = 1,2, L ； p + p +L + p +L = 1 .112i注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：x Î 0,5 即 x 可以取05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生

11、的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是： P( = k) =C k p k q n -k 其中 k = 0,1, L , n, q = 1 - p n于是得到随机变量  的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作x B（n·p），其

12、中n，p 为参数，并记 Ck pk qn-k = b(k;n × p) .n二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“ x =

13、60;k ”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为 A  ，事 A 不发生记为 A  , P(A  ) = q ，那么 P( = k) = P(A  A  L Akkk12k-1A ) .根据相互独立事件的概率乘法分式：k

14、P( = k) = P(A )P(A ) L P(A12k-1)P(A ) =q k -1p (k = 1,2,3,L ) 于是得到随机变量  的概率分布列.kP1q2qp3          k         

15、60; 是一离散型随机变量，分布列为 P( = k) = C M ×C N-M × (0 £ k £ M,0 £ n - k £ N - M) .分子是从 M 件次品中取我们称  服从几何分布，并记 g(k, p) =q 

16、;k -1 p ，其中 q = 1 - p.k = 1,2,3L5. 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取 n(1 £ n £ N) 件，则其中的次品数kn-kC nNk 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m  r 时

17、0;C r = 0 ，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.m超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1na+b），则次品数 的分布列为 P( = k) = C a ×Cbkn-kCna +bk = 0,1, L , n. .超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由 

18、a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取 n 件时，其中次品数  服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数h 的分布列可如下求得：把 a + b 个产品编号，则抽取 n 次共有 (a + b) n 个可能结果，等可能：( = k) 含 C k a k b n -k 个结果，故 P( =&#

19、160;k) = C n a  b(a + b) n  =C k (n) k (1 -    ) n-k , k = 0,1,2, L , n ，即h  B(n ×kk  n-kna aa + b  

20、   a + baa + b) .我们先为 k 个次品选定位置，共 C k 种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可以n证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P( = k) » P( = k) ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：

21、一般地，若离散型随机变量  的概率分布为P则称 Ex = x p + x p + L + x p + L 为  的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了1122nn离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量h = ax + b 的数学期望： Eh = E(ax + b)

22、0;= aEx + b当 a = 0 时， E(b) = b ，即常数的数学期望就是这个常数本身.当 a = 1 时， E(x + b) = Ex + b ，即随机变量  与常数之和的期望等于  的期望与这个常数的和.当 b = 0 时， E(ax ) =&#

23、160;aEx ，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布： Ex = c ´1 = c 其分布列为： P(x = 1) = c .两点分布： Ex = 0 ´ q + 1´ p = p ，其分布列为：（p + q = 1）P0q1p二项分布：

24、0;Ex = å k ×n!p k ×q n-k = np 其分布列为 x k!(n - k )!B(n, p) .（P 为发生 x 的概率）几何分布： Ex = 1其分布列为 x  q(k , p) .（P 为发生 x 的概率）p3. 方

25、 差 、 标 准 差 的 定 义 ： 当 已 知 随 机 变 量  的 分 布 列 为 P(x = x ) = p (k = 1,2, L ) 时 ， 则 称kkDx = (x -Ex)2p 

26、;+(x -Ex)2p +L + (x -Ex)2p +L 为  的方差. 显然 Dx ³ 0 ，故 sx =Dx . sx 为  的根方差或标准1122nn差.随机变量  的方差与标准差都反映了随机变量  取值的稳定与波动，集中与离散的程度. Dx 越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量h =

27、 ax + b 的方差 D(h) = D(ax + b) =a 2Dx .（a、b 均为常数）单点分布： Dx = 0 其分布列为 P(x = 1) = p两点分布： Dx = pq 其分布列为：（p + q = 1）P0q1p二项分布： Dx = npq几何分布：&#

28、160;Dx = qp 25. 期望与方差的关系.如果 Ex 和 Eh 都存在，则 E(x ± h) = Ex ± Eh设  和h 是互相独立的两个随机变量，则 E(xh) = Ex × Eh, D(x +h) = Dx + Dh期望与方差的转化： Dx =&

29、#160;Ex 2-(Ex ) 2 E(x - Ex ) = E(x ) - E(Ex ) （因为 Ex 为一常数） = Ex - Ex = 0 .三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于 x 轴上方， 落在任一区间a, b) 内的概率等于它与x 轴.直线 x

30、60;= a 与直线 x = b 所围成的曲边梯形的面积y（如图阴影部分）的曲线叫  的密度曲线，以其作为图像的函数 f ( x) 叫做  的密度函数，由于“ x Î (-¥,+¥) ”y=f(x)x2p s  eab是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量 

31、; 的概率密度为： f ( x) =1- ( x-m)22s 2. （ x Î R, m, s 为常数，且 s f 0 ），称  服从参数为 m, s 的正态分布，用x  N (m,s 2) 表示. f ( x) 的表达式可简记为 N (m

32、,s 2) ，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若x  N (m,s 2) ，则  的期望与方差分别为： Ex = m, Dx =s 2 .正态曲线的性质.曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.曲线关于直线 x = m 对称.当 x = m 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时

33、，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当 x  m 时，曲线上升；当x  m 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近.当 m 一定时，曲线的形状由s 确定，s 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；s 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.2p  e3. 标准正态分布：如果随机变量  的概率函数为j( x)&#

34、160;=1- x 22(-¥ p x p +¥) ，则称  服从标准正态分 布 . 即 x  N (0,1) 有 j( x) = P(x £ x) ， j( x) = 1 - j(- x) 求 出 ， 而 P

35、 （ a   b ） 的 计 算 则 是P(a p x £ b) = j(b) - j(a) .注意：当标准正态分布的 F( x) 的 X 取 0 时，有 F( x) = 0.5 当 F( x) 的 X 取大于 

36、;0 的数时，有 F( x) f 0.5 .比如s  ) = 0.0793 p 0.5 则s   必然小于 0，如图.               yF( 0.5 - m0.5 - mS正态分布与标准正态分布间的关系：若x

37、0; N (m,s 2) 则  的分布函数通x常用 F ( x) 表示，且有 P( £ x) = F(x) = j( x -  ) .习题a标准正态分布曲线S阴=0.5 Sa=0.5+S12             B 

38、 1            C  1            D  1A   216 名同学排成两排，每排 3 人，其中甲排在前排的概率是（）A 132有 10 名学生，其中 4 名男生，6 

39、名女生，从中任选 2 名，恰好 2 名男生或 2 名女生的概率是（）217B.C.D.45153153甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 p , p ,那么至少有 1 人解对的概率12是（）A. p + p12B. p × p12C. 1 - p × p12D.1 - (1 - p )&

40、#160;× (1 - p )1 2A.   1A、  14从数字1, 2, 3, 4, 5这五个数中, 随机抽取2个不同的数, 则这2个数的和为偶数的概率是()234B.C.D.55555有 2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是（）1n - 1n + 1B、C、D、22n2n - 12n

41、0;+ 16有 10 名学生，其中 4 名男生，6 名女生，从中任选 2 名学生，恰好是 2 名男生或 2 名女生的概率是（）                      45B 15C 7    &#

42、160;    15D 1 A 1     5B  9                       100100D 3 A、 3 A.  1  

43、60;      4B.  1       3C.  1A 237已知 P 箱中有红球 1 个，白球 9 个，Q 箱中有白球 7 个，（P、Q 箱中所有的球除颜色外完全相同）现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱，将 Q 箱中的球充分

44、搅匀后，再从 Q 箱中随意取出 3 个球放入 P 箱，则红球从 P 箱移到 Q 箱，再从 Q 箱返回 P 箱中的概率等于（）1C5C9 2/C10 3 乘以 C9 2/C10 38已知集合 A=12，14，16，18，20，B=11，13，15，17，19，在 A 中任取一个元素用 ai(i=1，2，3，4，5)表示，在 B 中任取一个元

45、素用 bj(j=1，2，3，4，5)表示，则所取两数满足 ai>bI 的概率为（）311B、C、D、45259在圆周上有 10 个等分点，以这些点为顶点，每 3 个点可以构成一个三角形，如果随机选择 3 个点，刚好构成直角三角形的概率是（）直径有 5 个1D.2510已知 10 个产品中有 3 个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这 3 个次品全部被抽出的概率不小于 0.6，则至少应抽出产品()A.7 

46、;个B.8 个C.9 个D.10 个11甲、乙独立地解决 同一数学问题，甲解决这个问题的概率是 0.8，乙解决这个问题的概率是 0.6，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是（）A、0.48B、0.52C、0.8D、0.9212.某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是_13.掷两枚骰子，出现点数之和为 3 的概率是_14.某班委会由 4 名男生与 3 名女生组成，现从中选出 2

47、0;人担任正副班长，其中至少有 1 名女生当选的概率是_15.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：年降水量/mm 100, 150 ) 150, 200 ) 200, 250 ) 250, 300 概率0.210.160.130.12则年降水量在  200，300  （m,m）范围内的概率是_16、向面积为 S 的ABC 内任投一点 P，则PBC 

48、的面积小于 S2的概率是_。、 、 、 ，且各道工序互不影响17、有五条线段，长度分别为 1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为_18、在等腰 RtABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AM 的长小于 AC 的长的概率为_19甲、乙两名篮球运动员，投篮的命中率分别为 0.7 与 0.8（1）如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；（2）如果每人投篮三次，求甲投进&

49、#160;2 球且乙投进 1 球的概率20加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为9 8 7 610 9 8 7（1）求该种零件的合格率（2）从加工好的零件中任取 3 件，求至少取到 2 件合格品的概率（3）假设某人依次抽取 4 件加工好的零件检查，求恰好连续 2 次抽到合格品的概率（用最简分数表示结果）21甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、，和的分布列如下

50、：P0     1     2     P0       1       222.  某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数   的分布列为则比较两名工人的技术水平的高低为.思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，

51、即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.x10.420.230.240.150.1期付款，其利润为 300 元   表示经销一件该商品的利润商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其利润为 250 元；分 4 期或 5h（）求   的分布列及期望  Eh  （）求事件 A 

52、;：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P( A) ；h参考答案：1-5、BDDBC6-11、CBBBCD12.      13.        14.        15.  0.25   16、

53、0;   17、11533518741019：解：设甲投中的事件记为 A，乙投中的事件记为 B，（1）所求事件的概率为：P=P（A· B ）+P（ A ·B）+P（A·B）=0.7×0.2+0.3×0.8+0.7×0.8=0.94（2）所求事件的概率为：P=C 2 0.72×0.3×C 1 0.8×0.22=00423363318、 2220：解：（1）该种零件合格率

54、为 P =19  8 7 6  3´ ´ ´  =10 9 8 7  55  5     5   125Ee = 0 ´  632（2）该种零件的合格率为，则不合格率为，从加工好的零件中任意取 3 个，5532381至少

55、取到 2 件合格品的概率 P = C 2 ( )2 ( ) + C 3 ( )3 =233（3）恰好连续 2 次抽到合格品的概率21：解：工人甲生产出次品数的期望和方差分别为：13+ 1´+ 2 ´= 0.7101010，De = (0 - 0.7) 2 ´6  

56、60;         1            3+ (1 - 0.7) 2 ´  + (2 - 0.7) 2 ´  = 0.89110