函数的升降凸性与极值实用教案

1、证明(zhngmng)：由极限保号性、中值定理可证.第1页/共68页第一页，共69页。注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数(do sh)的符号即可，其步骤是: 确定 的定义域； 求 ，令 求出分界点； 用分界点将定义域分成若干个开区间； 判别 在每个开区间内的符号，即可 确定 的严格单调性（严格单调区间）.)(xf)(xf )(xf 第2页/共68页第二页，共69页。例1. 讨论(toln) 的上升、下降情况.解：该函数解：该函数(hnsh)的定义域是的定义域是 R. 由由它们(t men)将 R 分成三个区间：xy+y第3页/共68页第三页，共69页。例2. 解：定

2、义域是 R. 由现列表(li bio)讨论如下：xy+y), 2( 第4页/共68页第四页，共69页。Th. 2 （不等式定理(dngl)）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：(1) 在a,b上可导;注2. 利用函数的升降(shngjing)性及其导数之间的关系来证明不等式yxMoaxb第5页/共68页第五页，共69页。Th. 2 若F(x)满足(mnz)证明(zhngmng)：第6页/共68页第六页，共69页。例3. 证明(zhngmng)证明证明(zhngmng)：从而(cng r)得证.第7页/共68页第七页，共69页。例4. 证明证明(zhngmng)：第8页/共68页第八页，共6

3、9页。第9页/共68页第九页，共69页。例5. 证明(zhngmng)方程证明证明(zhngmng)：第10页/共68页第十页，共69页。二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)的极大值与的极大值与极小值极小值1. Def（局部(jb)极值）第11页/共68页第十一页，共69页。oabxy注注3. 函数的极值的局部性函数的极值的局部性. 定义定义(dngy)中可中可以有以有第12页/共68页第十二页，共69页。第13页/共68页第十三页，共69页。结论结论(jiln)(jiln)oxyy=2xy=x第14页/共68页第十四页，共69页。Th.3 （极值(j zh)的必要条件） 由此求出可能使

4、f (x) 取极值(j zh)的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？ 图示可见图示可见, 由导数由导数(do sh)符号可判定极大极小符号可判定极大极小值点值点.xyo0 xyxo0 x第15页/共68页第十五页，共69页。Th. 4 （极值(j zh)判别法之一）第16页/共68页第十六页，共69页。x 取局部极小值取局部极小值 取局部极大值取局部极大值 不取局部极值不取局部极值 不取局部极值不取局部极值)(xf 证明(zhngmng)：由函数的升降性及极值定义得到.列表列表(li bio)如下：如下：第17页/共68页第十七页，共69页。注注4.第18页/共68页第十八页，共69页。

5、Th.5 （极值(j zh)判别法之二）证明：由二阶导数证明：由二阶导数(do sh)定义及极限保号性、定义及极限保号性、Th4得证得证.第19页/共68页第十九页，共69页。Th. 5 (1)(2)定理定理5是定理是定理5的特殊的特殊(tsh)情情形形.第20页/共68页第二十页，共69页。证明证明(zhngmng)：根据：根据Taylor公式公式, 有有第21页/共68页第二十一页，共69页。例6.解：解：现列表现列表(li bio)讨论如讨论如下：下：第22页/共68页第二十二页，共69页。x0y+不存在0+y 第23页/共68页第二十三页，共69页。例7.解：解：第24页/共68页第二

6、十四页，共69页。例8.解：解：第25页/共68页第二十五页，共69页。三、函数三、函数(hnsh)(hnsh)的最大值和最小值的最大值和最小值如何求出函数如何求出函数(hnsh)在某区间上的最大值和最小值？在某区间上的最大值和最小值？yxaOb3x5x( )yf x第26页/共68页第二十六页，共69页。注注1： 函数在某一区间函数在某一区间(q jin)上的最大值和最小值上的最大值和最小值, 也叫全局极值也叫全局极值.可导函数可导函数(hnsh)在在a,b上的最大、最小值的求上的最大、最小值的求解步骤：解步骤：注注2：第27页/共68页第二十七页，共69页。例9.解：解：所以(suy)函数

7、的最大值是0, 最小值是2.例10. 某生产队要建造(jinzo)一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？解：用料最省就是解：用料最省就是(jish)要求氨水池的表面要求氨水池的表面积最小积最小. 设氨水池的底半径是设氨水池的底半径是 r, 高是高是 h, 它它 的表面积的表面积hrO第28页/共68页第二十八页，共69页。第29页/共68页第二十九页，共69页。用V50立方米代入，得到(d do) 答：当圆柱形氨水池的高和直径答：当圆柱形氨水池的高和直径(zhjng)相等时，用料最省。相等时，用料最省。第30页/共68页第三十页，共69页。h

8、RRx第31页/共68页第三十一页，共69页。第32页/共68页第三十二页，共69页。四、函数四、函数(hnsh)(hnsh)的凸性的凸性是描述函数性状的一个更深入是描述函数性状的一个更深入(shnr)的概念的概念.例如(lr)：yxo2xy 21xy 第33页/共68页第三十三页，共69页。11( )(,()f xxf x曲线向上凸, 则曲线上任何两点22(,()xf x与间的弦之中点位于曲线上相应点的下面,即曲线在弦之上.xy)2(21xxf)(2xf)(1xf1x221xx 2xoxy)(1xf)(2xf1x221xx )2(21xxf2xo第34页/共68页第三十四页，共69页。1.

9、Def1. Def（函数（函数(hnsh)(hnsh)的凸性）的凸性）第35页/共68页第三十五页，共69页。注：函数注：函数(hnsh)的凹凸性，下凸即是上的凹凸性，下凸即是上凹凹.2)()()2(2121xfxfxxf第36页/共68页第三十六页，共69页。2. 2. 函数的凸性与其导数函数的凸性与其导数(do sh)(do sh)的关的关系系Th. 6证明证明(zhngmng)：由Lagrange公式(gngsh)，得：In fact,第37页/共68页第三十七页，共69页。其中(qzhng)，由得 上凸，故 下凸.)(xf第38页/共68页第三十八页，共69页。)(xfy )(xfy

10、xyoy =f (x)第39页/共68页第三十九页，共69页。注：注：yxo第40页/共68页第四十页，共69页。 求求 ； 令令 ，求解，并划分，求解，并划分f (x)的定义域为若干的定义域为若干 个开区间个开区间. 判别判别 在每个开区间的符号在每个开区间的符号. 设设 , 列表讨论列表讨论(toln)如下：如下：3. 3. 讨论讨论 f (x) f (x) 的凸性及拐点的凸性及拐点(ui (ui din)din)的步骤的步骤x（上凸）0 （下凸）是拐点是拐点（下凸）0 （上凸）是拐点是拐点（下凸）0 （下凸） 不不 是是（上凸）0 （上凸） 拐拐 点点),(00 xx),(00 xx0

11、x注：对注：对 不存在的点亦可类似不存在的点亦可类似(li s)讨论讨论.第41页/共68页第四十一页，共69页。例1. 讨论(toln) 的凸性及拐点.解：解：xyo521x00不存在y上凸上凸拐点拐点下凸下凸非拐点非拐点下凸下凸51第42页/共68页第四十二页，共69页。例2.解：解：其定义域是 R. 由xyo11-1-1x100y极小值极小值1极大值极大值 1) 1,(第43页/共68页第四十三页，共69页。又列表(li bio)如下： x0000 上凸上凸拐点拐点下凸下凸拐点拐点上凸拐点拐点下凸下凸3第44页/共68页第四十四页，共69页。x0100000上上凸凸拐拐点点下下凸凸极极小

12、小下下凸凸拐拐点点上上凸凸极极大大上上凸凸拐拐点点下凸下凸统一统一(tngy)(tngy)列表如下列表如下: :y)3,(313), 3(第45页/共68页第四十五页，共69页。4. 4. 曲线曲线(qxin)(qxin)的渐近线的渐近线 xyo双曲线的渐近线如何如何(rh)求之？求之？第46页/共68页第四十六页，共69页。曲线的渐近线有两种：曲线的渐近线有两种： 垂直渐近线；垂直渐近线； 斜渐近线斜渐近线 （包括（包括(boku)水平渐近线）水平渐近线）yxo)(xfy PKM第47页/共68页第四十七页，共69页。(1)(1)垂直垂直(chuzh)(chuzh)渐近线渐近线例如(lr)：

13、第48页/共68页第四十八页，共69页。 斜渐近线斜渐近线如何如何(rh)求出渐近线求出渐近线 呢？呢？因 是常数(chngsh)，故第49页/共68页第四十九页，共69页。Prop: 直线直线 是曲线是曲线(qxin) 的斜渐近的斜渐近线线 a与与b 由与式分别确定由与式分别确定.因此(ync)得从而(cng r)由得baxy)(xfy 特别，当 a = 0 时，就是水平渐近线水平渐近线. 即：直线直线 是水平渐近线是水平渐近线 第50页/共68页第五十页，共69页。例3. 解：由于解：由于(yuy)故 x = 1 为 f (x) 的垂直(chuzh)渐近线.又故第51页/共68页第五十一页

14、，共69页。故 是渐近线.例4. 求双曲线 的渐近线.12222byax解：解：因函数(hnsh)在第52页/共68页第五十二页，共69页。例5. 第53页/共68页第五十三页，共69页。利用函数特性利用函数特性(txng)描绘函数图形描绘函数图形, 一般一般步骤：步骤： 5. 函数函数(hnsh)的图的图形形(1) 确定(qudng)函数 的定义域, 讨论函数的奇偶性、 对称性、周期性等性态; (2) 求出使 不存在的点, 把函数的定义域划分成几个部分区间; ( )yf x (3) 根据 的符号, 确定函数的上升或下降区间, 图形的上凸或下凸区间, 以及极值和拐点; 可列表讨论;(4) 确定

15、函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线;(5) 描点作图. 描出极值点、拐点, 曲线与坐标轴的交点.第54页/共68页第五十四页，共69页。例12.解：解：(3) 列表讨论(toln)如下：第55页/共68页第五十五页，共69页。表表1. 函数函数(hnsh)的上升、下降和极的上升、下降和极值值.表表2. 函数函数(hnsh)的上凸、下凸和拐点的上凸、下凸和拐点. x 0 (0, 1) 1 y 不存在 0 y无定义 极小值极小值 0 x 0 y 不存在 0 y 下凸下凸无定义下凸下凸拐点拐点上凸上凸第56页/共68页第五十六页，共69页。表表3. 统一统一(tngy)列表列表 x 0 1 y 不

16、存在不存在 0 不存在不存在 0 y 下凸下凸无定义无定义 下凸下凸极小值极小值0 下凸下凸拐点拐点 上凸上凸y(,0)3 1(,)2 9323( ,)2第57页/共68页第五十七页，共69页。(5) 曲线(qxin)与坐标轴的交点为 (1,0) . 作图如下： y x0.511.521ACB y = 1 渐近线渐近线O2121 xyx第58页/共68页第五十八页，共69页。Matlab程序程序(chngx)第59页/共68页第五十九页，共69页。例13. 解：解：（3）列表(li bio)讨论如下：第60页/共68页第六十页，共69页。 2 1 0 0 不存在不存在 0 不存在不存在 极大值

17、极大值 4极小值极小值 0( )fx( )f x( )fx上上 凸凸下下 凸凸无无定定义义又因为(yn wi)第61页/共68页第六十一页，共69页。(5) 曲线(qxin)与坐标轴交于原点, 作图如下： yx-2 -1O -1-2-3-4第62页/共68页第六十二页，共69页。Matlab程序程序(chngx)第63页/共68页第六十三页，共69页。注意最值与极值注意最值与极值(j zh)的的区别区别.最值是整体最值是整体(zhngt)概念而极值是局部概念概念而极值是局部概念.实际问题实际问题(wnt)求最值的步骤求最值的步骤.五、小结五、小结第64页/共68页第六十四页，共69页。 函数函

18、数(hnsh)图形的描绘综合运用函数图形的描绘综合运用函数(hnsh)性态的研究性态的研究,是是导数应用的综合考察导数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点(ui din)凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减第65页/共68页第六十五页，共69页。单调性的判别是拉格朗日中值定理单调性的判别是拉格朗日中值定理(dngl)的重要应用的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限定理中的区间换成其它有限或无限(wxin)区间，结论仍然成区间，结论仍然成立立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程应用：利用函数的单调性可以确定某些方程(fngchng)实根实根的个数和证明不等式